Ркр. Отчет по работе состоит из пояснительной записки, содержащей

• Название: Отчет по работе состоит из пояснительной записки, содержащей
• Дата: 09.04.2022
• Размер: 114 Kb.
• Имя файла: rgr-po-metodam-matematicheskogo-modelirovaniya-v-mashinostroenii.doc
• Тип: Отчет; #458088

Министерство науки и высшего образования РФ

ФГБОУ ВО «Брянский государственный технический университет»

Кафедра «Триботехническое материаловедение и технологии материалов»

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Методы математического моделирования в машиностроении»

Вариант 1

Выполнил:

Студент группы З18-МАШ-ИРМ-Б

Зачетная книжка №1811.44

Котов В.В.

Проверил:

к.т.н., доцент

Шевелева Е.В.

Брянск 2020

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

«Брянский государственный технический университет»

Кафедра «Триботехническое материаловедение и технологии материалов»

ЗАДАНИЕ НА РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКУЮ РАБОТУ
по дисциплине: «МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В МАШИНОСТРОЕНИИ»
Автор работы Котов В.В.
Группа З-18-МАШ-ИРМ-Б № зачетной книжки 1811.44


Содержание работы

Отчет по работе состоит из пояснительной записки, содержащей:

- титульный лист;

- введение;

- основную часть:

1) Получение линейной математической модели объектов исследований.

Задавшись математической моделью, провести обработку результатов исследования, проверить адекватность полученной математической модели, оценить характер и степень влияния каждого фактора на выходную величину. Все вычисления и полученные графики должны быть приведены в отчете.

2) Получение математической модели объектов исследований с помощью планов второго порядка.

Задавшись математической моделью, оценить значимость коэффициентов полученной модели и проверить адекватность модели. Все вычисления должны быть приведены в отчете.

- заключение;

- список использованной литературы.

Введение

Математические модели являются инструментальным средством описания задач самого разного класса. Причем задачи из разных областей экономики могут иметь похожие модели и решаться одинаковыми методами. Использование корректно построенной модели какого-либо процесса позволяет формализовать и описать наиболее важные связи между объектами, оценить различные параметры зависимостей, предсказывать поведение объекта, тем самым определять наилучшие решения в той или иной ситуации, оценить количественно эффективность принимаемых решений, прогнозировать их негативные последствия, использовать полученные оценки.

Математическая модель – это условный совокупный образ объекта в виде совокупности уравнений, неравенств, логических соотношений, созданный для получения новых знаний, исследования объекта, анализа и оценки принимаемых решений в конкретных или возможных ситуациях.

Моделирование – это метод исследования объектов, процессов на их моделях, построения и изучения моделей, определения и улучшения их характеристик, рационализирующих способ построения и управления.

В каждой задаче мы должны ясно определить цели, поставленные перед системой, изучить обстановку, освоиться с терминологией, процессом, определить различные способы действия, приемлемые для ситуации, дать в какой-то форме постановку задачи. Построить подходящую логическую или математическую модель, которая свяжет переменные задачи с реальными ограничениями, целями задачи, мерой эффективности. Затем, исходя из полученной модели, выбрать метод и найти решение, оптимизирующее эту меру эффективности, т.е. оптимальное решение.

Задача №1

Получение линейной математической модели объектов исследования

Исходные данные вариант 1

№ опыта	Значения факторов				Результаты эксперимента,
	x1	x2	x3	уj1			уj2	уj3	уj4	уj5
1	20	0	4	39			41	41	41	39
2	60	0	4	46			44	43	43	44
3	20	60	4	53			53	52	53	52
4	60	60	4	47			50	49	49	51
5	20	0	5	32			31	34	35	33
6	60	0	5	38			37	39	36	37
7	20	60	5	43			45	47	46	45
8	60	60	5	55			53	53	54	53

Обработка результатов эксперимента при равномерном дублировании опытов

В случае равномерного дублирования опытов результаты эксперимента обрабатываются в следующей последовательности.

