Перегудов Ф. И., Тарасенко Ф. П
Скачать 4.17 Mb.
|
§ 7.8. ВЫБОР ПРИ РАСПЛЫВЧАТОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИЛюбая задача выбора является задачей целевого сужения множества альтернатив. Как описание альтернатив (перечень их признаков, параметров и т.п.), так и описание правил их сравнения (критериев, отношений) даются в терминах той или иной измерительной шкалы (см. § 6.2). Известно, что любая измерительная шкала допускает размытие (см. § 6.3). Точнее говоря, в жизни мы часто сталкиваемся с ситуациями, описать которые можно лишь в размытых шкалах. Это, разумеется, относится и к ситуациям, приводящим к выбору. В результате мы приходим к задачам выбора в условиях расплывчатой неопределенности. Каждой из задач, рассмотренных в предыдущих параграфах, можно поставить в соответствие несколько расплывчатых задач, поскольку размытыми могут оказаться все или только некоторые компоненты задачи. До настоящего времени рассмотрено лишь незначительное число таких задач, однако ведется работа в этом направлении. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР В РАСПЛЫВЧАТОЙ СИТУАЦИИ Уже в первой работе по принятию решений в расплывчатой ситуации Беллман и Задэ [4] выдвинули идею, состоящую в том, чтобы и цели, и ограничения представлять как размытые множества на множестве альтернатив (в случае одной цели и одного ограничения это соответствует заданию множеств G = {x, ?G(x)} и C = {x, ?C(x)}). Следующий важный шаг состоял в определении размытого решения D как пересечения размытой цели G и размытого ограничения C, т.е. (см. § 6.3) ?D(x) = min [?G(x), ?C(x)]. (1) CONSTRAINT ограничение OPTIMAL оптимальный FUZZY расплывчатый DISTANCE расстояние COMPARISON сравнение Правила выбора в расплывчатой ситуации, естественно, являются различными в зависимости от того, что именно расплывчато в этой ситуации. Задача выбора решается просто и изящно, если критериальные функции отождествляются с функциями принадлежности. Однако на практике встречаются и другие задачи; например, расплывчатым может быть любой параметр критериальной функции, которая сама не является функцией принадлежности. Обобщение на случай большего числа условий очевидно. Если из размытого множества D требуется выделить какую-то одну альтернативу, то можно поступать по-разному (вплоть до рандомизации выбора), но возможный вариант состоит в максимизации ?D(x): . (2) При таком изложении задачи выбора напрашивается идея о том, чтобы вообще функцию принадлежности i-му условию интерпретировать как i-й критерий качества и вернуться к многокритериальным задачам. Тогда соотношение (1) оказывается формой суперкритерия (1) § 7.2, которая далеко не единственна. Интересны исследования в этом направлении, сделанные Эстером [45]. Он рассмотрел суперкритерий вида , (3) где 0 gi 1, = 1; m – число размытых условий; ?i(x) – функция принадлежности i-му условию; p – параметр суперкритерия. Представление (3) интересно не только наличием свойств, облегчающих математическое рассмотрение задачи (например, монотонность и непрерывность по всем компонентам), но и тем, что оно охватывает широкий класс частных суперкритериев. Так, при p – получается оператор нахождения минимального элемента из заданной совокупности (т.е. снова приходим к формуле (1)), при p = 0 – оператор умножения, при p = 1 – оператор сложения, при p + – оператор нахождения максимального элемента. Итак, задача нахождения наилучшей альтернативы x* сводится к максимизации Zp(x): . (4) Очевидно, что при этом решение зависит от конкретного набора коэффициентов g = {gi}. Обозначим через E(p) множество {xg*}, соответствующее разным g при фиксированном p. Эстер обнаружил [46] интересные свойства множеств E(p): для всех – < p1 p2 < справедливо включение E(p2) E(p1) РМ, где РМ – паретовское множество (см. § 7.2). Функции принадлежности вообще находить непросто (см. § 6.3), а при использовании изложенного подхода, кроме того, требуется, чтобы они еще имели и смысл критериальных функций в задаче выбора. Это может оказаться и неудобным, и бессмысленным. С.