Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов

• Название: 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
• Дата: 26.04.2021
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Метода по лабам ФКС.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #199065
• страница: 6 из 9

3.1.3. Линейный электрооптический эффект в кубических кристаллах группы Точечную группу симметрии T
d имеют все кубические кристаллы A
3
B
5
, кристаллизующиеся в структуре сфалерита (цинковой обманки, такие как
GaAs, GaP, AlAs и др. Из-за отсутствия центра инверсии в этих кристаллах наблюдается линейный электрооптический эффект. Анализ показывает, что отличны от нуля и равны друг другу только следующие шесть линейных электрооптических коэффициентов
123 213 231 321 312 132
r
r
r
r
r
r
=
=
=
=
=
(3.7) Для удобства в литературе часто используют двухиндексную (матричную) систему обозначений для компонентов этих тензоров, заменяя два индекса, по которым тензор симметричен, одним последующему правилу 11→1, 22→2,
33→3, 23→4, 31→5, 12→6. Таким образом, в кристаллах T
d
будем иметь
41 52 63
r
r
r
=
=
(3.8) и только одна константа определяет линейный электрооптический эффект. В отсутствие внешнего электрического поля оптическая индикатриса кристаллов группы T
d
представляет собой сферу риса где n – коэффициент преломления. Под действием произвольно направленного поля E{E
1
, E
2
, E
3
} она изменится и, согласно (3.3), (3.6)–(3.8), примет вид
2 2
2 1
2 3
41 1 2 3 2 1 3 3 1 2 2
1
(
) 2
(
) 1.
x
x
x
r
E x x
E x x
E x x
n
+
+
+
+
+
=
(3.9) Выражение (3.9) − уравнение эллипсоида общего вида, форма которого, а также направления его главных осей зависят от величины и направления вектора E. В частном случае, когда E || [111], те, уравнение оптической индикатрисы приводится к виду
2 2
2 1
2 3
41 2 3 1 3 1 2 2
1 2
(
)
(
) 1.
3
E
x
x
x
r
x x
x x
x x
n
+
+
+
+
+
=
(3.10) Выражение (3.10) − уравнение эллипсоида вращения с осью, параллельной вектору E. Направление двух других осей эллипсоида, перпендикулярных ей, могут быть выбраны произвольно (рис. 3.2, б. В линейном по полю приближении главные показатели преломления в этом случае равны

49
n
1
= n
2
= n
⊥
= n + n
3
r
41
E/(2 3 );
(3.11)
n
3
= n
||
= n − n
3
r
41 где и n
⊥
− коэффициенты преломления для волн, поляризованных, соответственно, параллельно и перпендикулярно полю. Если направление распространения света перпендикулярно полю в образце, то n
(1)
= n
⊥
, n
(2)
= n
||
, а разность фаз, которую приобретут две волны (моды, одна из которых поляризована по полю, а вторая перпендикулярна ему, согласно (3.4), будет равна
3 3
||
41 41 2
3 3
d
d
n
n d
n r E
n r U
h
⊥
π
π
π


ϕ =
−
=
=


λ
λ
λ
(3.12) Здесь d – длина кристалла вдоль направления распространения света h – расстояние между электродами U – разность потенциалов, прикладываемая к образцу.
3.2. Описание и принцип действия экспериментальной установки
3.2.1. Экспериментальная установка
Блок-схема экспериментальной установки для исследования электрооптического эффекта приведена на рис. 3.3. В качестве источника света в работе используется гелий-неоновый лазер
ЛГМ-207 (λ = 0.6328 мкм, питание которого осуществляется от источника постоянного тока (ИПТ). Излучение лазера проходит через поляризатор П, ориентированный таким образом, чтобы падающий на образец О свет был линейно поляризован под углом 45° к направлению поля в образце. Пройдя через образец, свет
n
n
n
x
1
x
2
x
3
n
⊥
n
||
x
1
x
2
x
3
E || [111] Рис. 3.2. Оптическая индикатриса кристалла группы T
d
: а − в отсутствие внешнего электрического поля б − в поле E || [111] а б

