Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов

• Название: 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
• Дата: 26.04.2021
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Метода по лабам ФКС.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #199065
• страница: 3 из 9

2.1.1. Оптические характеристики кристаллов В рамках классической макроскопической электродинамики Максвелла оптические свойства непроводящих и немагнитных кристаллов могут быть полностью описаны с помощью тензора диэлектрической проницаемости
ε
αβ
(
ω
), зависящего от частоты и связывающего Фурье-образы вектора электрической индукции
D
α
(
ω
) и напряженности электрического поля
E
α
(
ω
):
( )
( ) ( )
D
E
α
αβ
β
ω = В кубических кристаллах этот тензор всегда диагонален (
( )
αβ
ε
ω =
( )
αβ
= ε ω δ
), так что
( ) ( ) ( )
,
ω = ε ω
ω
D
E
(2.1) и все оптические свойства этих кристаллов определяются скалярной диэлектрической проницаемостью
ε
(
ω
). Таким образом, кубические кристаллы являются оптически изотропными. Зависимость
ε
(
ω
) от частоты, определяющая ее частотную дисперсию, обусловлена эффектами запаздывания поляризации P(
t
) по отношению к вызывающему ее полю E(
t
) (
( )
( )
( )
0
t
t
t
= ε
+
D
E
P
)
1
. Эти эффекты приводят к тому, что всегда является комплексной величиной
( )
( )
( )
,
i
′
′′
ε ω = ε ω + ε где
( )
′
ε ω
и
( )
′′
ε ω
−
вещественная и мнимая части диэлектрической проницаемости соответственно. Наличие причинно-следственной связи между поляризацией и вызывающим ее полем приводит к жесткой связи
( )
′
ε ω
и
( )
′′
ε ω
– соотношениям Крамерса
−
Кронига. Согласно уравнениям Максвелла волновой вектор плоской электромагнитной волны
2 2
2
x
y
z
k
k
k
k
=
+
+
при заданной частоте
ω
может быть определен из дисперсионного уравнения (уравнения Френеля
1
В этой связи заметим, что часто встречающаяся форма записи соотношения, аналогичного, в виде D(t) = ε
0
εE(t) некорректна, так как соответствует среде, поляризация которой мгновенно реагирует на внешнее поле. Такая непроводящая среда в принципе не может поглощать свет.

21 2
2 2
( )
k
c
= ε ω ⋅ Если ввести комплексный показатель преломления
( )
( )
( )
( )
1 2
,
n
n
i
ω = ε ω
= ω + χ ω




%
(2.2) где n(ω) обычный коэффициент преломления χ(ω)– показатель поглощения, то Согласно (2.2)
2
[ ( )
( )]
( )
( )
n
i
i
′
′′
ω + χ ω
= ε ω + ε ω и, следовательно,
2 2
( )
( )
( )
n
′
ε ω =
ω − χ ω ; ( ) 2 ( ) ( ).
n
′′
ε ω =
ω χ ω Рассмотрим плоскополяризованную волну, распространяющуюся вдоль оси z в положительном направлении (k = {0, 0, k}):
( )
(
)
(
) ( )
(
)
(
) ( )
0 0
,
i
t
c n
z
i
t kz
c
z
z t
e
e
e
− ω − ω
ω
− ω −
− ω χ Отсюда следует, что определяет фазовую скорость волны
v
φ
=
c/n
(
ω
), а
χ
(
ω
) характеризует поглощение света в кристалле. Интенсивность света будет экспоненциально затухать вдоль направления распространения света (закон Бугера
−
Ламберта):
( )
( )
(
) ( )
( )
2 2
2 2
,
0 0

