Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов

• Название: 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
• Дата: 26.04.2021
• Размер: 0.83 Mb.
• Имя файла: Метода по лабам ФКС.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #199065
• страница: 4 из 9

x x
– радиус-вектор электрона и дырки соответственно ε − статическая диэлектрическая проницаемость кристалла. Возникающее в результате поглощения кванта света двухчастичное электронно-дырочное возбуждение называется экситоном. Такая система, напоминающая атом водорода, вследствие трансляционной симметрии может свободно перемещаться по кристаллу. В полупроводниках реализуются экситоны большого радиуса – экситоны
Ванье−Мотта. Их энергетические уровни могут быть рассчитаны в приближении эффективной массы или, что тоже самое, в приближении огибающих волновых функций. В полупроводниках с прямой структурой зон, согласно (2.6), огибающая волновая функция экситона e
h
( ,
)
Ψ x x удовлетворяет следующему уравнению Шредингера
2 2
2 2
2
g e
h e
h e
h
*
*
e h
e h
( ,
)
( ,
).
2 2
e
E
E
m
m


−
∇ −
∇ −
Ψ
= Ψ




ε
−


x x
x x
x
x
h Переходя к системе центра масс e h h
*
*
e h
m
m
m
m
+
=
+
x
x
R
, r = xe
−−−− xh,
1
Строго говоря, экситон представляет собой многочастичное возбуждение в кристалле, которое адекватно может быть описано лишь в рамках многочастичной квантовой теории.

30 будем иметь
2 2
2 2
2
(
)
(
).
2 2
e
E
M
r


−
∇ −
∇ −
Ψ
= Ψ




µ
ε


r
R
R, r
R, r
h h
(2.21) где M =
*
*
e h
m
m
+
– масса экситона 1/µ = 1/
*
e
m
+ 1/
*
h
m
– приведенная масса электрона и дырки. Решение этого уравнения всегда можно представить в виде
(
)
( ).
i
n
n
Ae
Ψ
=
ψ
KR
k
R,r
r
(2.22) где K – волновой вектор экситона, характеризующий его трансляционное движение как целого ψ
n
(r) – волновая функция внутреннего движения экситона совокупность квантовых чисел, нумерующих состояния экситона. Подстановка (2.22) в (2.21) приводит к следующему уравнению для ψ
n
(r):
2 2
2
( )
( ),
2
n
n n
e
r


−
∇ −
ψ
= ε ψ




µ
ε


h
r
r
r
(2.23) где
M
E
E
n
2 2
2
g
K
h
−
−
=
ε
− внутренняя энергия экситона. Уравнение (2.23) совпадает с уравнением Шредингера для атома водорода, поэтому энергетический спектр экситона является водородоподобным рис. 2.5). Таким образом, внутренняя энергия экситона может принимать как дискретный
2
ex
,
n
R
n
ε = −
таки непрерывный ε ≥ 0 ряд значений, соответствующий ионизированным состояниям экситона (R
ex
– эффективная экси-
z
ε
n = 1
n = 2
n = 3 Рис. 2.5
. Энергетический спектр водородоподобного экситона

31 тонная постоянная Ридберга, n = 1, 2, 3, ... – главное квантовое число. В соответствии с этим полная энергия экситона будет
(
)
(
)
2 2
g
2 2
g
( дискретный спектр ;
2
( непрерывный спектр .
2
n
n
K
E K
E
M
K
E K
E
M
ε
=
+ ε +
=
+ ε +
h h
(2.24) Закон дисперсии экситонов определяет так называемую экситонную зонную структуру полупроводника. Для прямозонного полупроводника, согласно
(2.23), она имеет вид, представленный на риса. Так как минимум экситонных зон в рассматриваемом прямозонном полупроводнике расположен в центре зоны Бриллюэна в точке
k
= 0, то такие экситоны называются прямыми. В случае непрямозонного полупроводника полная энергия экситона водной из эквивалентных экситонных долин, в соответствии си, будет определяться следующими выражениями
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 0
g
*
*
2 2
2 2
2 0
g
*
*
( дискретный спектр 2
( непрерывный спектр 2
x
y
z
n
n
x
y
z
K
K
K
K
E
K
E
M
M
K
K
K
K
E K
E
M
M


