Перевод чисел из одной позиционной системы в другую представление информации в компьютере ключевые слова

• Название: Перевод чисел из одной позиционной системы в другую представление информации в компьютере ключевые слова
• Дата: 08.11.2021
• Размер: 404.5 Kb.
• Имя файла: 10-11-1-perevod-chisel-iz-odnoj-sistemy-schislenija-v-druguju.pptx
• Тип: Документы; #265783

ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ В ДРУГУЮ

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ В КОМПЬЮТЕРЕ

Ключевые слова

• система счисления
• триада
• тетрада
• «компьютерные» системы счисления
• «быстрый» перевод

Перевод целого десятичного числа в систему счисления с оcнованием q

• последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю;
• полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;
• составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Вопросы и задания

№ 1. 1310 = Х2

2

13

12

1

6

2

6

3

0

2

2

1

1

2

0

0

1

= 11012

44

22

11

5

0

0

1

1

№ 2. 4410 = Х2

= 1011002

2

0

1

1

№ 3. 17210 = Х8

8

12

172

16

21

8

4

8

16

2

5

8

0

0

2

= 2548

№ 4. 17210 = Х16

16

172

160

10

12 (С)

16

0

0

10 (А)

= АС16

A

B

C

D

E

F

10

11

12

13

14

15

?

Реши сам

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 5. Переведите десятичные числа в указанные системы счисления.

а) 10010 = X2

б) 18710 = X8

в) 257210 = X16

г) 145810 = X5

д) 5310 = X3

= 11001002

= 2738

= A0C16

= 213135

= 12223

е) 23310 = X2

ж) 30210 = X8

з) 380210 = X16

и) 95010 = X5

к) 4110 = X3

= 111010012

= 4568

= EDA16

= 123005

= 11123

Перевод целого десятичного числа в двоичную систему счисления

Для перевода числа Х (X≤10000) в двоичную систему счисле-ния можно воспользоваться таблицей степеней двойки.

№ 6. 52910 = Х2

= 10000100012

Решение:

Представим число в виде суммы степеней двойки, для этого:

Решение:

Представим число в виде суммы степеней двойки:

• когда исходное число представлено в виде суммы, строим его двоичное представление, записав 1 в разрядах, соответствующих слагаемым, вошедшим в сумму, и 0 — во всех остальных разрядах.

210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20
1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

52910 = 512

512 + 16 + 1 =

= 29 + 24 + 20

= 10000100012

?

Реши сам

• возьмем максимально возможное значение, не превы-шающее исходное число (512 < 529);

• найдем разность между исходным числом и этим значением (17);

• выпишем степень двойки, не превышающее эту разность и т. д.

+ 17 =

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 7. Переведите десятичные числа в двоичную систему счисления, используя таблицу степеней двойки:

а) 9710 = X2

б) 32810 = X2

в) 109010 = X2

= 1100 0012

= 1010010002

= 100010000102

г) 8410 = X2

д) 29210 = X2

е) 54710 = X2

= 10101002

= 1001001002

= 10001000112

210	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20
1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Перевод десятичной дроби в систему счисления с основанием q

Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует:

• последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа;
• полученные целые части (цифры числа) привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;
• составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

№ 8. 0,37510 = Х2

= 0,0112

0,375

2

0,750

х

0,75

2

1,50

х

0,5

2

1,0

х

Операция	Результат
0,375 · 2	0,750
0,75 · 2	1,500
0,5	1,000

?

Реши сам

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 9. Переведите десятичные дроби в систему счисления с указанным основанием (с точностью до трех знаков после запятой):

а) 0,62510 = X2

б) 0,24510 = X8

в) 0,46010 = X16

= 0,1012

= 0,1758

= 0,75С16

г) 0,75010 = X2

д) 0,12510 = X8

е) 0,36510 = X16

= 0,1102

= 0,1008

= 0,5D716

Решите самостоятельно

ОТВЕТ

№ 10. Переведите смешанные десятичные числа в систему счисления с указанным основанием (с точностью до трех знаков после запятой):

а) 98,7510 = X2

б) 100,37510 = X8

в) 121,12110 = X16

= 1100010,1102

= 144,3008

≈ 79,1EF16

г) 43,12510 = X2

д) 16,7810 = X8

е) 750,75010 = X16

= 101011,0012

≈ 20,6178

= 2EE,C0016

При переводе смешанных чисел из десятичной системы счисления в любую другую отдельно (по разным правилам) переводится целая и дробная части.

