Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений

Название	Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений
Дата	31.03.2023
Размер	386.38 Kb.
Формат файла
Имя файла	NLU_Interp_MNK_LAB (1).docx
Тип	Лабораторная работа #1028845
страница	1 из 4

1 2 3 4

Лабораторная работа №1

по теме
«Методы решения нелинейных уравнений»

1.1. Вопросы, подлежащие изучению

Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.
Этапы численного решения уравнения.
Аналитический и графический методы отделения корней.
Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.
Сходимость метода итерации, выбор начального приближения, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.
Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.
Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.
Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.
Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

1.2. Общее задание

Выбрать индивидуальное задание из табл. 1-1:

нелинейное уравнение;
методы решения нелинейного уравнения для выполнения 3-х итераций;

Отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом с использованием средств пакета Scilab.
Для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения:

проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;
выбрать начальное приближение к корню;
сформулировать условие окончания этапа уточнения корня.

С использованием итерационной формуле 1-го заданного методу провести расчет трех итераций с использованием средств мат. пакета. Результаты расчета свести в табл. 1-2.
Оценить погрешность результата после 3-х итераций.
Для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10^-4, создав программу, реализующую заданный метод. Произвести расчет, а результаты решений свести в табл. 1-2.
Найти решение нелинейного уравнения на отделенном отрезке с использованием функции fsolve пакета Scilab.

1.3. Варианты задания

Таблица 1-1

№	Уравнение	1-й метод	2-й метод	№	Уравнение	1-й метод	2-й метод
1	x - cos(x / 3) = 0	1	4	16	sin(1 – 0.2x²) – x = 0	3	4
2	x + ln(4x) – 1 = 0	3	1	17	e^x – e^-x – 2 = 0	2	1
3	e^x – 4 e^-^x – 1 = 0	2	4	18	x – sin(1 / x) = 0	4	1
4	x e^x – 2 = 0	3	2	19	e^x + ln(x) – x = 0	1	2
5	4 (x² + 1) ln(x) – 1 = 0	1	3	20	1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0	1	3
6	2 – x – sin(x / 4) = 0	4	1	21	(1–x)^1/2–cos(1–x) = 0	4	1
7	x² + ln(x) – 2 = 0	1	2	22	sin(x²)+cos(x²)–10x = 0	3	2
8	cos(x)–(x + 2)^1/2 + 1 = 0	2	3	23	x² – ln(1 + x) – 3 = 0	2	3
9	4 (1 + x^1/2) ln(x) – 1 = 0	2	1	24	cos(x / 2) ln(x – 1) = 0	1	2
10	5 ln(x) – x^1/2 = 0	2	3	25	cos(x/5) (1+x)^1/2–x = 0	1	3
11	e^x + x³ – 2 = 0	1	4	26	3x – e^-x = 0	4	2
12	3 sin (x^1/2) + x – 3 = 0	3	1	27	4(1+x^1/2) ln(x)–10 = 0	1	3
13	0.1x² – x ln(x) = 0	1	4	28	sin(x)–3^1/2cos(x)+4x–4 = 0	3	4
14	cos(1 + 0.2x²) – x = 0	1	3	29	x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0	1	3
15	3 x – 4 ln(x) – 5 = 0	1	2	30	0.25x³ + cos(x / 4) = 0	4	2

В табл. 1-1 номера методов: 1 – половинное деление;2 – итерации;3 – Ньютона; 4 – хорд.

1.4. Содержание отчета

Индивидуальное задание (уравнение, методы для выполнения 3-х итераций).
Результат отделения корней (график функции, таблица значений функции и её производных, вывод об отделённом отрезке, содержащем один корень).
Результаты исследования функции уравнения для проведения расчетов. Привести для каждого метода:

условие сходимости вычислительного процесса;
начальное приближение;
условие окончания этапа уточнения корня.

В сценарии мат. пакета создать функции для проведения расчета 1-м методом. Результаты расчета по каждому методу свести в табл. 1-2.

Таблица 1-2

к	x	f(x)
1
2
3
4

Оценки погрешностей результатов расчетов после 3-х итераций с использованием формулы, соответствующего метода.
Создать программу для решения уравнения 2-м заданный методом с точностью 10^-4. Построить график зависимости количества итераций от точности в логарифмическом масштабе.Решение нелинейного уравнения с использованием функции fsolve.

1.5. Пример выполнения задания с использованием мат. пакета MathCad

Решить уравнение ;
методы решения нелинейных уравнений – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

Этап отделения корней.

