Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
1.2. Квазиклассическая динамика электронов и дырок в твердых телах При анализе кинетических явлений в твердых телах, таких как электропроводность, эффект Холла и др, в ряде случаев достаточно ограничиться классической теорией движения квазичастиц (электронов и дырок) во внешних полях. В этом случае носители заряда в зоне можно рассматривать как свободные классические частицы, но имеющие сложный закон дисперсии ( ) k E , определяемый зонной структурой кристалла 1 В рамках данной квазиклассической модели k p h = играет роль импульса частицы, а ( ) k E – ее кинетической энергии. В этом приближении скорость частицы, те. групповая скорость волнового пакета в среде с законом дисперсии определяется выражением ( Согласно классическим уравнениям под действием силы F импульс частицы изменяется по закону d d dt dt = = p k F h (1.4) Из этих уравнений следует, что под действием силы F частица движется с ускорением ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 j i j i i j i j dk E E E dv d F dt dt k k k dt k k ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ k k k h Полученному уравнению можно придать смысл обычного уравнения Ньютона, если ввести понятие тензора обратной эффективной массы частицы ( ) 2 * 2 1 1 i j ij E k k m ∂ = ∂ Тогда * 1 i j ij dv F dt m = 1 Такой подход аналогичен приближению геометрической оптики для неоднородной среды с произвольным законом дисперсии электромагнитных волн. Скорость и направление переноса электромагнитной энергии в этом случае определяются групповой скоростью волнового пакета ( гр ∂ω ∂ v k k 2 Здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммирование от 1 доили Здесь * ij m – тензор эффективной массы, который является обратным по отношению к * 1 ij m , те единичный тензор. Согласно принципу Паули водном и том же квантовом состоянии немо- жет находиться более одного электрона. Поэтому в нелегированных полупроводниках при T = 0 все состояния в валентной зоне оказываются занятыми электронами, а состояния в зоне проводимости – пустыми (рис. 1.3) Вследствие инвариантности гамильтониана электрона в кристалле относительно инверсии времени, те. замены t t → − , все состояния по крайней мере двукратно вырождены ( ) 1 2 E + k ( ) 1 2 E − = −k . Здесь 1 2 ± нумерует спиновые состояния электрона. Так как все состояния валентной зоны заполнены, то число электронов с импульсом k h равно числу электронов с импульсом − k h , а число электронов с проекцией спина на ось z 1 2 s m = + равно числу электронов с проекцией спина 1 2 s m = − . Полный импульс такой системы электронов 0, i i = = ∑ K k h а ее полный спин S = 0, так что его проекция на ось z: 0. si i M m = = ∑ S E 0 k E Рис. 1.3. Распределение электронов в полупроводнике при T = 0. Все состояния в валентной зоне заняты электронами 12 Энергия электронов в полностью заполненной валентной зоне E есть величина постоянная и может быть принята за начало отсчета энергии электронов, те. можно полагать При 0 T ≠ часть электронов переходит из валентной зоны в зону проводимости, так что некоторые состояния в валентной зоне оказываются пустыми (рис. 1.4). Если из валентной зоны удален один электрон с импульсом 1 k h в спиновом состоянии 1 1 2 s m = + и энергией E 1 , то полный импульс K h , проекция спинового момента M S и энергия E оставшейся части электронов будут 1 1 , i i = − = − ∑ K k k k h h h h 1 2 1 2, si i M m = − = − ∑ S 1 1 i i E E E E = − = Отсюда следует, что удаление электрона в состоянии k и s m с энергией E эквивалентно появлению в валентной зоне новой квазичастицы – дырки – в состоянии и s m − с энергией –E. По отношению к состоянию ушедшего электрона, состояние дырки можно рассматривать как инвертированное во времени. E 0 k E Рис. 1.4. Распределение электронов в полупроводнике при 0 T ≠ . Имеется некоторое количество электронов в зоне проводимости и такое же количество пустых мест (дырок) в валентной зоне 13 Таким образом, анализ поведения электронов в полупроводнике при 0 T ≠ можно свести к анализу поведения электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. Переход от зонных параметров к электронными дырочным осуществляется согласно следующему правилу ( ) ( ) ( ) ( ) − − = − = = = k k k k k k k k v h h h c e e Согласно квазиклассическому уравнению (1.4) во внешнем электрическом Е и магнитном В полях волновой вектор частицы, имеющей заряд q, изменяется во времени по закону [ ] d q q dt = + × k E v Рассмотрим движение электронов