Перевод чисел из системы счисления с основанием р в систему счисления

При необходимости перевод целого числа А из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно свести к хорошо знакомым действиям с десятичной системе счисления: перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления.
А10

Аp

Аq

Развёрнутая запись (по степеням p)

Деление на q

с основанием q

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием р в систему

счисления с основанием q

• Все действия производятся в исходной системе счисления p.
• Делим число и полученные неполные частные на основание другой системы счисления до тех пор, пока неполное частное не станет равным нулю. Полученную в ходе деления последовательность остатков записываем в обратном порядке.

p>q

Пример. 135 = Х3

= 223

Все действия производим в 5-ной системе счисления.

3

13

11

2

2

3

0

0

2

Проверка:

135 = 1 · 5 + 3 = 810

223 = 2 · 3 + 2 = 810

Перевод чисел из системы счисления с основанием р в систему

счисления с основанием q

1. Записать исходное число в развернутой форме:

an · pn + an-1  · pn-1 + ... + a1  · p1 + a0 · p0 , где p - старое основание.

2. Произвести вычисления в новой системе счисления q.

p

Пример. 213 = Х5

= 125

Все действия производим в 5-ной системе счисления.

Проверка:

213 = 2 · 3 + 1 = 710

125 = 1 · 5 + 2 = 710

2 · 3 + 1 · 30

= 11 + 1 = 125

Быстрый перевод чисел в компьютерных системах счисления

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2n) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетра-дами) позволяет осуществлять быстрый перевод. Для этого:

• данное двоичное число надо разбить справа налево на группы по n цифр в каждой;
• если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов;
• рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы счисления с основанием q = 2n.

Способ «быстрого» перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q=2n) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетра-дами) позволяет осуществлять быстрый перевод.

Перевод целых чисел между двоичной и восьмеричной системами счисления

8=23

Цифра	→	Двоичный код
0	→			0
1	→			1
2	→		1	0
3	→		1	1
4	→	1	0	0
5	→	1	0	1
6	→	1	1	0
7	→	1	1	1

А2

А8

А8

Восьмеричные цифры заменяем триадами

Триады меняем на восьмеричные цифры

Цифра	→	Триада
0	→	0	0	0
1	→	0	0	1
2	→	0	1	0
3	→	0	1	1
4	→	1	0	0
5	→	1	0	1
6	→	1	1	0
7	→	1	1	1

№ 11. 11001012 = Х8

= 1458

1

4

5

№ 12. 3028 = Х2

= 110000102

3

0

2

0 1 1

0 0 0

0 1 0

0 0 1 1 0 0 1 0 1

Перевод целых чисел между двоичной и 16-ной системами счисления

0 1 0 1

1 0 1 0

0 0 1 1

Цифра	→	Двоичные коды
0	→				0
1	→				1
2	→			1	0
3	→			1	1
4	→		1	0	0
5	→		1	0	1
6	→		1	1	0
7	→		1	1	1
8	→	1	0	0	0
9	→	1	0	0	1
A (10)	→	1	0	1	0
B (11)	→	1	0	1	1
C (12)	→	1	1	0	0
D (13)	→	1	1	0	1
E (14)	→	1	1	1	0
F (15)	→	1	1	1	1

Цифра	→	Тетрада
0	→	0	0	0	0
1	→	0	0	0	1
2	→	0	0	1	0
3	→	0	0	1	1
4	→	0	1	0	0
5	→	0	1	0	1
6	→	0	1	1	0
7	→	0	1	1	1
8	→	1	0	0	0
9	→	1	0	0	1
A (10)	→	1	0	1	0
B (11)	→	1	0	1	1
C (12)	→	1	1	0	0
D (13)	→	1	1	0	1
E (14)	→	1	1	1	0
F (15)	→	1	1	1	1

16=24

А2

А16

А16

16-ные цифры заменяем тетрадами

Тетрады меняем на 16-ные цифры

№ 13. 11011012 = Х16

= 6D16

6

D

№ 14. 5A316 = Х2

= 101101000112

5

A

3

0 1 1 0 1 1 0 1

Перевод дробной части между двоичной и восьмеричной системами

№ 15. 0,111012 = Х8

= 0,728

7

2

№ 16. 0,1328 = Х2

= 0,001011012

1

3

2

0,

0 0 1

0 1 1

0 1 0

0, 1 1 1 0 1 0

Цифра	→	Триада
0	→	0	0	0
1	→	0	0	1
2	→	0	1	0
3	→	0	1	1
4	→	1	0	0
5	→	1	0	1
6	→	1	1	0
7	→	1	1	1

Чтобы записать правильную двоичную дробь в системе счисления с основанием q = 2n, достаточно:

1) двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой; если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов;

2) рассмотреть каждую группу как n-разряд-ное двоичное число и записать её соответствующей цифрой.

