теорема штейнера. Отчёт по лабораторной работе 5
![]()
|
ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ РОССИИ ![]() МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра общей и технической физики ОТЧЁТ по лабораторной работе №5 По дисциплине ФИЗИКА ![]() ![]() ![]() ![]() (подпись) (Ф.И.О.) ![]() ![]() ![]() (должность) (подпись) (Ф.И.О.) Санкт-Петербург 2021 год Цель работы: измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера. Краткое теоретическое содержание Явление, изучаемое в работе: вращательное движение тела, момент инерции тела. Определения (основных физических понятий, процессов, объектов и величин): Вращательное движение – движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Инерция - свойства тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Движение по инерции – это движение тела, свободного от внешних воздействий. Момент инерции тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент инерции тела зависит от материала формы и размеров тела, а также от распределения массы тела относительно оси вращения. Момент силы (крутящий момент) — векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Модуль кручения пружины прямо пропорционален моменту силы, и обратно пропорционален углу, на который отведена пружина от состояния покоя. Это крутящий момент, который стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние, результате чего возникают крутильные колебания. Крутильные колебания – это колебания элементов конструкций и машин, выражающиеся в периодически меняющейся деформации кручения. Моментом инерции тела относительно некоторой оси называется физическая величина, равная сумме произведений материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Законы и соотношения (использованные при выводе расчетной формулы): Теорема Штейнера Момент инерции относительно произвольной оси О1О1 равен сумме момента инерции ![]() ![]() где ![]() ![]() В данной работе для экспериментального измерения моментов инерции различных тел используется метод крутильных колебаний. Исследуемые тела насаживаются на ось спиральной пружины. Если закрутить пружину на угол , то в результате деформации пружины возникнет упругая сила. Она создает крутящий момент (момент силы) М, модуль которого равен M=D где D – модуль кручения пружины, ![]() Период крутильных колебаний ![]() Основываясь на теореме Штейнера, можно предположить, что зависимость момента инерции от квадрата расстояния до оси, а также зависимость момента силы от угла поворота будет прямо пропорциональная, т.к. теорема похожа на уравнение прямой kx+b, и, следовательно, должна наблюдаться схожая зависимость. Схема установки ![]() Рис. 1. Общий вид экспериментальной установки Основные расчётные формулы: 1. Момент инерции материальной точки: ![]() 2. Момент инерции однородного диска: ![]() 3. Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом R1 и внешним радиусом R2: ![]() 4. Момент инерции шара радиуса R: ![]() 5. Момент инерции тонкого стержня: ![]() 6. Момент инерции тела, насаженного на ось пружины: ![]() 7. Модуль кручения пружины: ![]() 8. Момент силы: ![]() где m - масса тела, кг; R – радиус, м; l – длина тела, м; J – момент инерции тела, ![]() ![]() ![]() Формулы погрешности косвенных измерений: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таблица результатов измерений: Таблица №1. Определение модуля кручения пружины.
Таблица 1. Определение модуля кручения пружины Таблица №2. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом и определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии
Таблица 2. Определение периода колебаний системы с исследуемым телом и определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии Таблица №3. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения
Таблица 3. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения Таблица №4. Проверка теоремы Штейнера
Таблица 4. Проверка теоремы Штейнера Пример вычислений: Исходные данные: l = 0,604, м - длина стержня; m = 0,132, кг - масса стержня; mг = 0,212, кг – масса груза. Погрешность прямых измерений: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Расчет результатов эксперимента: 1. Для угла ![]() ![]() ![]() 2.Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии (цилиндр): Экспериментальное значение момента инерции цилиндра: ![]() Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции исследуемого тела (экспериментально): ![]() Окончательное экспериментальное значение момента инерции цилиндра: ![]() Относительная погрешность косвенных измерений экспериментально найденного значения момента инерции цилиндра: ![]() Теоретическое значение момента инерции цилиндра: ![]() Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции сплошного цилиндра: ![]() Окончательное теоретическое значение момента инерции цилиндра: ![]() Относительная погрешность косвенных измерений теоретического значения момента инерции цилиндра: ![]() Экспериментальное значение момента инерции шара отличается от теоретического на: ![]() 3. Изучение зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения: Экспериментальное значение момента инерции грузов: ![]() Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции исследуемого тела (экспериментально): ![]() Окончательное экспериментальное значение момента инерции грузов на стержне: ![]() Относительная погрешность косвенных измерений экспериментально найденного значения момента инерции грузов на стержне: ![]() Теоретическое значение момента инерции грузов на стержне: ![]() Средняя абсолютная погрешность расчета момента инерции грузов на стержне: ![]() Окончательное теоретическое значение момента инерции грузов на стержне: ![]() Относительная погрешность косвенных измерений теоретического значения момента инерции грузов на стержне: ![]() Отличие экспериментального значения зависимости момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения от теоретического: ![]() 4. Проверка теоремы Штейнера: Период колебаний стержня без грузов равен T=2,127 с ![]() ![]() ![]() ![]() После смещения стержня на расстояние d=2 см = 0,02 м его период стал равен T=2,837 с. ![]() ![]() ![]() ![]() По теореме Штейнера: ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка теоремы Штейнера: экспериментальное значение момента инерции отличается от теоретического: ![]() Графический материал: ![]() Рис.2. График зависимости момента силы от угла поворота т.к тангенс угла наклона прямой равен модулю кручения пружины D=0,029 ![]() ![]() Рис.3. График зависимости момента инерции от квадрата радиуса Вывод В ходе лабораторной работы были определены моменты инерции и периоды колебаний различных тел, была проверена теорема Штейнера и изучена зависимость момента инерции от расстояния между центром масс тела и осью вращения. Ожидаемый результат был получен, и действительно оба графика представили собой прямо-пропорциональную зависимость. Это подтверждает верные результаты и теорему Штейнера для измерения моментов инерции различных тел, однако метод крутильных колебаний даёт не самые точные результаты, так как экспериментальная погрешность момента инерции отличается от теоретического на 17,5%. |