Отчет защищен с оценкой преподаватель ассистент
 Скачать 232.29 Kb.
|
|
ГУАП КАФЕДРА № 41 ОТЧЕТ ЗАЩИЩЕН С ОЦЕНКОЙ ПРЕПОДАВАТЕЛЬ
РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ
Санкт-Петербург 2022 Цель работы: анализ работы элементарной системы множественного доступа. Оценка среднего количества абонентов, находящихся в системе. Краткие теоретические сведения: Вероятности переходов из одного состояния в другое: 1. Вероятность перехода из состояния «ноль» в произвольное состояние j. Переход из состояния 0 в состояние j может произойти, только когда количество абонентов, у которых появилось сообщение будет равно j, то есть  . Так как  распределено по закону Пуассона получаем: 2. Вероятность перехода из i-го состояния в i-1. Событие перехода из состояния i в состояние i-1 означает, что новых абонентов не появилось, и один абонент передал сообщение. То есть  и  : Вероятность «успеха» (один абонент передавал, остальные не передавали), определяется как:  Вероятность отсутствия новых абонентов определяется как:  3. Вероятность остаться в состоянии i. Переход из состояния i в i. может произойти в случае, если один абонент передал сообщение, и один новый абонент появился, или если новых абонентов не было, и ни один не передал:  Вероятность того, что ни один абонент не передал сообщение определяется как:  4. Вероятность перехода из состояния i в состояние j. Переход из состояния i в j может произойти в случае, если один абонент передал сообщение и появились (j-i+1) абонентов, или если ни один не передал сообщение и появились (j-i) абонентов. Вероятность данного события определяется как:  Используя описанные выше вероятности переходов из одного состояния в другое, можно сформировать систему усеченных линейных уравнений, для фиксированного значения  : Решая данную систему усеченных линейных алгебраических уравнений (количество уравнений K), для фиксированного , можно получить вектор стационарного распределения, каждое из значений  означает вероятность того, что в системе находится i абонентов.Тогда оценить среднее количество абонентов, находящихся в системе множественного доступа можно как:  ,где  .Выполнение работы Код программы представлен в приложении А. Создана матрица переходных состояний для 10 слотов и λ=0.05 (рисунок 1).  Рисунок 1 - Матрица переходных состояний Найдены коэффициенты перед pi, после чего решена система линейных уравнений (рисунок 2).  Рисунок 2 – Решение системы линейных уравнений Высчитано среднее количество абонентов (рисунок 3).  Рисунок 3 – Среднее количество абонентов Построены графики зависимости среднего количества абонентов от значения входного потока. На этой же системе координат построен график из первой лабораторной работы (рисунок 4-7).  Рисунок 4 – График зависимости среднего количества абонентов от значения входного потока для 10 слотов  Рисунок 5 – График зависимости среднего количества абонентов от значения входного потока для 50 слотов  Рисунок 6 – График зависимости среднего количества абонентов от значения входного потока для 100 слотов  Рисунок 6 – График зависимости среднего количества абонентов от значения входного потока для 1000 слотов При значении входного потока от  среднее количество абонентов линейно возрастает, так как вероятность появления пользователя в слоте тоже линейно возрастает. После значения 0,35 графики расходятся.Дополнительное задание Листинг дополнительного задания представлен в приложении Б. Написать критерий Смирного-Колмогорова для одной выборки, которая является нормальным распределением и сортирована вставкой. ВыводЯ изучила способы нахождения стационарного распределения Марковской цепи с конечным числом состояний и получила навыки моделирования Марковских цепей. Сделан вывод, что от среднее количество абонентов линейно возрастает, так как вероятность появления пользователя в слоте тоже линейно возрастает.ПРИЛОЖЕНИЕ А Листинг программы import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import math import random from random import randint from scipy.stats import poisson from scipy.stats import binom l = 0 #интенсивность входного потока lambd_list = [] for i in range(10): l += 0.05 lambd_list.append(l) k = 100000 # количество слотов P_come_lambda = [] # количество абонентов, которое пришло в слот for i in range(len(lambd_list)): P_come_lambda.append(np.random.poisson(lambd_list[i],k)) print(P_come_lambda) N_beginning=[[0 for i in range(k)] for j in range(len(lambd_list))] # количества абонентов в началах слотов для всех лямбд N_final=[[0 for i in range(k)] for j in range(len(lambd_list))] # количества абонентов в концах слотов для всех лямбд for j in range(len(lambd_list)): for i in range(k): # заполнение количеств абонентов для одной лямбды Rk=0 # количество передающих абонентов if N_beginning[j][i]!