,
c
z
z
I z
z t
e
e
− ω χ ω
−α где мы ввели коэффициент поглощения
( )
( ) 2
( )
( )
c
cn
ω
ω
′′
α ω =
χ ω =
ε ω
ω
(2.3) Таким образом, коэффициент поглощения пропорционален мнимой части диэлектрической проницаемости
( )
,
′′
ε ω
определяющей потери в среде.
2.1.2. Связь мнимой части диэлектрической проницаемости и коэффициента поглощения с вероятностью оптических переходов Сточки зрения квантовой электродинамики потери электромагнитной энергии в кристалле обусловлены поглощением фотонов при оптических переходах с уровней энергии
E
m
на уровни
E
n
. Согласно золотому правилу Ферми вероятность таких переходов в единицу времени определяется выражением где
m
и
n
– полные наборы квантовых чисел, характеризующих начальные и конечные состояния рассматриваемой квантовой системы (электроны, фононы и т. д
M
nm
– матричный элемент перехода. Наличие функции в правой части (2.4) отражает закон сохранения энергии при оптических переходах Собственное поглощение полупроводников обусловлено оптическими переходами электронов с уровней энергии валентной зоны
E
v
(
k
) на уровни энергии зоны проводимости
( )
c
E
′
k
, где
k
и
′
k
– волновые векторы начального и конечного состояний. В собственных полупроводниках при не очень высоких температурах, когда
kT
<<
E
g
(
E
g
– ширина запрещенной зоны, вероятность обнаружить электрон в валентной зоне
f
[
E
v
(
k
)]
≈
1, а в зоне проводимости функция распределения Ферми–Дирака), индуцированными переходами из зоны проводимости в валентную зону под действием фотонов можно пренебречь. В этом случае существует простая связь между вероятностью оптических переходов в единицу времени под действием одного фотона и мнимой части диэлектрической проницаемости полупроводника
(
)
(
)
w
′′
ε ω =
ω ω
h h
(2.5) Таким образом, согласно (2.3) и (2.5), расчет коэффициента поглощения сводится к расчету вероятностей соответствующих оптических переходов
(
)
(
)
(
)
w
cn
ω
α ω =
ω
h В области энергий фотонов вблизи края собственного поглощения полупроводника с достаточно высокой точностью можно считать
n
(
ћω
)
≈
n
= const.
2.1.3. Край собственного поглощения прямозонных полупроводников В прямозонном кубическом полупроводнике, имеющем простые параболические зоны, экстремумы которых расположены в центре зоны Бриллюэна, закон дисперсии электронов в зоне проводимости и валентной зоне определяется следующими выражениями
2 2
c g
*
e
( )
;
2
k
E
E
m
=
+
k
h
2 2
v
*
h
( )
2
k
E
m
= −
k
h
(2.6)

23 Здесь и
*
h
m – эффективная масса электрона и дырки соответственно, а начало отсчета энергии выбрано на потолке валентной зоны. Вероятность перехода в единицу времени под действием одного фотона, согласно (2.4), будет иметь вид
( )
(
)
( )
( )
(
)
2
cv c
v
2
,
w
M
E
E
π
′
′
ω =
δ ω −
+
∑
h h
h
k',k
k,k
k
k
(2.7) где
(
)
cv
,
M
′
k k – матричный элемент оператора электрон-фотонного взаимодействия для перехода электрона из состояния k валентной зоны в состояние зоны проводимости. В дипольном приближении, когда можно пренебречь волновым вектором фотона по сравнению с характерными значениями волнового вектора электрона в зоне Бриллюэна, оператор определяется выражением
(
)
2
e
0 2
ˆ
ˆ
,
e
c
H
m c
V
ω
π
= −
⋅
ω
p e
h где V – объем кристалла ˆp – оператор импульса e – единичный вектор вдоль направления поляризации света. В этом приближении) ( )
( )(
)
( )
1 2
*
cv c
v
,

M
V
d
−
′
′
ψ
∇⋅ ψ
∫
k
k
k k
x
e
x где
( ) ( )
( )
1 2
*
n
i
n
V
e
u
−
ψ
=
kx
k
k
x
x – блоховские волновые функции в координатном представлении. Вследствие трансляционной симметрии кристалла
(
)
( )
cv cv
,

,
M
P
′
′
δ
kk
k k
k
(2.8) где
( )
( )(
)
( )
*
cv c
v

P
u
u
d
Ω
∇⋅
∫
k
k
k
x
e
x x ;Ω − объем элементарной ячейки. Из (2.8) следует, что фотоны могут вызывать лишь вертикальные (k =
= ′
k ) оптические переходы, как это показано на рис. 2.1. Оптический матричный элемент P
cv
(k) слабо зависит от k, и поэтому всегда может быть представлен в виде следующего разложения по степеням k:
( )
( )
( )
cv cv cv
0 0
P
P
P
k
k
α
α
∂
=
+
+
∂
k
K
(2.9) Для полупроводников, у которых оптические переходы в точке экстремума разрешены P
cv
(0) = P
cv
≠ 0, можно ограничиться первым членом в разложении (2.9). В полупроводниках с запрещенными оптическими переходами необходимо учитывать линейные по члены. Таким образом, для разрешенных оптических переходов будем иметь
(
) ( )
1 2
cv cv
,

M
V
P
−
′
′
δ
kk
k k
(2.10) Подстановка (2.10) в (2.7) и суммирование по ′
k c учетом (2.6) приводит к следующему результату
( )
2 2 2
cv g

,
2
P
k
w
E
V


ω
δ ω −
−


µ


∑
k
h h
h
(2.11) где µ
−
приведенная масса электрона и дырки (1/µ = 1/
e
m
∗
+1/
h
m
∗
). Суммирование по
k
в правой части можно осуществить, используя предельный переход) В результате, вероятность прямых оптических переходов оказывается пропорциональной приведенной плотности состояний, теплот- ности состояний с приведенной эффективной массой µ (см. 1.9):
( )
(
) (
)
1 2 2
cv g
g

