Отражение и преломление плоских электромагнитных волн
 Скачать 240.5 Kb.
|
|
ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПЛОСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН 6.1. Основные теоретические сведения При распространении плоской электромагнитной волны в пространстве, представляющем собой области с различным значением параметров  и границами раздела в виде плоскостей, возникают отраженные и преломленные волны.Комплексные амплитуды этих волн связаны с комплексной амплитудой падающей волны коэффициентами отражения  ,  и коэффициентами преломления (прохождения)  ,  .Эти коэффициенты в каждом конкретном случае могут быть найдены на основании граничных условий на плоскостях, разделяющих среды с различными значениями электродинамических параметров. Могут быть также введены коэффициенты отражения и преломления для среднего значения плотности потока мощности:  ,  .Если вектор Пойнтинга падающей волны перпендикулярен границе раздела, то  , (6.1) . (6.2)где  - характеристическое сопротивление среды, в которой существует падающая волна.Выражение (6.1) аналогично формуле для коэффициента отражения по напряжению в линии передачи с волновым сопротивлением , нагруженной на сопротивление  . Эта аналогия полезна при определении коэффициентов  и  для многослойных сред. При наклонном падении плоской электромагнитной волны на границу раздела задача о нахождении коэффициентов отражения и преломления имеет простое решение только для сред без потерь. Поэтому приведенные соотношения можно применять только, тогда, когда потери в реальных средах малы, т.е. если  .При наклонном падении направления распространения волн по отношению к границе раздела задаются углами, измеряемыми относительно нормали к этой границе. Плоскость, содержащая вектор Пойнтинга падающей волны и нормаль к границе раздела, называют плоскостью падения. Из граничных условий следует, что углы падения  , отражения  и преломления  связаны законом зеркального отражения и законом Снеллиуса  , (6.3)где индекс 1 относится к среде, содержащей падающую волну. С учетом выражения для коэффициента фазы  (6.3) можно представить в виде .Коэффициент отражения  и преломления  для заданного значения угла падения зависят от ориентации векторов электромагнитного поля по отношению к плоскости падения. Если вектор  лежит в этой плоскости, то , (6.4) . (6.5)Если вектор перпендикулярен плоскости падения, то коэффициенты отражения и преломления выражаются соотношениями , (6.6) . (6.7)Выражения (6.4) – (6.7) при стремлении к нулю переходят в (6.1) и (6.2) независимо от ориентации вектора по отношению к плоскости падения. Это связано с тем, что при  понятие плоскости падения теряет смысл. Для диэлектрических сред, у которых  , коэффициенты и удобно представить в более компактной форме: , (6.8) , (6.9) , (6.10) . (6.11)Во всех приведенных ранее формулах при необходимости можно исключить угол преломления , используя закон (6.3).Из формулы (6.9) следует, что при  коэффициент отражения для плоских электромагнитных волн, вектор которых лежит в плоскости падения, равен нулю, и отраженная волна на границе раздела двух немагнитных сред не возникает. Угол падения, при котором наблюдается такое явление, называют углом Брюстера. Значение угла Брюстера для немагнитных сред находят из соотношения . (6.12)Согласно равенству (6.3) при  угол преломления больше угла падения, поэтому если ,то преломленная волна будет скользить вдоль границы раздела и в соответствии с выражениями (6.4), (6.6) коэффициенты отражения по модулю становятся равными единице. С дальнейшим увеличением угла падения модуль коэффициентов отражения остается равным единице будет изменяться только фаза коэффициентов  . Такое явление называют полным внутренним отражением. Исключая из выражений (6.4), (6.6) угол преломления, можно найти, что при  коэффициенты отражения равны: , (6.13) . (6.14)Коэффициенты преломления  и  при полном внутреннем отражении не равны нулю. Поле во второй среде представляет собой неоднородную плоскую волну и с учетом закона (6.3) ее можно представить в виде , (6.15)где - коэффициент преломления, равный , (6.16)если вектор перпендикулярен плоскости падения, и , (6.17)если вектор параллелен плоскости падения.Если плоская электромагнитная волна падает под произвольным углом на границу раздела двух сред с потерями, то отраженную и преломленную волны следует считать неоднородными, поскольку плоскость равных амплитуд должна совпадать с границей раздела. Для реальных металлов угол между фазовым фронтом и плоскостью равным амплитуд мал (см. задачу 5.34), поэтому можно полагать, что угол преломления равен нулю. Это позволяет ввести приближенное граничное условие для реальных металлов (граничное условие Леонтовича):  или  (6.18)где  - единичный вектор нормали к поверхности металла, направленный внутрь;  - характеристическое сопротивление металла;  - касательная к поверхности металла составляющая вектора напряженности магнитного поля.В выражении (6.18) касательную составляющую вектора напряженности магнитного поля можно приближенно положить равной  , вычисленной для идеального металла. Ошибка при этом будет незначительной, так как модуль коэффициента отражения близок к единице.6.2. Примеры решения типовых задач 6.1. Плоская электромагнитная волна падает нормально из вакуума на границу раздела со средой, имеющей параметры  .Определить комплексные коэффициенты отражения  и преломления  на частоте 100 МГц. Полагая, что амплитуда напряженности электрического поля падающей волны в плоскости  , совпадающей с границей раздела, равна 1 В/м, записать выражение для мгновенного значения напряженности электрического поля отраженной волны.Решение. Учитывая, что  , из выражения (6.1) получаем Вычисления удобнее провести, используя приближенное выражение для корня квадратного  так как  .При этом коэффициент отражения  ,а коэффициент преломления  .С учетом полученного выражения для комплексная амплитуда напряженности электрического поля отраженной волны Переходя от комплексных амплитуд к мгновенным значениям, найдем  .6.2. Измерения комплексного коэффициента отражения от диэлектрика с неизвестными параметрами  и  на частоте 1 ГГц дали величину  .Определить параметры диэлектрика  , если известно, что . Падение волны считать нормальным.Решение. Комплексный коэффициент отражения от границы раздела между вакуумом и диэлектриком с параметрами , . откуда  Подставляя в это выражение  и приравнивая фазы и модули обеих частей, получим , .Производя вычисления, найдем  .6.3. Плоская электромагнитная волна падает по нормали из вакуума на пластину диэлектрика без потерь толщиной  .Определить условия, при которых пластина становится прозрачной для падающей волны. Показатель преломления  считать известным.Решение. Формула для коэффициента отражения (6.1) аналогична по форме выражению для коэффициента отражения в теории линий передачи. Поэтому данной задаче может соответствовать схема замещения, изображенная на рис.6.1.  Рис.6.1. Отраженная от сечения  в схеме не будет, если входное сопротивление линии в этом сечении равно  . Это будет в случае, когда электрическая длина отрезка линии  кратна половине длине волны. Таким образом, отражения не будет, если или  .6.4. Плоская электромагнитная волна падает под углом  на поверхность реального металла с электрической проводимостью  .Вывести формулу для удельной мощности потерь  на площадке в  , обусловленной свойствами металла.Решение. Для определения удельной мощности потерь необходимо вычислить среднее значение вектора Пойнтинга, направленного внутрь металла. Если поля на поверхности металла известны, то  Воспользуемся граничным условием Леонтовича (6.18), согласно которому  Поскольку  ,получим следующее выражение для удельной мощности потерь:  .Если для определения  использовать решение, полученное для идеального металла, то ,когда вектор напряженности магнитного поля падающей волны перпендикулярен плоскости падения, и  когда вектор  лежит в плоскости падения. |