А. Орловский [27] предложил не изменять содержательного смысла критериев качества альтернатив и не отождествлять критериальные функции с принадлежностными, а отразить в модели расплывчатость шкал, в которых эти критерии фиксируются (если такая расплывчатость имеет место). Предполагается, что критериальные функции qi(x) относятся к параметрическим семействам, т.е. qi(x) = Ji(x,q), и считается, что расплывчатость критериальных функций сводится к расплывчатости в описании параметровq: Q = {q, ?Q(q) }. Теперь для каждой альтернативы x значение критерия Ji(x,q) принадлежит размытому множеству, функция ?i(Ji(x)) принадлежности к которому зависит от x и от конкретного вида функций Ji(x,q) и ?Q(q). Носитель этого множества может быть как ограничен сверху величиной Ji0(x), так и не ограничен (чем больше Ji, тем лучше; ограниченность Ji сверху несущественна). Если естественного ограничения снизу нет, то его можно ввести искусственно, задав некоторый уровень ? (0 < ? < 1) для функции принадлежности и взяв в качестве Ji0(x) наименьший корень уравнения ?i(Ji(x)) = ?. В результате величины Ji0(x), ..., Jm0(x) можно рассматривать как новые (и уже неразмытые!*) критериальные функции, и мы возвращаемся к стандартной многокритериальной задаче, которую можно решать любым из стандартных методов (см. § 7.2). Орловский, в частности, предлагает находить паретовское множество альтернатив. Заканчивая обзор расплывчатых вариантов критериальных задач выбора, рассмотрим еще задачи, связанные с использованием расстояний между точками в пространстве альтернатив. При расплывчатом описании альтернатив предлагается “расстояние” определять через модули разностей функций принадлежности, например , (5) где ?r(x) – функция принадлежности по r-му признаку к интересующему нас множеству. Такие расстояния используются в задачах классификации [17]. НЕКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПЛЫВЧАТОГО ВЫБОРА Некоторые успехи имеются и в рассмотрении расплывчатых вариантов выбора, описываемого на языке бинарных отношений (см. § 7.3). Во-первых, сделано расплывчатое обобщение отношения предпочтения [49]. Размытое отношение R слабого порядка определяется как удовлетворяющее размытым условиям связности и транзитивности: xi xj R(xi, xj) > 0 или ?R(xj, xi) > 0 (6) (связность); (7) (транзитивность). Если условие (6) заменить условием R(xi, xj) >0 ?R(xj, xi) = 0 (8) (асимметрия), то такое упорядочение называется сильным. Во-вторых, Л. Задэ показал [30], что любое расплывчатое отношение R допускает разложение по ? в виде объединения неразмытых множеств R? с функциями принадлежности (9) где 0 < ? < 1 (что можно представить как расслоение объема под ?R на горизонтальные пласты уровней ?). Это, например, позволяет перейти от расплывчатого описания коллективного упорядочения альтернатив к нерасплывчатому множеству альтернатив, отобранных “со степенью согласия на уровне ?” [49]. О других классах задач выбора кратко можно сказать следующее. Расплывчатой версии языка глобальных функций множеств (описанного в § 7.4) пока не создано. Начато исследование различий и аналогий между статистической и размытой неопределенностями. Некоторые особенности, возникающие при одновременном наличии обеих неопределенностей, рассмотрены, например, в [26]. Не углубляясь в детали (так как для этого понадобилось бы использовать достаточно сложные построения, связанные с понятием случайных множеств), отметим, что в целом идеи теории расплывчатых множеств привлекают все больший интерес, поскольку в этой модели удалось отразить многие особенности языковых моделей и действий человека на их основе.
|