Главная страница

Лабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений


Скачать 386.38 Kb.
НазваниеЛабораторная работа 1 по теме Методы решения нелинейных уравнений
Дата31.03.2023
Размер386.38 Kb.
Формат файлаdocx
Имя файлаNLU_Interp_MNK_LAB (1).docx
ТипЛабораторная работа
#1028845
страница1 из 4
  1   2   3   4

Лабораторная работа №1

по теме
«Методы решения нелинейных уравнений»




1.1. Вопросы, подлежащие изучению


  1. Постановка задачи численного решения нелинейных уравнений.

  2. Этапы численного решения уравнения.

  3. Аналитический и графический методы отделения корней.

  4. Уточнение корня методами половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

  5. Графическая иллюстрация методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

  6. Условие окончания вычислений при использовании методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.

  7. Сходимость метода итерации, выбор начального приближения, правило выбора итерирующей функции и оценка погрешности метода итерации.

  8. Теорема о сходимости метода Ньютона и оценка погрешности метода.

  9. Правило выбора неподвижной точки, начальной точки и условие сходимости метода хорд.

  10. Условия окончания вычислений в методах итерации, Ньютона и хорд.

  11. Сравнение методов половинного деления, итерации, Ньютона и хорд.



1.2. Общее задание


  1. Выбрать индивидуальное задание из табл. 1-1:

  • нелинейное уравнение;

  • методы решения нелинейного уравнения для выполнения 3-х итераций;

  1. Отделить корни заданного уравнения графическим и аналитическим методом с использованием средств пакета Scilab.

  2. Для каждого из заданных методов провести исследование функции нелинейного уравнения:

  • проверить выполнение условий сходимости вычислительного процесса, в случае расходящегося процесса – сделать необходимые преобразования для обеспечения сходимости;

  • выбрать начальное приближение к корню;

  • сформулировать условие окончания этапа уточнения корня.

  1. С использованием итерационной формуле 1-го заданного методу провести расчет трех итераций с использованием средств мат. пакета. Результаты расчета свести в табл. 1-2.

  2. Оценить погрешность результата после 3-х итераций.

  3. Для 2-го заданного метода выполнить решение уравнения с точностью 10-4, создав программу, реализующую заданный метод. Произвести расчет, а результаты решений свести в табл. 1-2.

  4. Найти решение нелинейного уравнения на отделенном отрезке с использованием функции fsolve пакета Scilab.



1.3. Варианты задания


Таблица 1-1



Уравнение

1-й метод

2-й метод



Уравнение

1-й метод

2-й метод

1

x - cos(x / 3) = 0

1

4

16

sin(1 – 0.2x2) – x = 0

3

4

2

x + ln(4x) – 1 = 0

3

1

17

ex – e-x – 2 = 0

2

1

3

ex – 4 e-x – 1 = 0

2

4

18

x – sin(1 / x) = 0

4

1

4

x ex – 2 = 0

3

2

19

ex + ln(x) – x = 0

1

2

5

4 (x2 + 1) ln(x) – 1 = 0

1

3

20

1–x+sin(x)–ln(1+x) = 0

1

3

6

2 – x – sin(x / 4) = 0

4

1

21

(1–x)1/2–cos(1–x) = 0

4

1

7

x2 + ln(x) – 2 = 0

1

2

22

sin(x2)+cos(x2)–10x = 0

3

2

8

cos(x)–(x + 2)1/2 + 1 = 0

2

3

23

x2 – ln(1 + x) – 3 = 0

2

3

9

4 (1 + x1/2) ln(x) – 1 = 0

2

1

24

cos(x / 2) ln(x – 1) = 0

1

2

10

5 ln(x) – x1/2 = 0

2

3

25

cos(x/5) (1+x)1/2–x = 0

1

3

11

ex + x3 – 2 = 0

1

4

26

3x – e-x = 0

4

2

12

3 sin (x1/2) + x – 3 = 0

3

1

27

4(1+x1/2) ln(x)–10 = 0

1

3

13

0.1x2 – x ln(x) = 0

1

4

28

sin(x)–31/2cos(x)+4x–4 = 0

3

4

14

cos(1 + 0.2x2) – x = 0

1

3

29

x – 1 / (3 + sin(3.6x)) = 0

1

3

15

3 x – 4 ln(x) – 5 = 0

1

2

30

0.25x3 + cos(x / 4) = 0

4

2


В табл. 1-1 номера методов: 1 – половинное деление;2 – итерации;3 – Ньютона; 4 – хорд.