в зоне проводимости ( ) k c E и дырок в валентной зоне ( ) k v E (рис. 1.35) во внешних полях (спином для простоты будем пренебрегать. Групповые скорости электрона и дырки определяются соотношениями ( ) ( ) e e c e e 1 1 ; E E ∂ ∂ = = = ∂ ∂ k k v v k k h h ( ) ( ) h h v h h 1 1 E E ∂ ∂ − = = = ∂ ∂ k k v k k h h ( Здесь нами учтено, что вследствие инвариантности гамильтониана кристалла по отношению к инверсии времени всегда выполняется условие ( ) ( ) k k E E = − . Полагая q = − e, получим следующие уравнения движения для электронов и дырок [ ] e e ; d e e dt × = − − k v B E h [ ] h Таким образом, дырку можно рассматривать как квазичастицу с положительным зарядом 1 Отметим, что это утверждение не противоречит инерционным опытам, из которых следует, что независимо от типа электропроводности полупроводника инерционный ток обусловлен исключительно отрицательно заряженными частицами, те. электронами. Рис. 1.5. Схематическое изображение зонной структуры кристалла Si 14 1.3. Плотность энергетических состояний в зонах По определению, плотностью энергетических состояний ( ) E ρ называется число состояний в единице объема в единичном интервале энергий. Для однородной среды объема V ее можно определить, как ( ) 1 , dN E V где dN – число состояний в интервале энергий от E до E + dE. Нетрудно проверить, что для квантовой системы с одним дискретным энергетическим уровнем E 1 (рис. 1.6) ( ) ( ) 1 1 , E E E V ρ = где ( ) 1 E E δ − – функция Дирака. Действительно, в этом случае ( ) N V E dE = ρ = ∫ ( ) 1 1, E E dE = δ − = ∫ если область интегрирования включает точку Е. Этот результат легко обобщается для случай случая системы с произвольным числом дискретных уровней E n . Тогда ( ) ( ) 1 , n n E E E V ρ = δ − ∑ (1.5) и каждый энергетический уровень, попадающий в область интегрирования, вносит вклад, равный единице, в общее число состояний. В кристалле конечного объема V энергетический спектр электронов ( ) k n E определяется двумя дискретными квантовыми числами n и k, поэтому плотность состояний должна иметь вид ( ) ( где суммирование по k идет в пределах зоны Бриллюэна 1 Так как кристалл, строго говоря, является микроскопически неоднородной средой, то определенную таким образом плотность состояний следует рассматривать как величину, усредненную по элементарной ячейке, те. как макроскопическую характеристику данной квантовой системы. ЕЕ Рис. 1.6. Спектр квантовой системы с одним энергетическим уровнем 15 Непосредственные расчеты плотности состояний удобно проводить в пределе , V → ∞ когда k переходит в непрерывное квантовое число. В этом случае необходимо воспользоваться формулой ( ) ( ) 3 3 , , 1 1 1 1 2 2 x y z V x y z k k k d dk dk Если также учесть, что в отсутствие внешнего магнитного поля каждый энергетический уровень, по крайней мере, двукратно вырожден ( ) 1 2 E + = k ( ) 1 2 E − = −k , то для плотности состояний в объемном кристалле будем иметь следующее окончательное выражение ( ) ( ) ( ) 3 2 2 n x y z n E E E dk dk dk ρ = δ − π ∑∫∫∫ k (1.6) Аналогичным образом определяется плотность состояний в двумерных ( ) E D 2 ρ и одномерных ( ) E D 1 ρ кристаллах, как число состояний в единичном интервале энергий, приходящихся, соответственно, на единицу площади и единицу длины ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 , 2 D D n x y n E E E dk dk ρ = δ − π ∑∫∫ k (1.7) ( ) ( ) 1 1 2 2π D D n z n E E E dk ρ = δ − ∑∫ k (1.8) Для простой параболической зоны, экстремум которой находится в точке Е ( ) ( ) 2 2 2 2 0 ; 2 x y z k k k E E m ∗ + + = + k h ( ) ( ) 2 2 2 2 0 ; 2 x y D k k E E m ∗ + = + k h ( ) 2 2 1 0 Интегралы в формулах (1.6)–(1.8) легко берутся, и мы получаем следующие аналитические выражения для плотности состояний в зонах объемного, двумерного и одномерного кристаллов соответственно ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 0 0 3 4 2 ; 2 E m E E E E ∗ π ρ = − θ − πh 16 ( ) ( ) ( ) 2 0 2 4 ; 2 D m E E E ∗ π ρ = θ − πh ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 1 , 2 D m E E E E E ∗ ρ = θ − π − h (1.9) где ( ) x θ − ступенчатая функция, ( ) ( ) ( ) < ≥ = θ 0 0 0 1 x x x . Соответствующие зависимости вместе с дисперсией приведены на рис. 1.7. Таким образом, характер зависимости плотности состояний от энергии электрона в зоне существенно зависит от геометрии образца. В частности, в нульмерных системах (типа изолированного атома) она имеет вид функции рис. 1.6). Это отчетливо проявляется в полупроводниковых квантово-раз- мерных структурах, таких, как квантовые ямы, квантовые проволоки и квантовые точки. 