,
w
P
E
E
ω
ω −
Θ ω −
h h
h где Θ(x) − ступенчатая функция Хевисайда. Таким образом, край собственного поглощения прямозонных полупроводников с раз-
E
с
(k)
ћω
E
g
k
E(k)
E
v
(k) Рис. 2.1.
Вертикальные оптические переходы в прямозонных полупроводниках
α
E
g
ћω Рис. 2.2. Край собственного поглощения прямозонных полупроводников

25 решенными оптическими переходами в точках экстремума определяется корневой зависимостью
( )
(
) (
)
1 2
g g
A
E
E
α ω =
ω −
Θ ω −
h h
h
(2.13) где
A
= const. Спектральная зависимость коэффициента поглощения вблизи порога представлена на рис. 2.2.
2.1.4. Край собственного поглощения непрямозонных полупроводников Рассмотрим непрямозонный кубический полупроводник с невырожденной параболической валентной зоной, экстремум которой находится в центре зоны Бриллюэна, а минимум зоны проводимости смещен в точку
k
0
. Таких минимумов (эквивалентных долин) в зоне проводимости несколько по числу лучей вектора
k
0i
, связанных элементами симметрии кристалла (
i =
1, 2, …,
p
;
p
– число эквивалентных долин. Будем считать, что изоэнергетические поверхности в зоне проводимости представляют собой эллипсоиды вращения. Тогда закон дисперсии электронов вблизи экстремума одной из долин в главной системе координат тензора эффективной массы будет иметь вид
(
)
(
)
2 2
2 2
2 0
c g
*
*
( )
2 2
x
y
z
k
k
k
k
E
E
m
m

⊥
′
′
+
′ −
=
+
+
k
h h
(2.14)
E
ћω
E
v
k с
k
ћΩ с
ħω Е
Е
g
Рис. 2.3. Непрямые оптические переходы с участием фононов или дефектов а − электронов б − дырок а б

26 Дисперсия электронов в валентной зоне в этой же системе координат
2 2
v
*
h
( )
2
k
E
m
= −
k
h
(2.15) Согласно правилам отбора (2.9) оптические переходы из валентной зоны в минимум зоны проводимости в этих полупроводниках в первом порядке теории возмущений запрещены. Однако они разрешаются во втором порядке при учете взаимодействия электронов с фононами или другими дефектами, способными рассеивать частицу из состояния
k
≈
0 в состояние
0
′ Такой процесс можно рассматривать как идущий в два этапа (риса вертикальный переход электрона под действием фотона из состояния
k
валентной зоны v в промежуточное состояние зоны проводимости c′ и рассеяние его на фононе или дефекте в состояние
′
k
зоны проводимости c. При этом возможен и другой процесс, который удобно анализировать на языке дырок (рис. 2.3, б вертикальный переход дырки под действием фотона из состояния зоны проводимости
c
в промежуточное состояние в валентной зоне и последующее ее рассеяние на фононе или дефекте в состояние
k
валентной зоны v. Закон сохранения энергии для переходов в виртуальное состояние не выполняется. Оба процесса приводят к одному и тому же конечному результату, поэтому их матричные элементы суммируются. В результате, во втором порядке теории возмущений для разрешенных переходов, когда зависимостью матричных элементов от волнового вектора можно пренебречь, получим
(
)
cc c v cv v v cv c
c 0
v v
0
c v
, ;
(0)
( )
(0)
( )
V
P
P V
M
E
E k
E
E
k
′ ′
′ ′
′
±
±
′
′
′
′


′
=
+
δ


−
−


∑
∑
k ,k q
k k q
(2.16) Здесь c v
P
′
, cv
P
′
– матричные элементы оптических переходов cc
V
′
, v v
V
′
– матричные элементы рассеяния электрона на фононе или дефекте
q
– волновой вектор фонона или импульс, передаваемый дефектом, а суммирование идет по всем возможным виртуальным состояниям в зоне проводимости c′ ив валентной зоне v Символ Кронекера
±
δ
k',k q
в правой части (2.16) определяет закон сохранения импульса при таких переходах. Знак «+» соответствует процессу с поглощением фонона, ас испусканием фонона. При рассеянии наста- тическом дефекте (бесфононный процесс) электрон и дырка также могут

