Косвенные погрешности инструкция по выполнению. Обработка косвенных измерений (инструкция). Первое условие, которое надлежит выполнять в математике
 Скачать 348.02 Kb.
|
|
Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, - это быть точным, второе - быть ясными, насколько можно, простым» Готфрид Вильгельм Лейбниц «Преимущество нашего физического образования в том, что мы всегда видим за этими формулами и физику. Более того, уже после аспирантуры я понял колоссальное преимущество выпускника кафедры математики с физического факультета перед мехматянами - у нас никогда не было проблемы с поиском задачи.» Профессор Бутузов Валентин Фёдорович Введенице Как я уже упоминал, выбудете работать с двумя типами измерений: прямыми и косвенными. Напомню, что прямые измерения, это когда вы хотите получить результаты измерений данной конкретной величины скорости, расстояния, силы, напряжения итак далее. Косвенные же измерения, это когда вам необходимо узнать энергию тела, мощность или другую величину, для которой или у вас нет прибора под рукой по разным причинам (потеряли, забыли, или, вообще, такого не существует. Обычно, все эти величины можно выразить через более простые, которые уже можно измерить приборами с меньшими сложностями. Так и делают, и расчёт величин через вычисление результатов прямых измерений, по известным законами формулам, называют косвенными. Рассмотрим ситуацию вы хотите измерить, какую энергию вы приобретаете, разогнавшись до максимальной скорости на своём автомобиле. Формулу энергии мы все знаем: = к + п , где к – кинетическая энергия кап потенциальная: п = ℎ, где – масса тела, – скорость оного - разница между высотой, на которой происходит действие и высотой, на которой потенциальную энергию мы принимаем нулю 1 Для простоты, примем, что местность, по которой пролегает дорога, ровная, без холмов и впадин, то есть потенциальная энергия не меняется и её можно приравнять нулю. Таким образом 2 Отлично, меняться тут могут только значения скорости и массы, а значит их нами надо измерить. Допустим, что при измерении, мы получили такие результаты: Величина Измерения Приб.погр. Масса (с грузом ), кг 1122 1119 1119 1122 Скорость ), км/ч 100 102 99 99 101 И что теперь С одной стороны, можно вычислить среднюю массу с погрешностью и среднюю скорость, тоже с погрешностью, а затем как-то хитро это подставить в формулу для энергии. С другой, можно получить для каждой пары массы и скорости значение энергии, а потом как-то, опять же, усреднить. Но тут встаёт серьёзный вопроса можно ли так делать, в принципе И ответ простой нет, так делать нельзя. Объясняю. Одно дело, когда вы пять раз померили массу авто, потом поехали и уже в пути пять раз измерили максимальную скорость, а другое, когда мы связываем измерение массы сданным конкретным разгоном до максимальной скорости. То есть, говоря умным языком, в первом случае, измерения массы и измерения скорости образуют две выборки. Затем мы рассчитываем среднюю массу, среднюю максималку и ходим среднюю энергию. Во втором же, каждая масса связана с каждой конкретной скоростью, то есть мы имеем уже одну выборку, которую уже образует энергия, которая вычисляется для данной конкретной пары масса-скорость. 1 Строго говоря, мы совершенно не умеем измерять полную энергию тела. Наш максимум, это измерить её изменение. Но учёные выкрутились они договорились приравнивать к нулю всё, что в условиях задачи неважно. То есть, плевать нам на то, какая энергия придаётся нам вращением Земли, если мы говорим о столкновении шариков в лаборатории третьего корпуса. Земля вовремя расчётов планирует останавливаться Нет. Ну таки примите эту энергию равной нулю. Тоже самое и с потенциальной энергией. Если высота не меняется, нам неважно, как велика составляющая энергии, даваемая работой силы тяготения и её можно с чистой совестью принять за нолик В первом случае, когда есть несколько