вычеслительная математика. Вычеслительная математика. Почта
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
10.01.2022
Лекция 1(конспект) Вычислительная математика Концепция итерационных вычислений в вычислительной математике на примере: Решение алгебраических и трансцендентных уравнений В практике вычислений приходится решать уравнения вида f(x) = 0, где f(x) определена на некотором конечном или бесконечном интервале (a, b). Если f(x) — многочлен, то f(x) =0 — алгебраическое уравнение, иначе f(x) = 0 — трансцендентное уравнение. Всякое значение x* такое, что f(x*)  0, называется корнем, а способ нахождения этого x* и есть решение уравнения.Этапы решения: Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен один и только один корень уравнения. Вычисление корней с заданной точностью. Комментарий 1. Для выделения областей, в которых находятся действительные корни уравнения, можно воспользоваться тем, что если на концах отрезка непрерывная функция f(x) принимает значение разных знаков, то на этом отрезке f(x) = 0 имеет хотя бы один корень. Для выделения областей, содержащих один и только один корень можно воспользоваться, например, графическим способом. Комментарий 2. Для решения 2-й задачи существуют многочисленные методы: метод итераций, метод Ньютона, метод половинного деления и т.д. Считаем, что нам известен отрезок  , внутри которого существует и располагается один и только один из корней уравнения.Уравнение f(x) =0 представим в виде x =  ,то есть f(x) = x- = 0.В общем случае:  , то есть  или  , где  = const.Выберем на отрезке  произвольную точку x0 — нулевое приближение, а далее в качестве следующего приближения:x1=  ,x2=  ,… xn=  .Процесс последовательного вычисления чисел xn (n=1, 2, …) по формуле xn= называется методом итераций.Если на , содержащем корень x = x* , а так же его последовательные приближения x0, x1,…,xn, вычислимые по методу итераций, выполнено условие  , то процесс итераций сходится, то есть увеличивая n, можно получить приближение, сколь угодно мало отличающееся от истинного значения корня x*.Процесс итераций следует продолжать до тех пор, пока для 2-х последовательных приближений xn-1 и xn не будет обеспечено выполнение неравенства  , где  — заданная погрешностьЕсли g  0.5, то  и можно ограничиться  .Итак, |  |<1 : — докажем сходимость.Действительно : пусть x* — корень, то есть x* =  — с одной стороны, xn = — схема итераций.xn-x* =  xn-x* =  Используем теорему о среднем значении: если непрерывна на [ ], то существует точка а, такая, что  , где а . Или  . Пусть m = max , где x {x0, x1, x2, …, xn}  | xn-x* | m| xn-1-x* || xn-1-x* | m| xn-2-x* | | xn--x* | m2| xn-2-x* || xn-x* | mk| xn-k-x* |Если k = n, то | xn--x* | mn| x0-x* |Если m<1, то с ростом n: xn  x*При | |>1 |xn – x*| неограниченно растет! расходится   сходится   сходится   расходится  Для приведения уравнения к виду x = существует следующий способ:Пусть 0<m1 f’(x) M1, где m1 = min f’(x) на [ ]M1 = max f’(x) на [ ](если f’<0, то вместо уравнения f(x) = 0 рассматриваем уравнение –f(x) = 0). Заменим уравнение f(x) = 0 эквивалентным ему уравнением x = x -  ( П  одберем параметр таким, чтобы выполнялось неравенство 0< , где x . Если  , то  , так как  . Тогда g =  , то есть условие сходимости выполняется.Пример: Sin·x + 0.25 – x = 0 f(x) = Sin·x + 0.25 – x = 0; Так как x = , то x = Sin·x + 0.25Пусть x0 = 1.2; = 1 · 10-6 , тогда x* = 1.71230493 Function Sinus (t) Sinus = Sin (t) + 0.25 End Function ' /—//—//—//—//—//—//—// Sub Itera () Dim fi As Single Dim x As Single x = CSng( InputBox (“Задайте начальное приближение”) Metka: fi = sinus (x) if abs ( x- fi) < = 0.000001 then MsgBox (x, 1, “Решение”) : goto Metka_1 End if x = fi goto Metka Metka_1: end Sub  Метод Ньютона – Рафсона  Уравнение имеет вид F(x) = 0 Запишем уравнение касательной к F(x) в точке x0: tg = F'(x0) =  y = F(x0) + F'(x0)(x-x0) Пусть y = 0 0 = F(x0) + F'(x0)( x1- x0), откуда x1 = x0 -  x2 = x1-  … xn = xn-1-  |xn- xn-1 | <  , где m1 = min |F'(x)| на [ ]M2 = max F''(x) на [ ]x0 выбирается так, что F(x0) · F''(x0)>0 Пример:  (извлечение корня степени N из числа A) ; ; ; N = 2;  N = 3;  Или  Лекция 2 (конспект) Вычислительная математика (Методы) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||