=0: Rk=np.random.binomial(N_beginning[j][i],1/N_beginning[j][i],1) Indicator = 0 if(Rk==1): Indicator=1 N_final[j][i] = N_beginning[j][i]+P_come_lambda[j][i]-Indicator if(i N_beginning[j][i+1]=N_final[j][i] N_avg = [[] for i in range(len(lambd_list))] # массив средних значений количеств абонентов для каждой лямбды for i in range(len(lambd_list)): # подсчёт средних количеств абонентов N_avg[i] = sum(N_final[i])/k print(N_avg[i]) k=10 # количество слотов # матрица переходных состояний P_come_lambda = [[[[] for j in range(k)] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] # количество абонентов, которое пришло в слоте k для каждой лямбды for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): #состояние, в которое осуществляется переход for j in range(k): #состояние, из которого осуществляется переход if i==0 and j<2: # для переходов в состояние П0 K=0 P_come_lambda[l][i][j]=poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) elif j==0 or j==1: # для переходов из состояний П0 и П1 K=i P_come_lambda[l][i][j]=lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) elif j==i+1: # для переходов из состояния i в состояние i-1 K=0 P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) elif j K=i-j+1 P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=i-j # ни 1 абонент не передал сообщение P_come_lambda[l][i][j]+=lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (1 - math.factorial(j) / math.factorial(j-1) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) elif j==i: # для переходов из состояния i в состояние i K=1 # 1 абонент передал сообщение, а 1 абонент пришёл P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=0 # ни 1 абонент не передал сообщение и никто не пришёл P_come_lambda[l][i][j] += lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (1 - math.factorial(j) / math.factorial(j-1) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) else: P_come_lambda[l][i][j]=0 print(P_come_lambda[0]) for i in range(k): print(P_come_lambda[0][i]) # для создания коэффициентов перед П отнимаем 1 от Пi,i for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==j: P_come_lambda[l][i][j]-=1 print(P_come_lambda[0]) # замена последнего уравнения условием нормировки for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==k-1: P_come_lambda[l][i][j]=1 # заполнение правой части системы уравнений v_last=[[[] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): v_last[l][i]=0 if i==k-1: v_last[l][i]=1 print(v_last[0]) final=[] for l in range(len(lambd_list)): final.append(np.linalg.solve(P_come_lambda[l],v_last[l])) print(final[0]) #среднее количество абонентов N_avg1 = [[] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): summ = 0 for j in range(k): summ+=final[l][j]*j N_avg1[l]=summ print(N_avg1[l]) fig = plt.figure() # построения графика зависимости N от λ ax = fig.add_subplot(111) ax.set_ylim(0, 10) # ограничение среднего количества абонентов до 20 ax.set_ylabel("Среднее количество абонентов в системе, N") ax.set_xlabel("Интенсивность входного потока (λ)") ax.plot(lambd_list,N_avg1, label='Решением систем уравнений') ax.plot(lambd_list,N_avg, label='Подсчет кол-ва абонентов в слоте k') plt.legend() plt.grid() k=50 from scipy.stats import poisson from scipy.stats import binom P_come_lambda = [[[[] for j in range(k)] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] # количество абонентов, которое пришло в слоте k for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): #для каждого уравнения, состояние, в которое осуществляется переход for j in range(k): # номер слагаемого с П; состояние, из которого осуществляется переход if i==0 and j<2: #верно K=0 P_come_lambda[l][i][j]=poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) elif j==0 or j==1: #верно K=i P_come_lambda[l][i][j]=lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) elif j==i+1: K=0 P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) elif j K=i-j+1 P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=i-j # ни 1 абонент не передал сообщение