независимых выборок, мы используем метод переноса погрешностей, а когда есть несколько выборок итоговой функции, мы используем уже метод выборки. Примечание: Кроме того, скажу сразу, существует ещё один способ метод наименьших квадратов. Яне буду разбирать его, так как он используется в лабораторных работах достаточно редко и встретился мне только единожды, и то, как работать с ним в данном конкретном случае, было подробно разобрано в самой лабораторной работе. И, кроме того, положа, руку на сердце, я хоть и понимаю сферу его применения, сам метод я понимаю не очень хорошо, на этом, как говорится, мои полномочия всё. Маленький математический ликбез. Разумеется, при различных значениях простых величин, итоговое значение интересующей нас более сложной величины будет меняться. Притом, в уравнения в физике и высшей математике часто входят несколько таких величин, которые могут меняться в условии задачи. Такие величины называют переменными. На умном языке, уравнения, в которых есть несколько оных, называют функциями нескольких переменных. Обозначают её так ( , важно отметить, что в скобках переменных может быть и больше. Если функция зависит от x, y, z, записывается она идентично ( , , Функция энергии, в нашем случае, тогда может быть записана ( , Как работать с функциями двух переменных, это вопрос большого раздела высшей математики. Вам об этом расскажут на математическом анализе и алгебре и геометрии. Наша же сейчас задача осмыслить только одну вещь из всего этого пласта материала. Нам пригодится операция взятия частной производной. Я исхожу из того, что, вы уже умеете брать простую производную. Ежели нетто не бойтесь, как брать делать это своими лапками вам скоро расскажут, а пока пользуйтесь калькуляторам, к счастью, мы не на матанализе, чтоб всё считать своей мозгой, если рядом есть мозга электронная. Моя задача сейчас описать суть. Собственно, если функция задаётся несколькими меняющимися величинами, а нам надо понять, как на изменение функции влияет одна из них, есть простая идея а давайте скажем, что остальные переменные временно постоянны. То есть, они как числа, только буквы. Тоже не меняются. Меняется только одна из них, о которой мы договорились заранее, и по ней мы берём уже стандартную производную. Отличается лишь запись. Как вы, наверное, знаете, у записи производной есть два основных варианта ) = ( ) Но если мы переходим к функции нескольких переменных, то тут уже действует несколько изощрённая форма записи , Если мы смотрим на это нечто, то понимаем, что что надо взять частную производную по x. Она меняется, а «y» принимается за постоянную величину. Временами можно встретить иную форму записи , Такая запись частной производной очень опасна, потому что в различном контексте может значить очень разные вещи. С одной стороны, многие калькуляторы, в числе которых Photomath и WolframAlpha, интерпретируют такую запись просто как частную производную попеременной, но иногда, в особых случаях, которых мы касаться не будем сейчас, такая запись означает полную производную, которая высчитывается своим особым образом. Поэтому прошу учитывать, что это может быть, как частная производная, таки что-то иное. Возьмём частные производные, на примере нашей функции энергии ( , ) Сосчитаем производную по массе: = 2 Примем скорость за константу. Тогда, по правилам вычисления производных, получим: 2 = 2 = 2 Сделаем тоже самое, но уже со скоростью 2 = 2 ∗ 2 = Запишем и запомним 2 ; = Обработка данных прямых измерений методом переноса погрешностей Нам даны результаты измерений: Величина Измерения Приб.