1. Произведем вычисление средних арифметических выходных величин из каждой серии дублированных опытов из таблицы «вариант 1» по формуле _j= результаты расчетов запишем во 2-й столбец таблицы (1).

_{j =} (39+41+41+41+39):5 = 40,2 _{j =} (46+44+43+43+44):5 = 44

_{j =} (53+53+52+53+52):5 = 52,6 _{j =} (47+50+49+49+51):5 = 49,2

_{j =} (32+31+34+35+33):5 = 33 _{j =} (38+37+39+36+37):5 = 37,4

_{j =} (43+45+47+46+45) = 45,2 _j = (55+53+53+54+53) = 53,6

№ Опыта	j	j	S2j
1	40,2
2	44
3	52,6
4	49,2
5	33
6	37,4
7	45,2
8	53,6

Таблица 1

2. Вычислим коэффициент регрессии для ПФП по формуле

b₀=, знаки для вычисления берем из таблицы 2. В этой формуле вместо уj следует взять среднее значение j по каждой серии дублированных опытов.

№ опыта	Х0	Х1	Х2	Х3	Х1х2	Х1х3	Х2х3	у
1	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	У1
2	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	У2
3	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	У3
4	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	У4
5	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	У5
6	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	У6
7	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	У7
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	У8

Таблица2

b0 = (40,2+44+52,6+49,2+33+37,4+45,2+53,6):8 = 44,4

b1 = (-40.2+44-52.6+49.2-33+37.4-45.2+53.6):8 = 1,65

b2 = (-40.2-44+52.6+49.2-33-37.4+45.2+53.6):8 = 5,75

b3 = (-40.2-44-52.6-49.2+33+37.4+45.2+53.6):8 = -2,1

b12 = (40,2-44-52,6+49,2+33-37,4-45,2+53,6):8 = -0,4

b13 = (40,2-44+52,6-49,2-33+37,4-45,2+53,6):8 = 1,55

b23 = (40,2+44-52,6-49,2-33-37,4+45,2+53,6):8 = 1,35

Запишем полученную математическую модель:

= 44,4 + 1,65х₁ + 5,75х₂ - 2,1х₃ - 0,4х₁х₂ + 1,55х₁х₃ + 1,35х₂х₃

3. В полученное уравнение регрессии в нормализованных обозначениях факторов подставляем значения факторов x₁, x₂,…, x_k, соответствующие условиям 1-го, 2-го, …, N-го опытов (N- число основных опытов плана, т.е. число серий дублированных опытов). Таким образом, вычисляем значения выходной величины ₁, ₂, … _N, предсказанные уравнением регрессии для каждого из опытов.
ŷ1 = 44,4 - 1,65 - 5,75 + 2,1 - 0,4 + 1,55 + 1,35 = 41,6

ŷ2 = 44,4 + 1,65 - 5,75 + 2,1 + 0,4 - 1,55 + 1,35 = 42,6

ŷ3 = 44,4 - 1,65 + 5,75 + 2,1 + 0,4 + 1,55 - 1,35 = 51,2

ŷ4 = 44,4 + 1,65 + 5,75 + 2,1 - 0,4 - 1,55 - 1,35 = 50,6

ŷ5 = 44,4 - 1,65 - 5,75 - 2,1 - 0,4 - 1,55 - 1,35 = 31,6

ŷ6 = 44,4 + 1,65 - 5,75 - 2,1 + 0,4 + 1,55 - 1,35 = 38,8

ŷ7 = 44,4 - 1,65 + 5,75 - 2,1 + 0,4 - 1,55 + 1,35 = 46,6

ŷ8 = 44,4 + 1,65 + 5,75 - 2,1 - 0,4 + 1,55 + 1,35 = 52,2

Результаты расчетов записываем в 3-й столбец таблицы 1(а)

№ Опыта	j	j	S2j
1	40,2	41,6
2	44	42,6
3	52,6	51,2
4	49,2	50,6
5	33	31,6
6	37,4	38,8
7	45,2	46,6
8	53,6	52,2

Таблица 1(а)

4. Вычислим оценки дисперсий для каждой серии дублированных опытов по формуле: = где n – число дублированных опытов в каждой серии.
уjL- значение выходной величины в L-м дублированном опыте j-й серии, j=1,2,…, N, L=1,2,…,n.