⊥
ε
⊥

+
−

=
+ ε +
+



+
−
=
+ ε +
+


h h
h где M
⊥
=
*
m
⊥
+
*
h
m ,
||
M
=
*
m

+
*
h
m Его внутренняя энергия определяется из решения уравнения Шредингера для анизотропного атома водорода
E(K)
K
E
g
0
E
gx
n = 1
n = 2
E(K)
K
E
g
K
0
E
gx
n = 1
n = 2 0 а б Рис. 2.6. Экситонная зонная структура полупроводников а
− прямозонного б
− непрямозонного E
gx
=E
g
−
ε
1
 − экситонная ширина запрещенной зоны. Заштрихованная область соответствует ионизированным состояниям экситона

32 2
2 2
2 2
2
(
)
( )
( ),
2 2
x
y
z
n
n
e
r
E
r
r

⊥


−
∇ + ∇ −
∇ −
ψ
= ψ




µ
µ
ε


h где 1/µ
⊥
= 1/
*
m
⊥
+ 1/
*
h
m , 1/µ

= 1/
*
m

+ 1/
*
h
m Экситонная зонная структура рассматриваемого непрямозонного полупроводника представлена на рис. 2.6, б. Так как минимум экситонных зон расположен в точке
k
0
≠ 0, такие экситоны называются непрямыми. Расчет вероятности оптических переходов в экситонные состояния выходит за рамки одноэлектронного приближения и может быть выполнен лишь в рамках многочастичной квантовой теории. Оптические переходы из основного состояния кристалла в состояния прямых экситонов разрешены в первом порядке теории возмущений. Так как импульс фотона много меньше характерных размеров зоны Бриллюэна, тов результате его поглощения могут образовываться лишь экситоны с
K
= 0 (риса. Оптические переходы в состояния непрямых экситонов разрешены во втором порядке теории возмущений при учете их рассеяния на фононах или дефектах. Такой процесс идет в два этапа под действием фотона переход в виртуальные состояния прямых экситонов и последующее их рассеяние в состояние непрямых экситонов (рис. 2.7, б. Во всех случаях матричные элементы оптических переходов в экситонные состоя Под основным состоянием кристалла понимается состояние многоэлектронной системы, когда все электроны находятся в валентной зоне. Так как импульс такого состояния равен нулю, а его энергия может быть принята за начало отсчета, тона экситонной зонной структуре его принято изображать в виде точки K = 0 (рис. 2.6).
E(K)
ћω
K
n = 1
n = 2
n = 3
E(K)
K
K
0
n = 1
n = 2
ћΩ
ћω
n = 3 а б Рис. 2.7. Оптические переходы в состояния а
− прямого б − непрямого экситона

33 ния пропорциональны матричным элементам одноэлектронной теории (см. 2.1.3 и 2.1.4) и амплитуде вероятности обнаружить электрон и дырку водной и той же точке пространства, те. Для водородоподобного экситона такие переходы разрешены лишь в состояния, для которых
ψ(0) 2
=
3
ex ex
1 1
2
(1 exp( 2
))
n
R
R





−
− дискретный спектр непрерывный спектр.
(2.25) Вероятность перехода определяется суммированием по дискретными интегрированием по непрерывным (ε ≥ 0) состояниям экситона. В результате, согласно (2.11) и (2.25), край собственного поглощения прямозонного полупроводника с учетом экситонных эффектов будет определяться следующим выражением
( )
(
)
(
)
(
)
ex g
2 3
1
ex ex g
1 1
2 1 exp 2
n
R
E
n
n
R
R
E
∞
=