погр. Масса (с грузом ), кг 1122 1119 1119 1122 Скорость ), км/ч 100 102 99 99 101 Как я уже сказал выше, данный метод используется, когда у насесть несколько выборок с измерением разных величин. Проще говоря, есть список измеренных масс, скоростей, ещё каких-то величин, каждое из измерений, которых не имеет жёсткой связи с единичным измерением другой. То есть, к примеру, если вы посмотрите в табличку и поменяете скорость в третьей ячейке со скоростью во второй, ничего ровным счётом не произойдёт. Среднее значение останется тем же самым. Более того, в выборке измерений одной величины может быть больше элементов, чем в выборке другой. На итог это очень мало повлияет. Главное правило, должно быть не менее (!!!) трёх измерений каждой переменной. Три – это минимальное число измерений для того, чтобы можно было бы провести хоть сколько-нибудь точную оценку. По-хорошему, в условиях лабораторной работы, хорошо бы иметь минимум пять измерений. Ввиду того, что у нас на руках сейчас две выборки (выборка измерений массы и выборка измерений скорости, мыс чистой совестью приступаем к измерениям методом переноса погрешностей. Если говорить скучно и сухо, то алгоритм представляет собой примерно вот такой вот планчик. записать результаты прямых измерений. находим среднее значение с погрешностью по каждой из выборок. находим среднее значение искомой функции, подставляя средние значения по выборкам. Переносим погрешность по формуле = ( , … , ) ,…, ∙ ∆ + ⋯ + ( , … , или, если функция легко логарифмируется, 7 ∆ = ln ( , … , ) ,…, ∙ ∆ + ⋯ + ln ( , … , ) ,…, ∆ 5. Записываем результат и округляем его. При необходимости, сводим результаты в таблицу (чаще всего используется для ИДЗ). Снова ничего непонятно Ничего страшного. Если что-то понятно, поздравляю, вы уже неплохо преисполнились, но, тем не менее, разберём каждый пункт поподробнее. Шаг первый. По той причине, что наше условие как раз подходит под сей метод, возьмём его без изменений: Величина Измерения Приб.погр. Масса (с грузом ), кг 1122 1119 1119 1122 Скорость ), км/ч 100 102 99 99 101 Кроме того, ещё раз запишем формулу для энергии, чтобы не забытьи потерять , ) И на этом же моменте, сразу скажу мы переходим к работе со сложными формулами и единицами измерения, в которых порой поменять значения на раз-два не выйдет и мучиться чтобы всё это поправить, старясь получить абстрактные джоули или ватты, будет так неприятно, что нив сказке сказать, ни матом сформулировать. Короче, лучше заранее перевести единицы измерения, которые у насесть, в единицы измерения СИ, ибо именно через них выражены более сложные единицы. Здесь есть два варианта можно перевести сразу, а можно перевести потом, после обработки прямых измерений. Большой разницы тут нет. Лично я, так как км/ч при переводе в м превратятся, скорее всего, вне очень красивые числа, с которыми сложнее работать, а также ввиду нежелания пересчитывать то, что я сосчитал в прошлой части, я сделаю перевод потом 8 2. На втором шаге мы должны рассчитать средние значения и погрешности для всех интересующих нас величин и записать их в виде + ∆ где – среднее значение переменной, а – её полная погрешность. Для выполнения данной операции используем уже разобранный ранее алгоритм обработки результатов прямых измерений. Тут ничего особо нового нету, посему запишем уже сосчитанные за кадром значения для нашей задачи 100,2 ± км ч 1120,0 ± 1,8 кг. Как я уже говорил, надо перевести км/ч в мс 27,83 ± мс То бишь, мы имеем мс кг = мс кг. и можем с этими значениями что-то изобразить дальше. Шаг третий. Теперь у насесть средние значения переменных, давайте подставим их в искомую функцию и назовём полученное значение средним значением фенкции. Математически это выглядит так, … , В нашем примере это будет выглядеть так ( , ) = 2 подставляя цифры, получим кг ∙ 27,83 мс кг ∙ мс Дж. Большие цифры, да Это нормально, так как, спойлер, машинка весит больше одной тонны и пролетает почти 30 метров за секунду. Это, доложу я вам, огромная скорость 9 4. Прекрасно, идём дальше, на очереди четвёртый шажок. Должен сказать, неожиданно сложный для описания, хотя в целом, ничего сложного в нём нет. Для простоты я его тоже поделю на подшаги. Теперь надо каким-то как-то перенести