1.4. Содержание отчета


  1. Индивидуальное задание (уравнение, методы для выполнения 3-х итераций).

  2. Результат отделения корней (график функции, таблица значений функции и её производных, вывод об отделённом отрезке, содержащем один корень).

  3. Результаты исследования функции уравнения для проведения расчетов. Привести для каждого метода:

  1. В сценарии мат. пакета создать функции для проведения расчета 1-м методом. Результаты расчета по каждому методу свести в табл. 1-2.

Таблица 1-2

к

x

f(x)

1







2







3







4










  1. Оценки погрешностей результатов расчетов после 3-х итераций с использованием формулы, соответствующего метода.

  2. Создать программу для решения уравнения 2-м заданный методом с точностью 10-4. Построить график зависимости количества итераций от точности в логарифмическом масштабе.Решение нелинейного уравнения с использованием функции fsolve.



1.5. Пример выполнения задания с использованием мат. пакета MathCad





  • Решить уравнение ;

  • методы решения нелинейных уравнений – половинного деления, итерации, Ньютона и хорд;

Этап отделения корней.

Используем для этого математический пакет MathCad. Отделение корней произведем как графическим методом (график функции), так и аналитически (таблица).












Рис.1. Графическое и аналитическое отделение корней уравнения.
Из построенного графика функции f(x) видно, что на отрезке (0, 1) есть один корень. На этом графический способ отделения корней заканчивается.

Другой вариант отделения корня – решить задачу аналитически.

Для аналитического отделения корня построена таблица рис.1. Она требует пояснений. В столбцах таблицы выведены некоторые значения аргумента x на заданном отрезке, а также значения функций f(x), при этих значениях x.

Видно, что на отрезке (0, 1) функция f(x) меняет знак, значит существует, по крайней мере, один корень.

Значения первой производной в заданных точках отрезка (0, 1) не меняет знак, что вызывает некоторую надежду о том, что не меняет знак на всем отрезке (0, 1), но делать вывод об этом не совсем корректно с точки зрения математики. Однако анализ аналитического выражения = –sin(x)–3 приводит к выводу, что <= -2 при любых значениях x. А это значит, что отрицательно на всем отрезке (0, 1), и уже из этого следует, что на отрезке (0, 1) функция f(x) монотонна и имеет один корень.

Значения первой и второй производной на отрезке (0, 1) из таблицы рис.1 будут использованы в методах Ньютона, хорд и итераций.
Этап уточнения корня

Метод половинного деления

  1. Исследование задания

  • Метод половинного деления сходится, если на выбранном отрезке отделен один корень. Так как на отрезке [0;1] функция меняет знак ( ) и монотонна (f′(x)<0), то условие сходимости выполняется.

  • Выберем за начальное приближение середину отрезка

=0.5.

  • Условие окончания процесса уточнения корня. Для оценки погрешности метода половинного деления справедливо условие

|bn – an|<ε , т.е. длина отрезка, полученного на n-ом шаге должна быть меньше заданной точности -

  1. Результаты «ручного расчета» трех итераций






1 итерация

f(x0)=0.377



следовательно,
2 итерация

f(x1)=-0.5



следовательно,
3 итерация



f(x2)=-0.064



следовательно,

и т.д.

Рис.2. Три итерации метода половинного деления

Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2а.

n

an

bn

f(an)

f(bn)

(an+bn)/2

f( (an+bn)/2)

bn-an

0

0

1

2

-1.459

0.5

0.377

1

1

0.5

1

0.377

-1.459

0.75

-0.518

0.5

2

0.5

0.75

0.377

-0.518

0.625

-0.064

0.25

3

0.5

0.625













0.125

После трех итераций приближение к корню – середина отрезка [a3, b3] – x3=0.5625.

