Метода по лабам ФКС. 3 Лабораторная работа исследование зонной структуры кристаллов
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
5.1. Тензор холловской проводимости и коэффициенты Холла В работе исследуется эффект Холла, возникающий в твердых телах при одновременном воздействии на носители заряда электрического и магнитного полей. Электропроводность кристаллов определяется тензором удельной проводимости, связывающим вектор плотности тока j с напряженностью внешнего электрического поля E, прикладываемого к кристаллу (закон Ома = i ik k j E σ (5.1) Если задан ток, протекающий через кристалл, то возникающее при этом поле определяется аналогичным материальным уравнением = i ik k E j ρ (5.2) где ρ ik – тензор удельного сопротивления, обратный тензору σ ik : = ik kj ij ρ σ δ (5.3) (δ ij – компоненты единичного тензора. Оба материальных тензора симметричны относительно перестановки индексов ik ki ρ = ρ и kj jk σ = σ . Внешние воздействия (механическая деформация, магнитное поле и т. доказывают влияние на электропроводность кристаллов. В частности, линейное изменение и под действием магнитного поля B называется эффектом Холла. Рассматривая σ kj (B) и ρ ik (B) как функции магнитного поля, разложим их по степенями ограничимся линейными членами по полю ( ) (0) (0) ; ik ik ik l l B B ∂σ σ = σ + ∂ B ( ) (0) (0) . ik ik ik l l B B ∂ρ ρ = Первые члены этих двух разложений представляют собой удельную проводимость и сопротивление в отсутствие магнитного поля σ ik (0) = σ ik и ρ ik (0) = = ρ ik , а вторые – поправки к ним, определяющие эффект Холла. Перепишем эти соотношения в виде ( ) ( ) 0 ; H ik ik ikl l B σ = σ + σ B (5.4) 68 ( ) ( ) 0 H ik ik ikl l R B ρ = ρ − B (5.5) где были введены тензоры третьего ранга = H ikl ik l B σ ∂σ ∂ (тензор холловской проводимости) и = H ikl ik l R B − ∂ρ ∂ (коэффициенты Холла, знак минус в (5.5) выбран исключительно для удобства. В результате закон Ома в форме (5.1) и (5.2) примет вида тензоры H ikl σ и H ikl R являются материальными тензорами, описывающими эффект Холла. Эти тензоры не являются независимыми. Их связь можно определить, если воспользоваться условием ( ) ( ) ik kl il σ ρ = δ B B (5.8) Дифференцируя (5.8) пои полагая B = 0, получим (0) (0) (0) 0. ik kl kl ik m m B B ∂σ ∂ρ ρ + Откуда, согласно (5.3), будем иметь = ; H H ikl im mnl nk R σ σ σ (5.9) = H H ikl im mnl nk R ρ σ ρ (5.10) Инвариантность уравнений движения относительно инверсии времени накладывает на кинетические коэффициенты σ ik (B)иρ kl (B)дополнительные условия (соотношения Онcагера): ( ) ( ) ; ik ki σ = σ − B B ( ) ( ) ik ki ρ = ρ − B B 1 Так как B является псевдовектором, те. при ортогональных преобразованиях системы координат x'i = gikxk он преобразуется по закону B'i = gikBk∆, где ∆ = det[gik], то H ikl σ и также являются псевдотензорами и преобразуются последующему закону H ikl σ ' = = gimgknglp H mnp σ ∆. Напомним, что ∆ = −1 для любых операций, явно или неявно содержащих центр инверсии, в противном случае ∆ = 1. 69 Эти условия, согласно (5.6) и (5.7), приводят к тому, что тензоры H ikl σ и H ikl R должны быть антисимметричны относительно перестановки первой пары индексов, те Это, в свою очередь, приводит к тому, что холловский ток j H всегда перпендикулярен прикладываемому к кристаллу электрическому полю E, а холловское поле E H перпендикулярно протекающему по кристаллу току j. Действительно, умножая (5.6) на E i , а (5.7) на j i и используя свойства (5.9) и (5.10), получим ( ) = 0; H H i i j E ⋅ = j E (5.11) ( ) = 0. H H i i E j ⋅ = E j (5.12) Симметрия кристалла приводит к дополнительным ограничениям на число независимых и неравных нулю компонентов тензоров H ikl σ и H ikl R . В частности, в кубических кристаллах из 27 компонентов этих тензоров