погрешности с переменных на итоговое значение функции. Как это сделать. Для начала, нам необходимо взять частные производные по всем переменным, которые мы измеряли. Как это сделать, я описал в математическом ликбезе. В результате выполнения этого шага, у нас получатся несколько частных производных, которые обозначают как , … , ) ; … ; ( , … , В нашем, случае, надо взять производную от функции W попеременными. Далее нам необходимо подставить в производные, вместо переменных, их средние значения, которые мы рассчитывали ранее. То есть, вместо , во всех частных производных будет стоять переменная , вместо , итак далее. При этом, для, опять, же, великой простоты, мы обзовём всё это большущее выражение какой- то буквой. Допустим, это будет буква с индексом величины, по которой берём данную производную , … , В примере с автомобилем, и его энергией на максимальной скорости , ) , = 2 , = 2 ; = ( , ) , = , = ∙ . c. Теперь нам необходимо умножить каждую из производных на полную погрешность той величины, по которой мы брали производную (то есть ту, которая базируется в индекса у буковки и у нижнего в частной производной. В этот рез будет без общего вида, будет сразу наша остановочка: ∆ = 2 ∆ ; ∆ = ∙ ∙ ∆ . d. Теперь, наконец, финишная прямая, надо все наши предыдущие мысли и выводы объединить в формулу одну общую. И такая формула есть ( , … , ) = ( ∆ ) + ⋯ + ∆ Разумеется, писать в скобках у переменные, от которых она зависит, нет необходимости, я просто уточняю и напоминаю, что это выражение в общем виде. Радостно крича и прыгая от радости, мы подставляем наши значения в формулу и лицезреем: ∆ = ( ∆ ) + ( ∆ ) = 2 ∆ + ( ∙ ∙ ∆ или если в числах = 27,83 мс 1,8 кг+ 1120 кг ∙ мс мс Дж Нихрена себе погрешность Тут даже я в шоках. Хотя, среднее значение у нас тоже не особо то и маленькое, так что неважно. Увы, всё, что описано в 4 пункте, работает не всегда. Бывает, что производная по одной переменной получается простой и красивой, а вот по второй, уже нет. Тогда, зачастую, чтобы лишний раз не потеть, делают финт ушами и берут производную не от самой функции, а от её натурального логарифма (того, у которого внизу стоит экспонента). Сейчас объясню, что это значит. Например, есть функция , ) где C – некая константа. Производная по x получается красивой 11 = но вот уже с производной по игреку есть проблемки: = − Мы что, мазохисты, чтобы в это потом цифры подставлять Нет, конечно. Мы сделаем так возьмём логарифма потом уже от него возьмём производную. Выглядит это так Ну таки вот, красота же Зачем было лишний раз мучиться? Дальнейший алгоритм тот же самый, кроме двух моментов. Во-первых, повелось обозначать другим коэффициентом такие выражения в итоговой формуле, то есть ( , … , ) ,…, = Ну и сама итоговая формула немного отличается ( , … , ) = ( ∆ ) + ⋯ + ∆ где – то самое значение, рассчитанное в третьем пункте. Больше отличий нет. Да, конечно, пользоваться этим вариантом никто вас не заставляет, считайте так, как вам угодно, ответ получится всё равно тот же. На пятом шаге нам необходимо всё то, что мы получили, красиво записать в ответ. Мы имеем 434725 Дж = 16534,6 Дж. Записывается это, как мы знаем, в виде ∆ так значит давайте же таки запишем 434725 ± 16534,6 Дж. Невкусно. Прич м очень. Коль мы говорим тут о таких крупных величинах, может хотя бы выразим это через какие-нибудь килоджоули А давайте 12 = 434,725 ± 16,5346 кДж. Теперь надо это дело округлить. Округляем, начиная с погрешности, до одной-двух значащих цифр (значащая цифра, обычно, цифра более 1 и 2). Думаю, ∆ = 17 кДж будет как раз. Теперь берём само значение энергии и округляем аналогично 430 кДж. Записываем ответ кДж. Далее есть вероятность, вам понадобится таблица, куда можно красиво внести всё расчёты. Она необязательна, особенно в самих лабораторных работах. Иногда нужна в ИДЗ по погрешностям. Базу таблицы, без данных, я вставлю вконец этого файла