ω −
+
α ω ∼
δ
+




−
− π
ω −
∑
h h
h
(2.26) Таким образом, спектр поглощения вблизи прямого экситонного порога при ћω < E
g представляет собой серию узких линий, соответствующих переходам в основное (n = 1) и возбужденные состояния экситона. При ћω ≥ E
g он плавно переходит в непрерывный спектр, обусловленный переходами в ионизированные состояния экситона (риса. Из выражения (2.26) следует, что при ћω >> E
g экситонный спектр поглощения α(ћω) → (ћω
−
E
g
)1/2, что соответствует ранее полученному одноэлектронному приближению (2.13).
ћω
α
n = 1
n = 2
α
n = 1
n = 2
n = 1
n = 2
n = 1
n = 2
1
2
3
E
gx
– ћΩ E
gx
E
gx
+ ћΩ ћω а б Рис. 2.8. Спектр поглощения вблизи экситонных порогов а
− прямого б
− непрямого. Штриховые линии – спектр поглощения без учета экситонных эффектов

34 В приближении водородоподобного экситона край собственного поглощения непрямозонного полупроводника с учетом экситонных эффектов, согласно
(2.20) и (2.25), будет определяться выражением, включающим суммирование по дискретному и интегрирование по непрерывному спектру экситона 2
ex g
3 2
ex
1 1
1
(
)
2
n
R
E
R
n
n
∞
±
=


α
ω ∼
ω −
+
± Ω
+
×




∑
h h
h
(
)
(
)
1/ 2
g
0
ex
,
1 exp 2
g
E
E
d
R
ω−
± Ω
ω −
− ε ± Ω
ε
×
−
− π
ε
∫
h h
h h
(2.27) где знак «+» соответствует процессам с поглощением, ас испусканием фонона. В случаях бесфононных переходов следует полагать ћΩ = 0. Из (2.27) видно, что спектр поглощения вблизи непрямого экситонного перехода определяется корневой зависимостью, которая фактически определяет плотность экситонных состояний (рис. 2.8, б. При ћω >> E
g эта зависимость переходит в выражение, соответствующее одноэлектронному приближению (2.19)
α(ћω) → (ћω − E
g
± Таким образом, край собственного поглощения прямозонных и непрямозонных полупроводников при учете экситонных эффектов оказывается сдвинутым по отношению кв область меньших энергий на величину энергии связи экситона.
2.1.6. Влияние примесей на край собственного поглощения полупроводников Легирование полупроводников мелкими донорами или акцепторами может приводить к существенному изменению спектра поглощения полупроводников вблизи фундаментального порога. Наличие донорных или акцепторных состояний в запрещенной зоне приводит к появлению полос поглощения, обусловленных процессами фотонейтрализации примесей. На рис. 2.9 изображены процессы фотонейтрализации мелких водородоподобных примесей (доноров и акцепторов) в прямозонном полупроводнике. Такие процессы возможны только при наличии ионизированных примесей доноров или акцепторов. В результате оптических переходов электронов из валентной зоны на донорный уровень (риса) или с акцепторного уровняв зону проводимости (рис. 2.9, б) примеси переходят в свое нейтральное состояние. Соответствующая таким переходам полоса поглощения лежит в области энергий фотонов g
D, A
g
,
E
E
E
− ∆
≤ ω ≤
h и с учетом возможности переходов в

35 возбужденные состояния доноров (фотонейтрализация доноров) или из возбужденных состояний акцепторов (фотонейтрализация акцепторов) она сливается с полосой собственного поглощения полупроводника, размывая его край. Интенсивность этой полосы пропорциональна концентрации примесей. В качестве примера рассмотрим спектр поглощения, обусловленный процессом фотонейтрализации мелкого донора в прямозонном полупроводнике. В приближении эффективной массы волновая функция электрона, находящегося в состоянии с энергией ,
l
ε имеет вид
( )
( )
( )
co
i
l
l
F
e
u
ψ
= Здесь F
l
(k) – Фурье-образ огибающей волновой функции, u
co
(x) – периодическая часть блоховской волновой функции зоны проводимости в точке k = 0. Матричный элемент оптического перехода электрона изначального состояния в валентной зоне (v, k) вое состояние донора определяется выражением
( )
( )(
)
( )
*
v v