0,

0,

Реши сам

?

Решите самостоятельно

Цифра	→	Двоичный код
0	→	0	0	0	0
1	→	0	0	0	1
2	→	0	0	1	0
3	→	0	0	1	1
4	→	0	1	0	0
5	→	0	1	0	1
6	→	0	1	1	0
7	→	0	1	1	1
8	→	1	0	0	0
9	→	1	0	0	1
А(10)	→	1	0	1	0
B(11)	→	1	0	1	1
C(12)	→	1	1	0	0
D(13)	→	1	1	0	1
E(14)	→	1	1	1	0
F(15)	→	1	1	1	1

№ 17. Заполните таблицу: переве-дите число из одной системы счисления (q) в другую методом «быстрого» перевода:

ОТВЕТ

q=2

q=16

q=8

705

111000110010

C0DE

11011,11

2E,8

470,1

111000101

1C5

E32

7062

1100000011011110

140336

1B,С

33,6

101110,1

56,4

100111000,001

138,2

Самое главное

• последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю;
• полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления;
• составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Самое главное

В компьютерных науках широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, поэтому их называют «компьютерными». Между основания-ми этих систем существует очевидная связь: 16 = 24, 8 = 23. Если основание системы счисления q кратно степени двойки (q = 2n), то любое число в этой системе счисления можно «быстро» перевести в двоичную систему счисления, выписав последовательно двоичные коды каждой из цифр, образующих исходное число. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод между этими системами счисления, не прибегая к арифметическим операциям.

Вопросы и задания

Задание 1. Укажите через запятую в порядке убывания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 33 оканчивается на 5.

Решение:

Поскольку запись числа в системе счисления с основанием q заканчивается на 5, то остаток от деления числа 33 на q равен пяти: 33 mod q = 5.

Следовательно, (33-5) mod q = 0, т.е. 28 mod q =0.

Это верно для q ∈ {28, 14, 7, 4, 2, 1}.

Так как в новой системе счисления запись числа оканчивается на пять, то q > 5.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют основания: 28, 14 и 7.

Ответ: 28, 14 и 7.

Вопросы и задания

Задание 2. Сколько значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 24118?

Цифра	→	Триада
0	→	0	0	0
1	→	0	0	1
2	→	0	1	0
3	→	0	1	1
4	→	1	0	0
5	→	1	0	1
6	→	1	1	0
7	→	1	1	1

Решение:

Для ответа на этот вопрос достаточно знать двоичные триады, соответству-ющие восьмеричным цифрам от 0 до 7 и выполнить «быстрый» перевод числа 24118 в двоичную систему счисления:

24118 = 010 100 001 0012 = 101000010012.

В двоичной записи 7 значащих нулей, а первый нуль является незначащим и не учитывается.

Ответ: 7

Вопросы и задания

Задание 3. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Б и В, записаны в алфавитном порядке и пронумеро-ваны. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААБ

3. ААААВ

4. АААБА

5. АААББ

…

Какие слова находятся в этом списке на 51-м и 200-м местах?

Решение:

Слово в трехбуквенном алфавите можно рассматривать, как запись слова в троичной системе в 5-разрядном представлении. Тогда А – 0, Б – 1, В – 2.

Вопросы и задания

А – 0, Б – 1, В – 2.

При такой записи незнача-щие нули в начале (слева) тоже записываются:

1. ААААА

2. ААААБ

3. ААААВ

4. АААБА …

51. ?

200. ?

Задание 3 (решение).

= 000003 = 010

= 000013 = 110

= 000023 = 210

= 000103 = 310 …

Чтобы понять, какое слово соответствует этому числу, надо перевести его в троич-ную систему счисления и при необходимости дополнить слева «0» до пяти разрядов.

3

50

48

2

16

3

15

5

1

3

3

1

2

3

0

0

1

На 51-м месте в списке стоит число 51-1 = 50, а на 200-м – число 200-1=199.

→ АБВБВ

5010 = 012123

= *****3 = 5010

= *****3 = 19910

Аналогично надо перевести в троичную систему счисле-ния число 199.

3

199

198

1

66

3

66

22

0

3

21

7

1

3

6

2

1

→ ВББАБ

19910 = 211013

3

0

0

2

Ответ: АБВБВ и ВББАБ

Вопросы и задания

Задание 4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, Б и В, записаны в алфавитном порядке и пронумеро-ваны. Вот начало списка:

1. ААААА

2. ААААБ

3. ААААВ

4. АААБА

5. АААББ

…

На каких местах будут стоять слова АБВБА и ВВВВВ?

Ответ: 49 и 243

ОТВЕТ