50 падает на анализатор А, скрещенный относительно поляризатора. В отсутствие поля в образце такая оптическая система не пропускает свет. Если же к образцу приложена разность потенциалов, то выходящий из него свет вследствие электрооптического эффекта приобретает эллиптическую поляризацию и частично проходит через анализатор. Регистрация света, прошедшего через оптическую систему, осуществляется кремниевым фотодиодом ФД, работающим в линейном режиме. Сигнал с фотодиода, пропорциональный интенсивности прошедшего через образец света, поступает на первый канал осциллографа (I). В качестве исследуемого образца в работе используется высокоомный
(ρ∼ 10 9
Ом · см) кристалл GaP, на две боковые грани которого нанесены металлические контакты, а две другие грани, через которые проходит свет, оптически полированы. Кристалл ориентирован так, чтобы поле в образце E было параллельно кристаллографическому направлению [111], а направление распространения света – перпендикулярно ему. К образцу прикладывается переменное напряжение U, снимаемое с вторичной обмотки повышающего трансформатора Тр, первичная обмотка которого подключена к основному выходному каналу (I) звукового генератора (ЗГ) Г. Напряжение с выходного канала II ЗГ подается на входной канал II осциллографа. Действующее значение напряжения на образце регистрируется вольтметром V.
3.2.2. Вывод расчетных формул Сечение оптической индикатрисы плоскостью, перпендикулярной направлению распространения света в образце, в соответствии с рассматриваемой схемой опыта показано на рис. 3.4. На этом же рисунке показаны еди-
ЛГМ-207
ИПТ
I, Осциллограф
III, U
2
V
Тр ПО А
ФД Г
II
I
ЗГ Рис. 3.3. Блок-схема экспериментальной установки

51 ничные орты e
||
и e
⊥
, направленные, соответственно, по полю и перпендикулярно ему, а также единичные орты Пи А, указывающие направления осей поляризатора и анализатора, соответственно. Согласно рисунку эти орты удовлетворяют следующим соотношениям ПАПА e
А
П
||
1,
⊥
=
=
=
=
e
e
e
e
(3.13) В отсутствие поля в кристалле сечение оптической индикатрисы представляет собой окружность радиуса n (n – коэффициент преломления, а при наличии поля – эллипс с полуосями и n
||
, определяемыми формулами
(3.11). Падающую на кристалл после поляризатора плоскую линейно-поляризованную электромагнитную волну можно представить в виде )
(
)
(
)
(
)
пад
0 П kz
i
t kz
z,t = E
e
=
= E
e
− ω −
− ω где E
0
– амплитуда волны k = 2π/λ, а ось z выбрана вдоль направления распространения света. Если к кристаллу не приложено внешнее напряжение, то фазы двух волн, поляризованных пои, будут совпадать и на выходе из кристалла будем иметь также линейно-поляризованную волну вида
( )
(
)
(
)
2
вых
0
||
2
,
i
t kz
nd
z,t = E
e
− ω − − π
λ
⊥
+
E
e
e
(3.14) где d – толщина кристалла вдоль направления распространения света. Такая волна не пройдет через анализатор, так как не имеет составляющей в направлении Ат. е. (E
вых
· А) = 0, что непосредственно следует из (3.13) и (Если же к кристаллу приложена разность потенциалов U, тона выходе из кристалла будем иметь
1
Эта формула не учитывает отражение света на границах кристалла.
E || [111]
e
A
n
||
e
n
e
⊥
n Рис. 3.4. Сечение оптической индикатрисы кристалла GaP в отсутствие поля (штриховая линия) ив поле E || [111] сплошная линия)

52
( )
(
)
(
)
||
||
2 2
вых
0
||
2
n
n
i
t
kz
n d
i
d
z,t = E
e
e
⊥
−
− ω −
− π
λ


π
λ


⊥
+
=
E
e
e
(
)
(
)
||
2
,
0
||
2
t
kz
n d
i
i
= E
e
e
ω −
− где разность фаз ϕ как функция U определяется формулой (3.12). В этом случае выходящая волна эллиптически поляризована и имеет следующую составляющую вдоль оси анализатора )
(
)
(
)
(
)
||
2
вых
A
0 2 1
i
t
kz
n d
i
z,t
= E
e
e
− ω −
− Интенсивность прошедшего через анализатор света определяется формулой
( )
(
)
(
)
2 2
2 0
вых
A