отличны от нуля только шесть, и все они определяются лишь одной константой, σ H или R H : ; H H ikl ikl e σ = σ (5.13) H H ikl ikl R R e = (5.14) Здесь e ikl – компоненты совершенно антисимметричного единичного псевдо- тензора третьего ранга, изменяющие свой знак при перестановке любой пары индексов. При этом в любой системе e 123 = e 312 = e 231 = − e 213 = e 321 = e 132 = 1. (5.15) Подстановка (5.13) ив) и (5.7) с учетом (5.15) приводит к следующим выражениям, описывающим эффект Холла в кубических кристаллах [ ] = H H σ × j E B ; [ ] = H H R × E j B . Таким образом, в кубических кристаллах j H и E H перпендикулярны не только E и j (формулы (5.11) и (5.12)), но и B. Учитывая также, что в кубических кристаллах ik ik σ = σδ и ik ik ρ = ρδ , где σ = 1/ρ, из (5.9), (5.10) и (5.13), (5.14) получим 2 H H R σ = σ 70 Исследование эффекта Холла позволяет получить обширную информацию об электрофизических параметрах материала типе проводимости, концентрации носителей заряда, их подвижности, некоторых особенностях зонной структуры полупроводника, термической ширине запрещенной зоны, энергии активации легирующей примеси, а также вкладе различных механизмов рассеяния в подвижность носителей заряда. Остановимся на качественных особенностях эффекта Холла в кубических полупроводниках. Рис. 5.1 поясняет возникновение поля Холла E H в электронном и дырочном полупроводниках. Под действием электрического поля E k электроны и дырки направленно движутся (дрейфуют, нов противоположные стороны. При совместном действии электрического (E k ) и магнитного (B l ) полей электроны и дырки под влиянием силы Лоренца ( ) , k l F E B отклоняются в одну сторону – происходит пространственное перераспределение (электронов и дырок) и неподвижных носителей заряда (ионизированных примесей. Таким образом, возникает поперечное поле Холла , H E направление которого зависит от знака подвижных носителей, вносящих преимущественный вклад в эффект Холла. Поле Холла, в свою очередь, обусловливает направленное движение носителей заряда (дрейф) в направлении, противоположном их движению, вызванному силой Лоренца (эти потоки на рис соответствуют силами. В стационарных условиях эти потоки уравновешиваются [ ] H k l qE q v B = ± ± ; [ ] [ ] [ ] 1 H H k l k l k l E v B j B R j B qn = = = m (5.16) + + + - F(E k , B l ) l − B l d + + v pk E H – – – + – – v nk E k j k F (E H ) p-тип n-тип l + B E H F (E k , B l ) F (E k , Рис. 5.1. Эффект Холла в кристаллах n- и типов проводимости 71 Постоянная Холла 1 H R qn = m , где n – концентрация носителей заряда. Заметим, однако, что в невырожденных полупроводниках в условиях динамического равновесия в деталях эти потоки неравны, так как усредненный вклад носителей заряда в направленное движение, обусловленное силами и ( ) , , k l F E B различен, что в коэффициенте Холла учитывается фактором Холла A H : H H A R qn = m (5.17) Фактор Холла для невырожденного электронного газа A H > 1 и зависит от механизмов рассеяния носителей заряда в кристалле. Объясняется это тем, что в поток, обусловленный силой ( ) , , k l F E B больший вклад вносят быстрые носители, по сравнению со встречным потоком под воздействием ( ) H F Фактор Холла при постоянных концентрации носителей заряда и температуре есть величина постоянная. Но это справедливо лишь в слабых магнитных полях. При увеличении B вклад быстрых носителей заряда в поток, обусловленный силой Лоренца ( ) , , k l F E B уменьшается, так что A H , а следовательно, и H R уменьшаются. Критерием слабого поля условно считается 1, B µ где µ − подвижность носителей заряда. Обычно при изучении электрофизических свойств твердых тел с помощью эффекта Холла измеряется ЭДС Холла o , H H I B U R d = (5.18) где H R − коэффициент Холла о − ток через образец B − индукция магнитного поля d − толщина образца. 