Ответы на алгем. Ответы на вопросы экзамена АлГем матрицы и их виды
 Скачать 257.54 Kb.
|
|
Ответы на вопросы экзамена АлГеМ Матрицы и их виды: - Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел с некоторым количеством m строк и с некоторым количеством n столбцов. Числа m и n называются порядками или размерами матрицы. Матрица порядка m × n записывается в форме: Числа aij входящие в состав данной матрицы называются ее элементами. В записи aij первый индекс i означает номер строки, а второй индекс j- номер столбца.  Определение: Если матрица содержит 1 строку и n столбцов, то она называется матрицей-строкой:  Определение: Если матрица содержит m строк и 1 столбец, то она называется матрицей-столбцом:  Определение: Матрица, у которой совпадает количество столбцов с количеством строк, называется квадратной. Определение: Транспонированной к исходной квадратной матрице называется такая матрица, строки которой заменены на соответствующие столбцы, а столбцы - на соответствующие строки. Определение: Матрицу, у которой все элементы, стоящие под главной диагональю равны нулю, будем называть треугольной:  Определение: Матрица, все элементы которой равны нулю, за исключением элементов, стоящих на главной диагонали, называется диагональной:  Определение: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой на главной диагонали все элементы равны единице, а остальные элементы равны нулю:  Операции над матрицами и их свойства: - Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число  называется матрица  элементы которой  для  Например, если  , то  Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы. Например:  В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е.  - Сложение матриц Суммой двух матриц А и В одинакового размера  называется матрица  , элементы которой  для  (т.е. матрицы складываются поэлементно).Например  В частном случае A + 0 = A. - Вычитание матриц Разность двух матриц одинакового размера определяется через предыдущие операции:  - Умножение матриц Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц  называется такая матрица , каждый элемент которой  равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В: - Возведение в степень Целой положительной степенью  квадратной матрицы  называется произведение  матриц, равных , т.е. Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. По определению полагают  Нетрудно показать, что  Пример №4 Найти  , где Решение:  Обращаем внимание на то, что из равенства  еще не следует, что матрица  - Транспонирование матрицы Транспонирование матрицы— переход от матрицы к матрице  , в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица называется транспонированной относительно матрицы : Из определения следует, что если матрица имеет размер  , то транспонированная матрица имеет размер  .Например,  В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например,  .Свойства операции транспонирования:  Определители и их свойства. Способы вычисления определителей. - Необходимость введения определителя — числа, характеризующего квадратную матрицу  , — тесно связана с решением систем линейных уравнений (см. гл. 2). Определитель матрицы  обозначается  или  Определителем матрицы первого порядка  , или определителем первого порядка, называется элемент  : Например, пусть  тогда  Определителем матрицы второго порядка  , или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: Произведения а  и  называются членами определителя второго порядка. Например, пусть  тогда  Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:  Определителем матрицы третьего порядка  , или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле: Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из 6 слагаемых, или 6 членов определителя. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу (1.4), легко запомнить, пользуясь схемой (рис. 1.1), которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса.  Свойства определителей 1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0. 2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число  , то ее определитель умножится на это число .Пусть определитель исходной матрицы равен  . Для определенности первую строку матрицы умножим на , получим новый определитель  , который разложим по элементам первой строки: Замечание. За знак определителя можно выносить общий множитель элементов любой строки или столбца в отличие от матрицы, за знак которой можно выносить общий множитель лишь всех ее элементов. Например,   , но  3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:  4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный. 5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки {столбца), то ее определитель равен 0. 6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0. 7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.  Рассмотрим квадратную матрицу  и вспомогательную матрицу  , полученную из матрицы заменой j-й строки на i-ю: т.е. матрица имеет две одинаковые строки, поэтому согласно свойству 5 ее определитель равен 0. Вычисляя его разложением по элементам j-й строки, получаем: Замечание. Объединяя результат теоремы Лапласа и свойство 7, получаем:  8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число. Пусть для определенности к элементам i-й строки матрицы прибавим элементы j-й строки, умноженные на  Тогда первая строка матрицы имеет вид:   Определитель полученной матрицы вычислим разложением по элементам i-й строки: где  — алгебраические дополнения элементов i-й строки исходной матрицы  Раскроем скобки и получим после преобразования: 9. Сумма произведений произвольных чисел  на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа .10.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:  где  —матрицы n-го порядка.Замечание. Из свойства 10 следует, что даже если  то  Перечисленные свойства определителей позволяют существенно упростить их вычисление, особенно для определителей высоких порядков. При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств 1—9, чтобы преобразованная матрица имела строку (или столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу). 4. Обратная матрица: определение и вычисление с помощью алгебраических дополнений. |