Для расчетов я буду пользоваться вторым выражением из данной формулы.

S²₁ =

S²₂ =

S²₃ =

S²₄ =

S²₅ =

S²₆ =

S²₇ =

S²₈ =

Запишем полученные результаты расчетов в четвертый столбец таблицы 1(б)

№ Опыта	j	j	S2j
1	40,2	41,6	1,2
2	44	42,6	1,5
3	52,6	51,2	0,3
4	49,2	50,6	2,2
5	33	31,6	2,5
6	37,4	38,8	1,3
7	45,2	46,6	2,2
8	53,6	52,2	0,8

Таблица 1(б)

5. Проверим однородность дисперсии опытов по критерию Кохрена. Вначале вычисляем расчетное G-отношение по формуле:

G_расч = , далее по таблицам распределения Кохрена для уровня значимости q=0,05 определяется Gтабл. Если Gрасч< Gтабл, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий.

G_расч = = 0,20

Так как Gрасч = 0,20 < Gтабл = 0,31, то можно принять гипотезу, что дисперсии однородны.

6. Вычислим оценки дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента . Она вычисляется как среднее арифметическое дисперсий опытов по формуле: =. Выберу первое выражение:

= = 1,5

7. Вычислим дисперсий коэффициентов регрессии. Коэффициенты регрессии b_i, b_ij являются случайными величинами. Дисперсии коэффициентов регрессии характеризуют точность, с которой они найдены. Для ПФП оценки дисперсий всех коэффициентов равны друг другу, определяются по формуле:

=

8. Оценка значимости коэффициентов регрессии. В результате можно выявить так называемые незначимые коэффициенты регрессии, т.е. те коэффициенты регрессии, которые можно приравнять нулю в математической модели.

Коэффициенты регрессии оказываются незначимыми в том случае, если соответствующий ему фактор или взаимодействие оказывает пренебрежимо малое влияние на изменение выходной величины эксперимента.

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится с помощью t- критерия Стьюдента в следующем порядке:

а) для каждого коэффициента регрессии bi вычисляется расчетное t-отношение по формуле: t_{расч i}=,

t_{расч 0} =

t_{расч 1} =

t_{расч 2} =

t_{расч 3} = 105

t_{расч 12} =

t_{расч 13} = 77,5

t_{расч 23} = = 67,5

б) из таблиц t-распределения по величине f_у для уровня значимости q=0,05 выбираем табличное t-отношение t_табл = 2,04

в) проверяется условие t_расч ≤ t_табл. Коэффициенты регрессии, для которых это условие выполняется, являются незначимыми.

Коэффициенты регрессии t_{расч 0 ,} t_{расч 1 ,} t_{расч 2 ,} t_{расч 3 ,} t_{расч 12 ,} t_{расч 13,} t_{расч 23} являются значимыми, так как t_расч t_{табл .}

9. Проверяем адекватность модели:

а). Вычисляем сумму квадратов, характеризующую адекватность модели S_ад. При равномерном дублировании она рассчитывается по формуле: S_ад=,

Sад =

б). Вычисляем число степеней свободы fаб, связанное с дисперсией адекватности. При равномерном дублировании и при отсутствии дублированных опытов оно равно:

f_ад=N-p,

f_ад = 8 – 7 = 1.

в). Вычислим дисперсию адекватности:

S=S_ад/f_ад

S = 15,68 :1 = 15,68

С помощью F-критерия Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяем однородность двух дисперсий: дисперсии адекватности S (с числом степеней свободы fад) и дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента (с числом степеней свободы fу).

F_расч= S/

F_расч = 15,68 : 1,5 = 10,45.