5.2. Методика измерений и установка для исследования Исследование эффекта Холла проводится на постоянном токе ив постоянном магнитном поле. Простота реализации этого метода сопровождается, однако, некоторыми недостатками. Так, наряду с ЭДС Холла одновременно могут возникать посторонние поперечные ЭДС (эффекты Нернста–Эттинсгаузена, Эттинс- гаузена, Риги–Ледюка, термоэлектрический эффект и др. Однако по порядку 72 величины ЭДС Холла в исследуемом в работе образце значительно больше, так что вкладом других, паразитных, ЭДС можно пренебречь. Образец для исследования закреплен в держателе, помещенном в зазор электромагнита с магнитным полем, регулируемым током в обмотке электромагнита. Работа реализована на стенде, который состоит из компьютера и измерительного блока. Измерительный блок состоит из магнитной системы с образцом и электронной части. Блок реализует классическую схему измерений для исследования эффекта Холла. Компьютер (совместно с программным обеспечением) является управляющими индицирующим элементом стенда. Вовремя измерений стенд работает как в режиме цифрового осциллографа, таки в режиме измерений отдельных величин по приборам измерительной схемы. Программное обеспечение управляет процессом измерений и позволяет рассчитывать параметры и характеристики исследуемого материала. Оно представлено двумя приложениями – Hall.exe и Server.exe. Server.exe – это программа общения с измерительным блоком. Она работает самостоятельно и не зависит от приложения Hall.exe. Hall.exe – программа общения с пользователем. Она может работать как совместно с Server.exe, таки без нее. В первом случае возможно проводить как измерения, таки их обработку, во втором – только обработку ранее сделанных измерений. Рис. 5.2. Схема измерений № 1 73 Схем измерений, которые реализованы в реальном измерительном блоке, можно выбрать три – либо при помощи команд меню, либо при помощи панели инструментов окна. На каждой схеме присутствует свой набор управляющих и регистрирующих инструментов. Схема измерений № 1 (рис. 5.2) предназначена для проведения однократных измерений с последующим изменением установок источников воздействия или однократных измерений при изменении температуры в результате нагрева или охлаждения, те. схема реализует измерение характеристик по точкам, например зависимость ЭДС Холла от индукции магнитного поля. На схеме присутствуют следующие элементы – измеритель температуры – нагреватель предназначен для включения (выключения) нагрева – образец можно просмотреть данные об образце – вольтметр предназначен для измерения напряжения вдоль линии тока – управляемый источник тока 1 предназначен для изменения тока через образец – амперметр А предназначен для измерения силы тока – вольтметр предназначен для измерения ЭДС Холла – измеритель индукции B предназначен для измерения величины индукции магнитного поля) – управляемый источник тока 2 предназначен для изменения тока через катушку, создающую магнитное поле в образце. 5.3. Образец, исследуемый в работе В работе исследуется образец типа твердого раствора n-In x Ga 1–x As, x = 0.37 с геометрическими размерами длина l = 1 мм (расстояние между токовыми контактами высота c = 0.2 мм (расстояние между гранями, на которых расположены контакты для измерения ЭДС Холла толщина образца d = 0.2 мм. Заметим, что холловские контакты смещены друг относительно друга по длине образца из-за технологической погрешности их изготовления. Поэтому между холловскими электродами существует разность потенциалов EDS(0) ив отсутствие магнитного поля. Погрешность при определении ЭДС Холла, связанную с EDS(0), можно исключить, если измерять EDS Σ при двух направлениях магнитного поля. 74 