P_come_lambda[l][i][j]+=lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (1 - math.factorial(j) / math.factorial(j-1) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) elif j==i: K=1 # 1 абонент передал сообщение, а 1 абонент пришёл P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=0 # ни 1 абонент не передал сообщение и никто не пришёл P_come_lambda[l][i][j] += lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (1 - math.factorial(j) / math.factorial(j-1) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) else: P_come_lambda[l][i][j]=0 for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==j: P_come_lambda[l][i][j]-=1 for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==k-1: P_come_lambda[l][i][j]=1 v_last=[[[] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): v_last[l][i]=0 if i==k-1: v_last[l][i]=1 final=[] for l in range(len(lambd_list)): final.append(np.linalg.solve(P_come_lambda[l],v_last[l])) #среднее количество абонентов N_avg2 = [[] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): summ = 0 for j in range(k): summ+=final[l][j]*j N_avg2[l]=summ print(N_avg2[l]) fig = plt.figure() # построения графика зависимости N от λ ax = fig.add_subplot(111) ax.set_ylim(0, 10) # ограничение среднего количества абонентов до 20 ax.set_ylabel("Среднее количество абонентов в системе, N") ax.set_xlabel("Интенсивность входного потока (λ)") ax.plot(lambd_list,N_avg2, label='Решением систем уравнений') ax.plot(lambd_list,N_avg, label='Подсчет кол-ва абонентов в слоте k') plt.legend() plt.grid() k=100 from scipy.stats import poisson from scipy.stats import binom P_come_lambda = [[[[] for j in range(k)] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] # количество абонентов, которое пришло в слоте k for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): #для каждого уравнения, состояние, в которое осуществляется переход for j in range(k): # номер слагаемого с П; состояние, из которого осуществляется переход if i==0 and j<2: #верно K=0 P_come_lambda[l][i][j]=poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) elif j==0 or j==1: #верно K=i P_come_lambda[l][i][j]=lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) elif j==i+1: K=0 P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) elif j K=i-j+1 P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=i-j # ни 1 абонент не передал сообщение P_come_lambda[l][i][j]+=lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (1 - math.factorial(j) / math.factorial(j-1) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) elif j==i: K=1 # 1 абонент передал сообщение, а 1 абонент пришёл P_come_lambda[l][i][j] = lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (math.factorial(j) / math.factorial(j-1)) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=0 # ни 1 абонент не передал сообщение и никто не пришёл P_come_lambda[l][i][j] += lambd_list[l] ** (K) * math.e ** -lambd_list[l] / math.factorial(K) * (1 - math.factorial(j) / math.factorial(j-1) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) else: P_come_lambda[l][i][j]=0 for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==j: P_come_lambda[l][i][j]-=1 for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==k-1: P_come_lambda[l][i][j]=1 v_last=[[[] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): v_last[l][i]=0 if i==k-1: v_last[l][i]=1 final=[] for l in range(len(lambd_list)): final.append(np.linalg.solve(P_come_lambda[l],v_last[l])) #среднее количество абонентов N_avg3 = [[] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): summ = 0 for j in range(k): summ+=final[l][j]*j N_avg3[l]=summ print(N_avg3[l]) fig = plt.figure() # построения графика зависимости N от λ ax = fig.add_subplot(111) ax.set_ylim(0, 10) # ограничение среднего количества абонентов до 20 ax.set_ylabel("Среднее количество абонентов в системе, N") ax.set_xlabel("Интенсивность входного потока (λ)") ax.plot(lambd_list,N_avg3, label='Решением систем уравнений') ax.plot(lambd_list,N_avg, label='Подсчет кол-ва абонентов в слоте k') plt.legend() plt.grid() k=1000 from scipy.stats import poisson from scipy.stats import binom P_come_lambda = [[[[] for j in range(k)] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] # количество абонентов, которое пришло в слоте k for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): #для каждого уравнения, состояние, в которое осуществляется переход for j in range(k): # номер слагаемого