Площадь криволинейной трапеции
![]()
|
Задания по теме «Площадь криволинейной трапеции» Учитель математики высшей квалификационной категории МОУ Левобережной СОШ г.Тутаева Борисова Елена Леонидовна Пример 1 Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы ![]() ![]() ![]() Значит, нижний предел интегрирования ![]() ![]() Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж: ![]() А теперь рабочая формула: Если на отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке ![]() ![]() ![]() Завершение решения может выглядеть так: Искомая фигура ограничена параболой ![]() ![]() На отрезке ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() ![]() ![]() Решение: Сначала выполним чертеж: ![]() Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом! Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно: 1) На отрезке ![]() ![]() ![]() 2) На отрезке ![]() ![]() ![]() Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому: ![]() Ответ: ![]() Пример 3
Пример 4 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() Решение: Представим уравнения в «школьном» виде ![]() ![]() ![]() Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: ![]() Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ![]() ![]() В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически. Найдем точки пересечения прямой ![]() ![]() Для этого решаем уравнение: ![]() ![]() ![]() ![]() Действительно, ![]() Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые. На отрезке ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 5 Вычислить S фигуры, ограниченной линиями у = (х + 2)2, х = 0, у = 0. Решение: АОВ – криволинейный треугольник или криволинейная трапеция. (рис 10.)
Ответ: ![]() Пример 6 Найти S фигуры, ограниченной параболой у = х2 + 1 и прямой у = х + 3. Решение: Построим в одной системе координат графики данных функций. 1) у = х2 + 1, х0 = 0, у0 = 0.
2) у = х + 3 3) х2 + 1 = х + 3
II способ. SАВСД = F(2) – F(-1), F(x) = ![]() Ответ: Sф = 4,5. Пример 7:
Пример 8 Найти S фигуры, ограниченной линиями f1(x) = x2; f2(x) = 2x – x2 .
2) Найдем абсциссы точек пересечения этих линий х2 = 2x – x2 2x2 – 2х = 0 х = 0, х = 1 3) Найдем площадь фигуры F2(x) = x2 – ![]() S2 = F(1) – F(0) = ![]() F1(x) = ![]() ![]() 4) Sф = S2 – S1 = ![]() Ответ: Sф = ![]() Пример 9
Пример 10 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() ![]() ![]() Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ![]() Решение: Выполним чертеж: ![]() На отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе, приближенно. Пример 11 : Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() .Решение: Выполним чертеж: На отрезке ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 12: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ![]() ![]() Решение: Выполним чертеж. ![]() На отрезке ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() Используемые ресурсы: https://infourok.ru/samostoyatelnaya-rabota-po-teme-neopredelenniy-integral-klass-761699.html http://festival.1september.ru/articles/566339/ http://school-collection.edu.ru/catalog/rubr/8a790bee-ba9d-4b2b-9c3a-6e370cc2df5b/113019/? ЕГЭ: 4000 задач с ответами по математике. Все задания «Закрытый сегмент». Базовый и профильный уровни /И.В.Ященко, И.Р.Высоцкий, А.В.Забелин и др.; под редакцией И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2016. – 640 с. (Серия «Банк заданий ЕГЭ») Математика. ЕГЭ – 2013: экспресс – курс для подготовки к экзамену/ Дмитрий Гущин. – М, : Издательский дом «Учительская газета», 2013. – 256 с. (Библиотечка «Учительской газеты». Готовимся к ЕГЭ с лучшими учителями России |