Оценка погрешности результата после трех итераций: R = | b3 – a3 | = 0.125.

Это значит, что x3 отличается от неизвестного точного значения корня не больше чем на величину R = 0.125.
Метод простых итераций

1) Исследование задания.

  • Приведем уравнение f(x)=0 к виду . Тогда рекуррентная формула . Для сходимости процесса простых итерации необходимо, чтобы при . Если то сходимость не обеспечена.

Приведем уравнение к виду x = (cos(x)+1)/3 и проведем исследование.





В приведенном примере условие сходимости выполняется и можно использовать итерирующую/итерационную функцию в рекуррентной формуле для уточнения корня методом итераций, что и будет показано ниже. Однако, в случаях, когда свободный х выразить не удается, или когда целесообразно воспользоваться следующим приемом, позволяющим обеспечить выполнение условий сходимости.

Построим функцию j(x) = х + lf(x), где параметр может быть определен по правилу: l = , а в знаменатель следует подставить (x), у которого то есть

l =

Тогда рекуррентная формула: φ(x)= x + (1 - 3x + cos x)/3.841.
2) «Ручной расчет» трех итераций

Для получения решения уравнения методом итерации необходимо воспользоваться следующей рекуррентной формулой: ,













Результаты вычислений представлены в форме табл. 1-2б.


к

Xк

f(xк)

0

0

2

1

0.667

-0.214

2

0.595

0.042

3

0.609

-7.95 • 10-3


Сходимость итерационного процесса подтверждается принадлежностью всех выбранному исходному отрезку изоляции корня [0;1] и стремлением f( ) к нулю.

Получим оценку погрешности результата после трех итераций:

Метод хорд

1) Исследование задания.

  • Необходимые и достаточные условия сходимости аналогичны методу Ньютона, а именно:

непрерывна на [a;b] и ;

и отличны от нуля и сохраняют знаки для .

В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.

На этапе отделения корня было показано, что для функции f(x)=1–3x+cosx вторая производная <0 на отрезке [0;1] и, следовательно, неподвижной точкой является точка = b = 1, так как .

Таким образом, полагая = a= 0, получим сходящуюся последовательность приближений к корню.

В рассматриваемой задаче рекуррентная формула принимает следующий вид

= +

  • Оценку погрешности можно проводить по любой из формул или , где m1 и M1 – наименьшее и наибольшее значения на отрезке. В случае, если M1


2) Расчет трех итераций

Для получения решения уравнения методом хорд воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

= 0.




























Результаты вычислений представлены в виде следующей таблицы:

n

Xn

f(xn)

0

0

2

1

0.5781

0.10325

2

0.6059

4.0808 •10-3

3

0.60706

1.59047•10-4

3) Оценку погрешности результата, вычисленного методом хорд, получим по формуле
. Тогда после трех итераций

| - | <=
Метод Ньютона

1) Исследование задания.

  • Необходимые и достаточные условия сходимости метода Ньютона:

непрерывна на [a;b] и ;

и отличны от нуля и сохраняют знаки для .

В нашем случае на отрезке [0;1] требования сходимости выполняются.

  • Начальное приближение должно удовлетворять условию: , т.е. за начальное приближение следует принять тот конец отрезка, где знак функции и знак второй производной совпадают. Поскольку < 0 и < 0, то выберем начальное приближение к корню: =1.

2) Расчет трех итераций

Для получения решения уравнения методом Ньютона воспользуемся следующей рекуррентной формулой:

В нашем случае , =1.











Представим вычисления в виде следующей табл. 1-2б.


k

Xk

f(xk)

0

1

-1.4597

1

0.62

-0.046

2

0.607121

-6. 788 •10-5

3

0.60710164814

-1.484 •10-10


Оценим погрешность после трех итераций:



Сравните оценки погрешности методов после трех итераций. Представляется, что комментарии излишни.

  1   2   3   4


написать администратору сайта