Далее по таблицам распределения Фишера определяют величину Fтабл= 250. Так как Fрасч ≤ Fтабл, то можно принять гипотезу об однородности дисперсий и найденную математическую модель объекта можно считать адекватной.

10. Анализ результатов эксперимента является заключительным этапом планирования эксперимента, на котором исследователь, пользуясь построенной моделью, получает необходимую информацию об объекте исследования. Анализ модели лучше всего проводить, пользуясь уравнением регрессии в нормализованных обозначениях факторов.

Так как коэффициент регрессии b1 и b2 положительные, то выходная величина возрастает с двух факторов Х1 и Х2.

Так как коэффициент b3 отрицательный, то выходные величины уменьшаются с увеличением фактора Х3.

По уравнению регрессии можно оценить относительную степень влияния варьируемых факторов на изменение выходной величины (относительную значимость факторов). Для этого используем значения t-критерия, вычисленные для каждого линейного коэффициента регрессии. Так как tрасч 2 получилось наибольшим, то фактор Х2 оказывает наибльшее влияние на выходные величины, по сравнению с факторами Х1 и Х3.

Задача №2

Получение математической модели объектов исследований с помощью планов второго порядка.

Исходные данные вариант 1

у1 = 83; у2 = 134; у3 = 233; у4 = 293; у5 = 197; у6 = 250; у7 = 210; у8 = 232.

Оценка дисперсии, характеризующей ошибку эксперимента =392.Число степеней свободы fу = 10.

№ опыта	Х1	Х2	У
1	-1	-1	У1
2	+1	-1	У2
3	-1	+1	У3
4	+1	+1	У4
5	-1	0	У5
6	+1	0	У6
7	0	-1	У7
8	0	+1	У8

Таблица 1 В-план для К = 2 (план В2)

Проведем необходимые вычисления, заполнив вспомогательную таблицу 2 для расчета коэффициентов регрессии В-плана.

Произведем расчеты для Х1У и Х2У:

1). Х1У = -1*83 = -83, Х2У = -1*83 = -83,

2). Х1У = 1*134 = 134 , Х2У = -1*134 = -134,

3). Х1У = -1*233 = -233 , Х2У = 1*233 = 233,

4). Х1У = 1*293 = 293, Х2У = 1*293 = 293,

5). Х1У = -1 *197 = -197, Х2У = 0*197 = 0,

6). Х1У = 1*250 = 250, Х2У = 0*250 = 0,

7). Х1У = 0*210 = 0, Х2У = -1*210 = -210,

8). Х1У = 0*232 = 0, Х2У = 1*232 = 232.

Произведем расчеты для и :

1). =

2). = 1* 134 = 134

3). = = 1* 233 = 233

4). = = 1 * 293 = 293

5). = = 1 * 197 = 197

6). = = 1 * 250 = 250

7). = = 0 * 210 = 0

8). = = 0 * 232 = 0

Произведем расчеты и :

1). = 1 1 * 83 = 83

2). = 1 1 * 134 = 134

3). = 1 1 * 233 = 233

4). = 1 1 * 293 = 293

5). = 0 0 * 197 = 0

6). = 0 0 * 250 = 0

7). = 1 * 210 = 210

8). = 1 1 * 232 = 232

Произведем расчеты Х1Х2 и Х1Х2У:

1). Х1Х2 = -1*(-1) = 1 Х1Х2У = 1*83 = 83

2). Х1Х2 = 1*(-1) = -1 Х1Х2У = -1*134 = -134

3). Х1Х2 = -1*1 = -1 Х1Х2У = -1*233 = -233

4). Х1Х2 = 1*1 = 1 Х1Х2У = 1*293 293

5). Х1Х2 = -1*0 = 0 Х1Х2У = 0*197 = 0

6). Х1Х2 = 1*0 = 0 Х1Х2У = 0*250 = 0

7). Х1Х2 = 0 * (-1) = 0 Х1Х2У = 0*210 = 0

8). Х1Х2 = 0 * 1 = 0 Х1Х2У = 0*232 = 0

Расчитаем суммы :