5.4. Проведение экспериментов 5.4.1. Исследование зависимости ЭДС Холла от величины индукции магнитного поля (схема № 1) В этой схеме измеряется ЭДС Холла EDS Σ как функция от величины индукции магнитного поля при фиксированных значениях тока, протекающего через образец. Далее рассчитываются концентрация носителей заряда в образце и их холловская подвижность при комнатной температуре. Запустить программное обеспечение стенда для исследования эффекта Холла, при этом на экране монитора появится первая схема измерения. Для проведения измерений необходимо создать базу данных, для чего в папке Рабочая тетрадь нажать кнопку Новая. В Области управления Рабочей тетради появится окно Измерение, где указывается название измеряемой зависимости, дата и время. Задание названия измеряемой зависимости осуществляется путем нажатия кнопки Редактирование. На схеме измерения активизировать управляющие и регистрирующие инструменты, необходимые для измерения зависимостей , ) EDS f B I Σ = , 1 ( ) V f При помощи управляющего инструмента Ток в образце установить силу тока, протекающего через исследуемый образец, равной 1 мА (или по указанию преподавателя. Значения тока фиксируются Амперметром. Измерить суммарную ЭДС Холла EDS Σ при помощи вольтметра V2. представляет собой сумму из двух членов искомое значение ЭДС Холла и ЭДС в отсутствие магнитного поля в зазоре электромагнита. Записать результаты измерения в таблицу Рабочей тетради, нажав кнопку Записать. При помощи управляющего инструмента Ток в катушке установить положительное значение силы тока, протекающего через катушку электромагнита. Значения силы тока, протекающего через катушку, при помощи калибровочной зависимости в рамках программного обеспечения пересчитываются в значения индукции магнитного поля В, которое регистрируется инструментом Индукция (например, 0.01 Тл). Значения B изменять от 0.02 до 0.2 Тл (7–10 значений. 75 10. Измерить суммарную ЭДС Холла при помощи вольтметра V2. 11. Записать результаты измерения в таблицу Рабочей тетради, нажав кнопку Записать. 12. Снять зависимость ( ), EDS B Σ выполнив действия, аналогичные действиям в п. 9, при отрицательных значениях индукции. 13. Сбросить ток в катушке до нуля. Примечание Если возникают сложности при работе с программой, например с созданием базы данных в Рабочей тетради и т. д, следует обратиться к подробной инструкции для данной лабораторной работы (выдается преподавателем. 5.4.2. Исследование температурных зависимостей концентрации носителей заряда и их подвижности (схема № 3) 1. Выбрать вменю Измерение схему № 3. 2. Для проведения измерений необходимо создать новую базу данных, для чего в Рабочей тетради нажать кнопку Новая. В Области управления Рабочей тетради появится окно Измерение, где указывается название измеряемой зависимости, дата и время. 3. Повторить операции 5–10 из 5.4.1 (ток через образец и индукция задаются преподавателем. 4. Включить нагреватель, для чего щелкнуть на выключателе Нагреватель левой кнопкой мыши. Светодиод индицирует состояние включения (выключения) термостата. В окне Температура отражается текущее значение температуры исследуемого образца. Максимальная температура нагрева 120 С. 5. Измерять значения напряжения на исследуемом образце вольтметром V1, ЭДС Холла – вольтметром V2 в диапазоне температур 20...100 С. Количество измеряемых точек должно быть 7–10. 6. Записать результаты измерения в таблицу Рабочей тетради, нажав кнопку Записать. Результаты эксперимента, записанные в Рабочей тетради, сформировать в отчет (при этом создается файл программы Word) и сохранить на съемном носителе с целью дальнейшей обработки (для этого может быть использовано программное обеспечение данной лабораторной работы, либо другие пакеты, типа Excel). |