l
l
M
d
ψ
∇ ⋅ ψ
∫
k
k
x
e
x Здесь
( ) ( )
( )
1 2
v v
i
V
e
u
−
ψ
=
kx
k
k
x
x – блоховская волновая функция электрона в валентной зоне, которую будем считать изотропной и параболической. В случае разрешенных оптических переходов из валентной зоны в зону проводимости в точке k = 0 (с ≠ 0) рассматриваемый матричный элемент может быть приведен к виду
( )
( )
v vc

l
l
M
P F
k
k
E(k)
ћω
k с)
E
v
(k)
∆E
D
F
D
(k)
E(k)
k с)
E
v
(k)
∆E
A
F
A
(k) а б Рис. 2.9. Процессы фотонейтрализации мелких доноров (аи акцепторов (б) в прямозонном полупроводнике

36 Вероятность оптических переходов определяется следующей суммой по всем начальными конечным состояниям электрона
( )
2 2 2
v g
*
,
h
2
(
)

2
l
l
l
k
w
M
E
m


π
ω =
δ ω −
+ ε −






∑
h h
h h
k
k
( )
2 2 2
vc g
*
,
h
2

2
l
l
l
k
P
F
E
m


δ ω −
+ ε −


∑




h Переходя от суммирования по k к интегрированию, будем иметь
( )
2 2 2
2 2
vc g
*
h
(
)
2
l
l
l
k
w
P
k F k
E
dk
m


ω
δ ω −
+ ε −


∑ ∫




h Если ограничиться переходами только в 1s – состояние водородоподобного донора, для которого
( )
*
1

B
r a
s
F
e
−
x
,
( )
( )
1 2
2
*
1

,
1
s
B
F
ka


+




k
то для коэффициента поглощения будем иметь
( )
(
)
(
)
g
1
g
1 4
g
1
*
1 1
1
s
s
s
A
E
E
E
R
α ω =
ω −
+ ε
Θ ω −
+ ε


+
ω −
+ ε




h h
h Соответствующая зависимость представлена на рис. 2.10. Спектр фотонейтрализации глубоких примесных центров существенно уширен по сравнению со спектром фотонейтрализации мелких примесей. Это
α
1
2
ћω
E
g
– E
0
E
g
– E
1s
Рис. 2.10. Спектр фотонейтрализации мелкого водородоподобного донора (1) и глубокого центра (2)

37 связано стем, что волновая функция основного состояния электрона (дырки)
F
0
(x) в этой примеси сильно локализована вблизи соответствующего центра, а ее Фурье-образ F
0
(k) размыт в пространстве по всей зоне Бриллюэна. Кроме того, для глубоких центров характерно сильное электрон-фононное взаимодействие, которое при повышении температуры приводит к размытию длинноволнового края полосы фотонейтрализации (рис. 2.10, 2). В случае непрямозонных полупроводников процессы, связанные с фото- нейтрализацией мелких и глубоких примесных центров, также изменяют край собственного поглощения полупроводников, сдвигая его в длинноволновую область. При анализе таких процессов следует выйти за рамки приближения эффективной массы и учесть междолинное смешивание блоховских состояний в точках k
0
(положение экстремума в зоне проводимости) и
k = 0. При учете такого смешивания волновая функция донора, в основном сформированная из блоховских состояний дна зоны проводимости, будет содержать вклад блоховских состояний точки k = 0. Донорное состояние вне- прямозонном полупроводнике и соответствующая ему волновая функция электрона F
D
(k) схематически изображены на рис. 2.11. Спектр фотонейтрализации в этом случае будет определяться зависимостью) вблизи точки k = 0. Для глубоких центров спектр фотонейтрали- зации непрямозонных полупроводников также уширяется вследствие уширения) и усиления электрон-фононного взаимодействия.
E(k)
ћω
k с)
E
v
(k)
F
D
(k) Рис. 2.11. Волновая функция донора при учете эффектов междолинного смешивания

38