У = = 83+134+233+293+197+250+210+232 = 1632

Х1У = = -83+134-233+293-197+250+0+0 = 164

Х2У = = -83-134+233+293+0+0-210+232 = 331

= = 83+134+233+293+197+250+0+0 = 1190

= = 83+134+233+293+0+0+210+232 = 1185

Х1Х2У = = 83-134-233+293+0+0+0+0 = 9

№ опыта	Х1	Х2	У	Х1У	Х2У					Х1Х2	Х1Х2У
1	-1	-1	83	-83	-83	1	83	1	83	1	83
2	+1	-1	134	134	-134	1	134	1	134	-1	-134
3	-1	+1	233	-233	233	1	233	1	233	-1	-233
4	+1	+1	293	293	293	1	293	1	293	1	293
5	-1	0	197	-197	0	1	197	0	0	0	0
6	+1	0	250	250	0	1	250	0	0	0	0
7	0	-1	210	0	-210	0	0	1	210	0	0
8	0	+1	232	0	232	0	0	1	232	0	0
Суммы	-	-	1632	164	331	-	1190	-	1185	-	9

Таблица 2 данные для расчета коэффициентов регрессии

Коэффициенты регрессии для В-планов и УРП можно рассчитаем по формулам, полученным с помощью метода наименьших квадратов. Для В-планов справедливы соотношения:

= ; =

=

=

= = 4.

=

Формулы для расчета коэффициентов регрессии:

b₀==

b₁==

b₂== * 331 = 55,1

b₁₁== * 9 = 2,25

b₁₂== * 9 = 2,25

b_ii= = .

Запишем полученное уравнение регрессии:

= -3617,25 + 27,3х₁ + 55,1х₂ + + 2,25-95,25х₁х₂


Дисперсии коэффициентов регрессии оцениваются по следующим формулам:

=

= * 392 = 65,3

=

=

Оценка значимости коэффициентов регрессии. В результате можно выявить так называемые незначимые коэффициенты регрессии, т.е. те коэффициенты регрессии, которые можно приравнять нулю в математической модели.

Оценка значимости коэффициентов регрессии проводится с помощью t- критерия Стьюдента в следующем порядке:

а) для каждого коэффициента регрессии bi вычисляется расчетное t-отношение по формуле: t_{расч i}=,

t_{расч 0} =

t_{расч 1} =

t_{расч 2} =

t_{расч 11} =

t_{расч 12} = 0,13
t_{расч ii} = = 13.1

б) из таблиц t-распределения по величине f_{у = 10} для уровня значимости q=0,05 выбираем табличное t-отношение t_табл = 2.23

в) проверяется условие t_расч ≤ t_табл. Коэффициенты регрессии, для которых это условие выполняется, являются незначимыми.

Для t_{расч 23} , t_{расч 11} коэффициенты являются не значимыми, так как

t_расч ≤ t_табл.

Для t_{расч 0,} t_{расч 1,} t_{расч 2,} t_{расч ii} коэффициенты являются значимыми, так как t_расч t_табл.

Заключение

Главная трудность в развитии метода пока заключается в том, что значительное количество разработок так и остаются теорией. Ученые видят будущее моделей в их адаптации под реальные условия. Теоретические расчеты нужны и важны для понимания процессов, но не менее важно научиться использовать такие расчеты глобально.

Список используемой литературы

1. 
   Сиваков В.В. Методические указания для выполнения контрольной работы, 2019 – 14с.
   
2. 
   Колбин В.В. Специальные методы оптимизации : учеб. пособие / В. В. Колбин. - СПб. : Лань, 2014. - 378 с.
   
3. 
   Аверченков, В.И. Основы математического моделирования технических систем: учеб. пособие [для вузов] / В. И. Аверченков, В. П. Федоров, М. Л. Хейфец; Брян. гос. техн. ун-т. - Брянск, 2004. - 270 с.