с П; состояние, из которого осуществляется переход if i==0 and j<2: #верно K=0 P_come_lambda[l][i][j]=poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) elif j==0 or j==1: #верно K=i P_come_lambda[l][i][j]=poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) elif j==i+1: K=0 P_come_lambda[l][i][j] = poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) * (j) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) elif j K=i-j+1 P_come_lambda[l][i][j] = poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) * (j) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=i-j # ни 1 абонент не передал сообщение P_come_lambda[l][i][j]+=poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) * (1 - j * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) elif j==i: K=1 # 1 абонент передал сообщение, а 1 абонент пришёл P_come_lambda[l][i][j] = poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) * (j) * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1) K=0 # ни 1 абонент не передал сообщение и никто не пришёл P_come_lambda[l][i][j] += poisson.pmf(k=K, mu=lambd_list[l]) * (1 - j * (1/j) *(1-1/j) ** (j-1)) else: P_come_lambda[l][i][j]=0 for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==j: P_come_lambda[l][i][j]-=1 for l in range(len(lambd_list)): #для каждой лямбды for i in range(k): #для каждого уравнения for j in range(k): # номер слагаемого с П if i==k-1: P_come_lambda[l][i][j]=1 v_last=[[[] for i in range(k)] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): for i in range(k): v_last[l][i]=0 if i==k-1: v_last[l][i]=1 print(v_last[0]) final=[] for l in range(len(lambd_list)): final.append(np.linalg.solve(P_come_lambda[l],v_last[l])) #среднее количество абонентов N_avg4 = [[] for l in range(len(lambd_list))] for l in range(len(lambd_list)): summ = 0 for j in range(k): summ+=final[l][j]*j N_avg4[l]=summ print(N_avg4[l]) fig = plt.figure() # построения графика зависимости N от λ ax = fig.add_subplot(111) ax.set_ylabel("Среднее количество абонентов в системе, N") ax.set_xlabel("Интенсивность входного потока (λ)") ax.plot(lambd_list,N_avg4, label='Решением систем уравнений') ax.plot(lambd_list,N_avg, label='Подсчет кол-ва абонентов в слоте k') plt.legend() plt.grid() plt.ylim([0, 50]) ПРИЛОЖЕНИЕ Б Листинг дополнительного задания import math import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from scipy.stats import norm # вычисление эмпирической функции # sample - массив значений, y - аргумент функции def empirical_distribution(sample, y): counter = 0 for x in sample: if x < y: counter += 1 return counter / len(sample) def generate_normal(mu, sigma, size): # сортировка вставкой def insertion_sort(a): for i in range(1, len(a)): value = a[i] # временная переменная для сравнения чисел j = i - 1 while j >= 0 and value < a[j]: a[j + 1] = a[j] j -= 1 a[j + 1] = value return a a = np.random.normal(loc=mu, scale=sigma, size=size) return insertion_sort(a) def kolmogorov_check(real, mu, sigma): empirical_real = {} empirical_teor = {} D = 0 step = 0.1 x = mu - 3*sigma #правило трех сигм right = mu + 3*sigma while x < right: # считаем эмпирическую функцию для реального распределения (для выборки) emp_r = empirical_distribution(real, x) empirical_real[x] = emp_r # считаем для теоретического emp_t = norm.cdf(x, mu, sigma) empirical_teor[x] = emp_t dif = abs(emp_r - emp_t) if dif > D: D = dif x += step x = right # выполняем алгоритм ещё раз для правой границы (так как она не вошла при рассчёте в цикле) # считаем эмпирическую функцию для реального распределения (для выборки) emp_r = empirical_distribution(real, x) empirical_real[x] = emp_r # считаем для теоретического emp_t = norm.cdf(x, mu, sigma) empirical_teor[x] = emp_t dif = abs(emp_r - emp_t) if dif > D: D = dif return D, empirical_real, empirical_teor def draw_empirical(real: dict, teor: dict): plt.figure() plt.plot(real.keys(), real.values(), color='green', label='real empirical function') plt.plot(teor.keys(), teor.values(), color='red', label='teor function') plt.legend() plt.show() return if __name__ == '__main__': # параметры нормального распределения # мат ожидание m = 10 # ско sigma = 1 # дисперсия dsp = sigma * sigma # размер выборки size = 100 # генерируем выборку с нормальным распределением real_array = generate_normal(m, sigma, size) D, emp_real, emp_teor = kolmogorov_check(real_array, m, sigma) print(D) draw_empirical(emp_real, emp_teor) |