Обработка данных прямых измерений методом выборки Для начала скажу пару слов про ситуации, когда этот метод, вообще, можно использовать. Существуют эксперименты, где мы проводим не десяток измерений одной величины, затем потом десяток измерений другой, а десяток раз измеряем некий набор величин. То есть раньше мы проводили некий эксперимент много раз, чтобы узнать много значений одной величины, при этом, не меняя условия, здесь же, входе десятка экспериментов, мы исследуем набор величин, при, возможно, изменившихся условиях. Нам не так важно, что будет сними, нас начинает интересовать то, что будет с итоговой функцией, переменными которой эти величины являются. Между ними мы, по сути, устанавливаем связь, говоря- Переменные x1, y1, z1, вы переходите в подчинение функции F1! - Есть перейти в подчинение функции F1 – говорят переменные- Переменные x2, y2, z2, переходят в подчинение функции F2! - Есть. И так далее. От того, как каждая переменная будет себя вести и какие значения трудолюбия примет, будет зависеть результат проверки начальства по успешности работы каждого набора и назначении функции F1 (и количества мата, которое на неё выльется. Значения разных переменных, снятых с одного эксперимента, связаны друг с другом этим фактом. Возвращаясь к нашему примеру, мы не пять раз измеряем массу, а потом пять раз измеряем скорость, а пять раз проводим эксперимент с последовательностью действий измерили массу, поехали, измерили скорость, остановились. То есть нам тут становится важно какая масса была у автомобиля при той данной конкретной скорости и наоборот. Нельзя взять и просто поменять местами пятое измерение скорости с первым, не поменяв те же измерения у массы, так как тогда это приведёт к большим ошибкам. Мы тут начинаем работать уже нес массой и скоростью по отдельности, а со значениями энергии, которые имели место в каждом из экспериментов. Исходя из этого, условие нашего примера надо малость поменять. Предположим, что мы хотим, измерить непросто максимальную энергию автомобиля, а какую, в среднем, максимальную энергию приобретает данный конкретный водитель, вовремя поездки на работу по Западному скоростному диаметру. Допустим работодатель честный и не требует выходить на работу, поддерживая пятидневку. Идеальная система с пятидневкой нужна, чтоб не увеличивать количество расчётов. В реальности это, конечно, влажные мечты большинства работников, но ладно. И да, тут мы сразу в м скорость измерим. Таким образом, допустим, мы провели расчёты: Величина Номер дня (i) Приб.погр. - 1 2 3 Масса (с грузом ), кг 1119 1121 1121 1119 Скорость ), мс 28,3 27,5 27,5 28,06 Функция , ) И снова посмотрим на алгоритм. по каждому из наборов, , … , найти значение ( , , … , ); 2. находим среднее значение функции и случайную погрешность, используя алгоритм обработки прямых измерений. находим приборную погрешность для по формулам , … , ) ,…, + ⋯ + ( , … , для простых функций и формуле ( , … , ) ,…, + ⋯ + ln ( , … , для легко логарифмируемых функций. вычислить среднюю приборную погрешность функции. вычислить полную погрешность. Записываем результат и округляем его. При необходимости, сводим результаты в таблицу (чаще всего используется для ИДЗ). И снова попробуем разобраться. Первый шаг, на самом деле, элементарен возьмём и просто подставим значения, соответствующие одному эксперименту, в функцию. И получим: = ( , … , ); 15 = ( , … , ); … = ( , … , где – объём выборки (количество экспериментов). Говоря о нашем эксперименте ( , ) = 2 ; = ( , ) = 2 ; = ( , ) = 2 ; = ( , ) = 2 ; = ( , ) Подставляя числа, получим кг ∙ (27,78 мс 432167,9 Дж кг ∙ (28,3 мс 448098 Дж кг ∙ (27,5 мс 423878,1 Дж кг ∙ (27,5 мс 423878,1 Дж кг ∙ (28,06 мс 440529,9 Дж. Теперь у нас, по сути, получается, выборка Номер измерения 2 3 Энергия ( ), Дж 448098 423878,1 423878,1 Очень напоминает что-то… Только что Правильно, это же прям как выборка прямых