вычеслительная математика. Вычеслительная математика. Почта
 Скачать 1.21 Mb.
|
|
(для нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений) Усовершенствованный метод последовательный приближений  f(xn-1) = xn; f(xn) = xn+1 ∆x = xn-1 – xn = f(xn) - xn xn+1 = xn + ∆x, лучше взять xn+1 = xn + λ *∆x, λ>1 tg  =  t  g =  , где xn f'(  ) =  —известно, но можно принятьf'(  Геометрический процесс отыскания следующего приближения xn-1 сводится к тому, что проводится хорда через точки (xn, f(xn)) и (xn-1, f(xn-1)) и определяется точка ее пересечения с прямой y = x. Сходимость: 1) 0<f'(x)<1  1< < поправки ∆x малы, но 1< < увеличит их и сходимость улучшится 2) -1   поправки велики, а их уменьшит и метод сходится быстрее: поправки уменьшаются на коэффициент между   и 1.Расходится: 3) f'(x)>1  Т  ак как  , то в усовершенствованном методе знаки поправок изменяются нужным образом.4) f'(x)<-1 0< — расходится, так как поправки велики Каждая поправка умножается на коэффициент между 0 и и процесс расходится.Описанная модификация метода итераций принадлежит Векштейну (1958 г) Метод Ньютона – Рафсона Пусть xn  и     Если  , то метод сходится:  Так как f (x) = x, (F (x) = 0 = x – f (x)), то для x, близких к «a», (f (x) - x) – мало. Поэтому (1) сходится, если: 1)  выбрано близко к решению x = f (x)2) f ''(x) – не становится слишком большой. 3) f ' (x) не слишком близка к 1. Это и есть знаменитый метод Ньютона – Рафсона.  F (x) = x – f (x) = 0Или: 1) близко к корню F (x) = 02)  - не слишком большая3)  - не близка к нулю«3)» означает, что никакие два корня не находятся слишком близко один к другому. Геометрическое толкование. а)  , то есть равен углу наклона касательной к y = f (x) в точке   б)  Уравнение касательной:  Пусть     выбирать так, чтобы  Пример: F (x) = sinx – x + 0.15 = 0 на отрезке [0.5; 1] с погрешностью   То необходимо найти  чтобы  Это верно при = 1   на [0.5; 1]    Примечание: если  , то можно  1)  2)  3) Вычисляем  4) Проверяем  и так далее.Случай почти равных корней  (Масштаб сильно увеличен: на самом деле х0 очень близок к х1 ) Производная  близка к 1 при  На основании теоремы о среднем  Итерационный процесс осциллирует (колеблется) между  до бесконечности, не сходясь ни к одному значению корня. Другими словами – не удаётся отделить эти два корня, так как они расположены слишком близко один к другому.Трудности возникают, так как  Мейкон (1963) предложил метод, согласно которому сначала находят значение x, где  , то есть решается уравнение:  Пусть  - решение. Эта точка  Положим для начального приближения  Пусть  Разложим f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки   Так как  Пусть   Но по условию   Если  , так как надо решить уравнение   Сначала решаем:  Потом ищется:  Затем начальные приближения для  Если  , то это означает что  имеет более чем один корень вблизи  , тогда сначала решается уравнение , то это означает, что имеет более чем один корень .Метод хорд Каждое значение xn+1 находится как точка пересечения оси абсцисс с хордой, проведенной через точки F(a) и F(b) , причем одна из этих точек фиксируется — та, для которой F(x)·F''(x)>0. Если неподвижен конец хорды x = a, то xn+1 = xn -  Если неподвижен конец хорды x = b, то xn+1 = xn -  Если |xn+1 - xn|>  ,то в первом случае считаем b = xn+1, во втором a = xn+1 и повторяем вычисление.При использовании метода хорд полагается, что корень находится на отрезке [a,b]. Метод секущих (графическая иллюстрация) |