Используем для этого математический пакет MathCad. Отделение корней произведем как графическим методом (график функции), так и аналитически (таблица).

Рис.1. Графическое и аналитическое отделение корней уравнения.
Из построенного графика функции f(x) видно, что на отрезке (0, 1) есть один корень. На этом графический способ отделения корней заканчивается.

Другой вариант отделения корня – решить задачу аналитически.

Для аналитического отделения корня построена таблица рис.1. Она требует пояснений. В столбцах таблицы выведены некоторые значения аргумента x на заданном отрезке, а также значения функций f(x),

при этих значениях x.

Видно, что на отрезке (0, 1) функция f(x) меняет знак, значит существует, по крайней мере, один корень.

Значения первой производной

в заданных точках отрезка (0, 1) не меняет знак, что вызывает некоторую надежду о том, что

не меняет знак на всем отрезке (0, 1), но делать вывод об этом не совсем корректно с точки зрения математики. Однако анализ аналитического выражения

= –sin(x)–3 приводит к выводу, что

<= -2 при любых значениях x. А это значит, что

отрицательно на всем отрезке (0, 1), и уже из этого следует, что на отрезке (0, 1) функция f(x) монотонна и имеет один корень.

Значения первой и второй производной

на отрезке (0, 1) из таблицы рис.1 будут использованы в методах Ньютона, хорд и итераций.
Этап уточнения корня

Метод половинного деления

Исследование задания

Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f′(x)<0), то условие сходимости выполняется.
Выберем за начальное приближение середину отрезка

=0.5.

Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие

|bn – an|<ε , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности -

Результаты «ручного расчета» трех итераций

1 итерация

f(x0)=0.377

следовательно,

2 итерация

f(x1)=-0.5

следовательно,

3 итерация

f(x2)=-0.064

следовательно,

и т.д.

Рис.2. Три итерации метода половинного деления

Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2а.

n	an	bn	f(an)	f(bn)	(an+bn)/2	f( (an+bn)/2)	bn-an
0	0	1	2	-1.459	0.5	0.377	1
1	0.5	1	0.377	-1.459	0.75	-0.518	0.5
2	0.5	0.75	0.377	-0.518	0.625	-0.064	0.25
3	0.5	0.625					0.125

После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [a3, b3] – x3=0.5625.

Оценка погрешности результата после трех итераций: R = | b3 – a3 | = 0.125.

Это значит, что x3 отличается от неизвестного точного значения корня не больше чем на величину R = 0.125.
Метод простых итераций

1) Исследование задания.

Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса простых итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.

Приведем уравнение

к виду x = (cos(x)+1)/3 и проведем исследование.

В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую/итерационную функцию

в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда

целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию j(x) = х + lf(x), где параметр

может быть определен по правилу: l =

, а в знаменатель следует подставить (x), у которого то есть

l =

Тогда рекуррентная формула: φ(x)= x + (1 - 3x + cos x)/3.841.
2) «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой:

Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2б.

к	X_к	f(x_к)
0	0	2
1	0.667	-0.214
2	0.595	0.042
3	0.609	-7.95 • 10^-3

Сходимость итерационного процесса подтверждается принадлежностью всех

выбранному исходному отрезку изоляции корня [0;1] и стремлением f(

) к нулю.

Получим оценку погрешности результата после трех итераций:

Метод хорд

1) Исследование задания.

Необходимые и достаточные условия сходимости аналогичны методу Ньютона, а именно:

непрерывна на [a;b] и

;

отличны от нуля и сохраняют знаки для

.

В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.

На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная

<0 на отрезке [0;1] и, следовательно, неподвижной точкой является точка = b = 1, так как

.

Таким образом, полагая

= a= 0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

Оценку погрешности можно проводить по любой из формул или , где m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения на отрезке. В случае, если M1

2) Расчет трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

= 0.

Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:

n	Xn	f(xn)
0	0	2
1	0.5781	0.10325
2	0.6059	4.0808 •10-3
3	0.60706	1.59047•10-4

3) Оценку погрешности результата, вычисленного методом хорд, получим по формуле

. Тогда после трех итераций

|

| <=

Метод Ньютона

1) Исследование задания.

Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:

непрерывна на [a;b] и

;

отличны от нуля и сохраняют знаки для

.

В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.

Начальное приближение должно удовлетворять условию: , т.е. за начальное приближение следует принять тот конец отрезка, где знак функции и знак второй производной совпадают. Поскольку < 0 и < 0, то выберем начальное приближение к корню: =1.