измерений. Будто бы мы использовали какой-то прибор, который измеряет кинетическую энергию тела. Соответственно, переходим к следующему шагу самым простым способом 16 2. Обработаем эту выборОчку при помощи алгоритма обработки прямых измерений, который я описывал ранее. Сам же я, пожалуй, сделаю это на листочке, а сюда напишу сам ответ. Среднее значение энергии 433710,4 Дж. Промахов нет. Случайная погрешность = 4264,63 Дж. Однако сейчас настаёт момент, отличающийся от метода прямых измерений. Так как прибор, всё же, условный, приборной погрешности у него как таковой в чистом виде нет. Поэтому её необходимо вывести. В третьем шаге этими займёмся. Здесь мы уже отчасти перекликаемся с методом переноса погрешностей. Первым делом надо взять частные производные по всем переменным. Детали я прописывать с вашего позволения не буду, поэтому сразу запишу итог. Теперь для каждого из значений функции нужно определить приборную погрешность. Для этого, обозначим , … , ) ,…, , … , = ( , … , аналогично методу переноса погрешностей. Затем надо, идентичным образом, умножить эту новую «переменную» на приборную погрешность переменной, по которой мы берём производную, … И затем просто суммируем их+ ⋯ +Однако значение может быть и отрицательным, атак как второй степени, которая этот минус погасит тут нет, значит, со звуками облегчающейся жизни, ставим переменные под модуль | | + ⋯ + | | . Теперь, если подставить значения , мы получим большое выражение , … , ) ,…, + ⋯ + ( , … , Как вы также помните, есть функции, беря производную от логарифма которых можно получить гораздо более простые выражения. Так вот, тут такое правило тоже работает. Формула будет почти полностью эквивалентна (как и обозначения переменных для частных производных с подставленными значениями ( , … , ) ,…, ; = | | + ⋯ + | | ; = ln ( , … , ) ,…, + ⋯ + ln ( , … , Наши производные красивы и без ваших логарифмов, поэтому подставляем в простую формулу и получаем 2 + | | Тогда для наших значений мс 1 кг + 1120 кг ∙ мс мс Дж мс 1 кг + 1119 кг ∙ мс мс Дж мс 1 кг + 1121 кг ∙ мс мс Дж мс 1 кг + 1121 кг ∙ мс мс Дж мс 1 кг + 1119 кг ∙ мс мс Дж, теперь осталось совсем немножко 18 4. Делаем героическое усилие и на четвёртом шаге вычисляем среднее значение приборной погрешности. Делается это на запросто+ ⋯ +или, записывая умным математическим языком, = 1 В нашем примере, это выглядит так Предвкушая последний рывок, подставляем числа Дж + 32068,145 Дж + 31205,625 Дж + 31205,625 Дж + 31792,82 Дж 31554,335 Дж. Последний. Расчётный. Шаг. Пятый. Полная погрешность в выборочном методе, опять же, считается без квадратов = ∆ + Просто сумма И всё. ∆ = ∆ + ; ∆ = 4264,63 Дж + 31554,335 Дж = 35818,965 Дж. Записываем ответ в форме ± ∆ Для энергии авто из примера ∆ , = 433710,4 ± 35818,965 Дж. После побора более удобных степеней у единицы измерения и округления, получаем кДж. Ликуем. 7. Шаг с таблицей полностью идентичен образец помещу в конце. Но нужна она, скорее всего, не будет Таблица с основными коэффициентами для расчёта погрешностей и проверок на промахи Таблица 1. Форма для внесения данных обработки косвенных измерений методом переноса погрешностей. Прошу заметить, что это образец, вы можете менять некоторые обозначения, разумеется, обязаны менять обозначения переменных на ваши итак далее. Более того, если используете метод в лабе, НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ эту табличку. Там гораздо проще и правильнее построить самим, какая будет больше удовлетворять условиям работы Таблица 2. Форма для внесения данных обработки косвенных измерений выборочным методом. Повторюсь, что это образец, вы можете менять некоторые обозначения, разумеется, обязаны менять обозначения переменных на ваши итак далее. Более того, если используете метод в лабе, НЕ ИСПОЛЬЗУЙТЕ эту табличку. Там гораздо проще и правильнее построить самим, какая будет больше удовлетворять условиям работы |