27 приобрести дополнительный импульс
±ћq
. Из (2.16) следует, что матричный элемент непрямого перехода зависит от величины зазора между виртуальными и конечными состояниями частиц. При анализе непрямых оптических переходов с участием фононов необходимо учитывать, что в начальном (для процесса с поглощением фонона) или конечном (для процесса с испусканием фонона) состоянии имеется фонон с энергией
ћ
Ω. Поэтому вероятность перехода в рассматриваемую нами долину в единицу времени будет определяться следующим выражением
( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
2
cv c
v
2
, ;
w
M
E
E
±
π
′
′
ω =
δ ω −
+
± Ω
∑ ∑
h h
h h
k',k, q
k k q
k
k
q
(2.17) Здесь функция в правой части определяет закон сохранения энергии при непрямых переходах. Эта формула справедлива и для бесфононных переходов, если в ней полагать
ћ
Ω(
q
) = 0. В отличие от прямых оптических переходов) в формуле (2.17) имеется дополнительное суммирование по
q
. Это имеет принципиальное значение и приводит к качественному изменению спектральной зависимости вероятности непрямых оптических переходов по сравнению с прямыми переходами. Подставив (2.16) в (2.17), получим
( )
( )
( )
( )
(
)
c v
w
E
E
±
′
ω =
δ
δ ω −
+
± Ω
=
∑ ∑
k',k q
k',k, q
k
k
q
h h
h
( )
( )
(
)
(
)
c v
E
E


′
′
=
δ ω −
+
± Ω ±
−
≈


∑
k',k
k
k
k k
h h
( )
( )
(
)
c v
E
E
′
≈
δ ω −
+
± Ω
∑
k',k
k
k
h h
(2.18) Здесь мы пренебрегаем дисперсией фононов по сравнению с дисперсией электронов вблизи экстремумов
(
)
(
)
(
)
0
′
Ω ±
−
≈ Ω ±
= Ω
k k
k
h h
h
. Подстановка) ив) приводит к следующему результату
( )
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2 2 0
g
*
*
*
h
2 2
2
x
y
z
k
k
k
k
k
w
E
m
m
m

⊥


′
′
+
′ −


ω =
δ ω −
−
−
−
± Ω




∑
k',k
h h
h h
h Переходя в этой формуле от суммирования пои к интегрированию
(2.12) по ′
k
, согласно (1.9), будем иметь
( )
(
)
g
1/2 2 2 2
2
g g
*
0
h
2
E
k
w
k
E
dk
E
m
ω− ± Ω


ω ∼
ω −
−
± Ω
∼ ω −
± Ω






∫
h h
h h
h h
h h
(2.19)

28
ћω
α
1
2
3
E
g
− ћΩ
E
g
E
g
+ ћΩ Рис. 2.4.
Край собственного поглощения непрямозонного полупроводника 1
− процесс с поглощением фонона
2
− бесфононный переход 3 – процесс с испусканием фонона Таким образом, край собственного поглощения непрямозонных полупроводников определяется квадратичной зависимостью от энергии фотонов. При этом вероятность перехода в каждую из эквивалентных долин зависит от поляризации падающего света. Однако можно показать, что полная вероятность перехода, являющаяся суммой вероятностей переходов вовсе эквивалентные долины, не зависит от поляризации света. Тем самым восстанавливается оптическая изотропия кубического кристалла. Согласно (2.19) порог поглощения сдвинут относительно E
g на величину энергии фонона ћΩ. Для бесфононной составляющей он совпадает с E
g
. Учитывая, что вероятность поглощения и испускания фононов зависит от температуры, представим спектральную зависимость коэффициента поглощения вблизи непрямого порога в виде
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2
g g
g
A
E
B
T
E
B
T
E
+
−
α ω =
ω −
+
ω −
+ Ω +
ω −
− Ω
h h
h h
h h
(2.20) Первый член в правой части выражения (2.20) определяет бесфононную составляющую, возникающую в результате рассеяния электронов и дырок на дефектах. Второй и третий члены обусловлены, соответственно, процессами поглощения и испускания фононов. Коэффициент A пропорционален концентрации дефектов, а определяется средним числом фононов с энергией при температуре T:
1
( )
;
( )
1
kT
kT
B
B
B T
B T
e
e
+
−
Ω
−
− Ω
=
=
−
h На рис. 2.4 представлена спектральная зависимость коэффициента поглощения вблизи непрямого порога (T ≠ 0).
1
Эта зависимость, которая была опущена нами в (2.18), содержится в матричном элементе. Край собственного поглощения полупроводников с учетом экситонных эффектов Рассмотренные в 2.1.3 и 2.1.4 оптические переходы в полупроводниках, как и сама их зонная структура, относятся к так называемому одноэлектронному приближению в физике твердого тела или, что тоже самое, к приближению невзаимодействующих электронов. Несмотря на то, что это приближение является основным при анализе большинства свойств полупроводников, оно не позволяет правильно описать край его собственного поглощения ни при какой температуре. Действительно, при поглощении фотона с энергией всегда образуются электрон и дырка, взаимодействующие между собой по закону Кулона
2
e h
e h
(
)
e
U
−
= Здесь e
h
,