1.4. Цель работы Цели работы следующие – исследование зонной структуры одномерного кристалла посредством численного решения уравнения Шредингера для электрона в периодическом поле – анализ энергетических состояний и волновых функций электрона в зависимости от параметров кристаллического потенциала – расчет зависимостей эффективной массы и групповой скорости электрона от волнового вектора – расчет плотности энергетических состояний в разрешенных зонах. k ЕЕ) ЕЕ ЕЕ Е) Рис. 1.7. Дисперсия и плотность энергетических состояний трехмерного ( двумерного ( ) 2D E ρ и одномерного ( ) 1D E ρ кристаллов 17 В основе расчета лежит численное решение уравнения Шредингера в базисе плоских волн. В качестве потенциала решетки U(x) рассматривается модельный кристаллический потенциал прямоугольной формы (рис. 1.8). 1.5. Порядок выполнения работы Включить сетевой фильтр. Включить питание компьютера. Открыть папку ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ. В папке ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ открыть файл ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.mcd». Приступить к выполнению заданий, руководствуясь указаниями на экране монитора. Задание 1. Рассчитать энергетический спектр электрона в трех нижних зонах одномерного кристалла при различных значениях амплитуды потенциала и ширины барьера d. Проанализировать поведение электронного спектра в рамках двух моделей почти свободных и сильно связанных электронов. Задание 2. Рассчитать волновые функции электрона ( ) 2 x n Ψ в трех нижних зонах одномерного кристалла при k = 0, U 0 = 5 эВ и различных значениях ширины барьера Задание 3. Рассчитать минимальные E min и максимальные E max энергии разрешенных зон в зависимости от ширины барьеров d и амплитуды кристаллического потенциала U 0 . Проанализировать полученные данные на основе теории, учитывающей эффекты туннелирования электрона между отдельными атомами кристаллической решетки. x U(x) U 0 a d c 0 Рис. 1.8. Модельный кристаллический потенциал U 0 – амплитуда потенциала, эВ а = (c + d) – период решетки d – ширина барьера 18 Задание 4. При условии, что две нижние зоны одномерного кристалла полностью заполнены электронами, рассчитать и проанализировать зависимость ширины запрещенной зоны ( E g = E 3 min – E 2 max ) от ширины потенциальных барьеров d и амплитуды кристаллического потенциала Задание 5. Рассчитать зависимость групповой скорости электрона гр и его эффективной массы m * от волнового вектора электрона k в двух верхних зонах. Задание 6. Рассчитать плотность энергетических состояний Ев трех нижних зонах одномерного кристалла при следующих значениях параметров а) U 0 = 5 эВ d = 0 Å (электрон в свободном пространстве б) U 0 = 5 эВ d = 1 Полученные данные сопоставить с зонной структурой одномерного кристалла и сравнить с плотностью состояний электрона в свободном пространстве Е. 6. Выйти из программы расчета. На запрос о сохранении файла ответить НЕТ. 7. Получить у преподавателя распечатанные результаты расчета. 1.6. Требования к отчету 1. Содержащиеся в распечатке результаты, полученные при выполнении заданий 1–6, проанализировать и представить краткие выводы по ним. 2. Взяв за основу результаты, содержащиеся в распечатке, представить аналогичные зависимости для модельного кристалла, характеризующегося параметрами, указанными преподавателем. 1.7. Контрольные вопросы Что из себя представляет зона Бриллюэна для исследованного в работе кристалла Каков вид волновой функции электрона в таком кристалле Сравните два метода расчета зонной структуры кристаллов – приближения почти свободных и сильно связанных электронов, – укажите их принципиальное сходство, различие и результат расчета. Как, зная закон дисперсии электрона в зоне Бриллюэна, охарактеризовать его поведение с помощью зависимостей гр) и m * (k)? Каков физический смысл дырки как квазичастицы в кристалле Что такое плотность состояний электрона в разрешенной зоне кристалла Как различается вид ρ( E ) в зависимости от его размерности (3 D -, 2 D -, 1 D -, кристаллы 19 Список литературы Глинский Г. Ф. Полупроводники и полупроводниковые наноструктуры симметрия и электронные состояния. СПб.: Изд-во «Технолит», 2008. 324 с. Бонч-Бруевич В. Л, Калашников С. Г. Физика полупроводников. М Наука, 1990. 688 c. Ю П, Кардона М. Основы физики полупроводников. М Физматлит, 2002. 560 с. Зегря Г. Г, Перель В. И. Основы физики полупроводников. М Физмат- лит, 2009. 335 с. |