sin
2 .
I
= Учет отражения света от границ кристалла и анализатора не изменит характер зависимости интенсивности прошедшего через оптическую систему света от прикладываемого к кристаллу напряжения U. Эта зависимость может быть представлена в виде
( )
( )
(
)
(
)
2 2
0 0
sin
2
sin
2 ,
I где I
0
= const − интенсивность света с учетом всех отражений на кристалле, поляризаторе и анализаторе, а коэффициент b, согласно (3.12), определяется следующей формулой
3 41 3 dn
b
r
h
π
=
λ
(3.15) Интенсивность прошедшего света I(U) является четной функцией напряжения и поэтому модуляция интенсивности света происходит на удвоенной частоте по отношению к частоте сигнала U(t) = U
0
sin(2πft). Это следует из модуляционной характеристики, представленной на рис. 3.5. Используемый в настоящей работе кристалл GaP имеет внутренние механические напряжения вдоль направления [111], что вследствие упругооптического эффекта приводит к возникновению дополнительной разности фаз ϕ
0
. В результате модуляционная характеристика оказывается смещенной (риса реальная зависимость определяется выражением
( )
(
)
(
)
2 0
0
sin
2 .
I U
I
bU
=
+ ϕ
(3.16)

53 Отсюда следует, что при U = 0 система пропускает свет, интенсивность которого
( )
(
)
2 0
0 0
sin
2 Измерив ее, можно определить по формуле
( )
(
)
0 2
0 0
sin
2
I
I =
ϕ
(3.17) В области малых сигналов U
0
модуляционная характеристика (рис. 3.6) линейна, и прошедший через оптическую систему свет промодулирован на частоте сигнала. В этом случае изменение интенсивности света ∆I пропорционально тангенсу угла модуляционной характеристики в точке U = 0, те. первой производной от I(U), и изменению напряжения на кристалле ∆U. Таким образом, при малых ∆U, согласно (3.16),
(
) (
)
0 0
0
(0)
sin
2 cos
2
dI
I
U
I
b U
dU
∆ =
∆ =
ϕ
ϕ
∆
I(t)
U(t)
U, t
t
I
I(U)
I
0 0
I(t)
U(t)
U, t
t
I
I(U)
∆I
∆U = 2U
0
I(0)
0
U
0
= ϕ
0
/2b Подставив в эту формулу из (3.17), получим
(
)
0 0
(0)
ctg
2
I
I
b U
=
ϕ
∆
(3.18) Рис. 3.5. Модуляционная характеристика электрооптической системы Рис. 3.6. Модуляционная характеристика электрооптической системы с учетом механических напряжений в кристалле

54 В соответствии с измерительной схемой (рис. 3.3) ∆I и I
0
пропорциональны напряжению U
1
, измеряемому первым каналом осциллографа, аи напряжению U
2
, измеряемому вторым каналом осциллографа. Следовательно, в области малых ∆U
2
, согласно (3.18),
(
)
1 1
0 2
2
(0)ctg
2
,
U
U
b U
k U
∆
=
ϕ
∆
= где и двойные амплитуды сигналов на соответствующих каналах, а U
1
(0)– постоянная составляющая сигнала на первом канале при U
2
= 0. Таким образом, по тангенсу угла наклона касательной к экспериментально измеренной характеристике ∆U
1
, ∆U
2
в области малых ∆U
2
, k можно определить коэффициент b:
0 1
tg(
2),
(0)
k
b
U
=
ϕ
(3.19) и по формуле (3.15) рассчитать электрооптический коэффициент r
41
:
41 3
3
h
r
b
dn
λ
=
π
3.3. Проведение измерений
3.3.1. Подготовка установки
1. Включить сетевой фильтр. Включить питание лазера, звукового генератора, вольтметра и осциллографа.
2. Установить частоту сигнала звукового генератора f = 450 Гц.
3. На осциллографе установить режим измерения канала I попеременному сигналу. Для этого нажать кнопку 1 на лицевой панели осциллографа, войти вменю) и нажимать кнопку «Coupling» до появления режима постоянная составляющая сигнала на канале I удалена. Установить чувствительности канала I – 2 мВ/дел., канала II – 5 Вдел.
4. Перевести вольтметр в режим снятия действующего напряжения переменного тока на образце (кнопка ACV в блоке «Function»).
3.3.2. Проведение измерений Снятие зависимости входного сигнала от входного Убедиться в том, что в отсутствие переменного напряжения на образце (U
2
= 0) при освещении его лазером сигнал с ФД отсутствует (U
1
= 0).

55 Изменяя напряжение на образце U
2 действ ручкой регулировки ЗГ от минимального до максимального, снять зависимость ∆U
1
от и занести данные в табл. (всего измерить 10 точек. Данные
1 2
…
10
U
2 действ, В
…
…
…
∆U
2
, В
0
…
…
…
∆U
1
, отн. ед.
0
…
…
…
∆U
1
– двойная амплитуда сигнала ФД; значения ∆U
1
берутся в делениях шкалы осциллографа (чувствительность канала I – 2 мВ/дел.), ∆U
2
– двойная амплитуда напряжения на образце в вольтах. Учитывая, что вольтметр показывает действующее значение напряжения, перевести его в амплитудное
2 2 действ 2
,
U
U
∆
=
В. Примечание. Если сигнал с ФД не очень качественный (уровень шума велик, следует выбрать режим усреднения сигналов, полученных зане- сколько циклов сбора данных (возможно от 2 до 256). Для этого нажать кнопку «Acquire» (сбор данных) – на экране появляется меню «Acquire». Нажимая первую кнопку меню («Mode»), выбрать режим «Average» (усреднение. Нажать вторую кнопку меню («Average»), выбрать количество циклов сбора данных, равное 64. Измерение постоянной составляющей выходного сигнала при нулевом сигнале ЗГ. Установить напряжение ЗГ минимально возможным. На осциллографе установить режим измерения канала I по постоянному сигналу. Для этого нажать кнопку 1 на лицевой панели осциллографа, войти вменю) и нажимать кнопку «Coupling» до появления режима DC. Изменять чувствительность канала I вращением желтого верньера Vertical пока на экране не появится сигнал постоянной составляющей U
1
(0) (желтая линия. Записать уровень этого сигнала как разницу (в делениях) в положении желтой линии по вертикали при освещении образца лазером ив темноте. Значение U
1
(0) берется (в произв. ед) с учетом того, что чувствительность канала I изменилась при измерении переменного U
1
3.3.3. Завершение работы
1. Вернуть прежнюю чувствительность канала I.
2. Войти вменю осциллографа (Menu on/off) и восстановить режим измерения канала I по переменнному сигналу («Coupling» – AC).
3. Выключить осциллограф, генератор, вольтметр и сетевой фильтр.

56
3.4. Обработка экспериментальных результатов Построить график ∆U
1
(∆U
2
). Экстраполируя экспериментальную зависимость линейной функцией, определить ее тангенс угла наклона k; полагая
ϕ
0
= 0.7 рад n = 3.32; d = 0.24 см h = 0.18 см, по формуле (3.19) рассчитать коэффициент b и электрооптический коэффициент Используя полученные данные, построить модуляционную характеристику электрооптической системы, которую, согласно (3.16) и (3.17), можно представить как
2 1
1 2
2 0
2 0
(0)
(
)
sin [(
) 2)].
sin (
2)
U
U U
bU
=
+ Построить с помощью компьютера временные зависимости U
1
(t) =
=U
1
[U
2
(t)], где U
2
(t) = U
0
sin(2πft), для двух значений U
0
, указанных преподавателем. Требования к отчету Отчет о работе должен содержать
1. Блок-схему установки.
2. Краткое описание электрооптического эффекта.
3. Таблицу измерений.
4. График зависимости ∆U
1
(∆U
2
) в диапазоне приложенных к кристаллу напряжений.
5. Расчет электрооптического коэффициента r
41 6. Рассчитанную модуляционную характеристику электрооптической системы (полагать, что приложенное к образцу напряжение 0…3 кВ.
7. Временные зависимости U
1
(t) = U
1
[U
2
(t)], рассчитанные при помощи компьютера, при двух значениях U
0 8. Критическую оценку результатов.
3.6. Контрольные вопросы
1. Что такое двойное лучепреломление
2. Объяснить, почему линейный электрооптический эффект наблюдается в кубических кристаллах группы симметрии T
d

57 3. При каких условиях можно получить удвоение частоты на модуляционной характеристике электрооптической системы Список литературы
Глинский Г. Ф. Полупроводники и полупроводниковые наноструктуры симметрия и электронные состояния. СПб.: Изд-во «Технолит», 2008. 324 с.

58 Лабораторная работа 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕНЗОЭФФЕКТА В КРЕМНИИ