математика. Подготовлено на кафедре математики сунц ургу печатается по решению Ученого Со вета сунц урГУ протокол 10 от
 Скачать 281.3 Kb.
|
|
имеет хотя бы одно решение? 14. g(x) = |x − 1| . Функция f(x) определяется следующим образом: f (x) = { x + a, x < 1; −x 2 + x + a, x > 1. Найти все значения параметра a , при которых на отрезке [0, 2] уравнение f (x) = g(x) имеет единственное решение. 15. Для каждого значения параметра a определить число решений уравнения √ 2 |x| − x = a . 16. Известно, что f 1 (x) = √ x 2 − 2ax + a 2 + x и f 2 (x) = 6x − x 2 − 6 . а) Постройте график функции f 1 (x) при a = 1 . б) При каком значении a графики функций f 1 (x) и f 2 (x) имеют единственную общую точку? 1.13. Нестандартные задачи 1. Доказать, что если при некоторых целых значениях a , b и c число 3a + 5b + c делится нацело на 7 , то и число 11a + 9b + 13c также делится на 7 . 2. Доказать, что если при некоторых целых значениях a , b и c число 6a + 12b + 11c делится нацело на 17 , то и число a + 2b − c также делится на 17 . 1.13. Нестандартные задачи 31 3. Доказать, что произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 6. 4. Доказать, что произведение четырех последовательных натураль- ных чисел делится на 24. 5. Доказать, что трехзначное число aaa делится на 37. 6. Доказать, что сумма трех трехзначных чисел abc+cab+bca делится на 37 и на 3. 7. Доказать, что при делении квадрата целого числа на 3 в остатке никогда не может получиться 2. 8. Найти все такие простые числа p , что числа p + 2 и p + 4 также простые. 9. Найти все такие простые числа p , что числа 2p + 1 и 4p + 1 также простые. 10. Можно ли число 133 представить в виде суммы некоторых раз- личных натуральных чисел так, чтобы и произведение всех этих чисел было равно 133? 11. Какой цифрой оканчивается число 54 35 + 28 21 ? 12. Докажите, что n 5 + 4n делится на 5 при любом натуральном n . 13. Докажите, что n 3 − n делится на 24 при любом нечетном n . 14. Докажите, что число 12 42 + 9 42 делится на 15. 15. Докажите, что если p — простое число больше 3, то p 2 −1 делится на 24. 16. Найти все натуральные числа, на которые может быть сократима дробь 5l + 6 8l + 7 17. Докажите, что дробь 12 + 1 30n + 2 несократима ни при каком нату- ральном n . 18. Докажите, что уравнение x 5 y = xy 5 + 1987 не имеет решений в целых числах. 19. Найти все целочисленные решения уравнения x 2 = 79 + y 2 32 Глава 1. Алгебра 20. Найти все целочисленные решения уравнения x 3 + x 2 + x − 3 = 0 . 21. Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, кото- рые не делятся ни на 5, ни на 7? 22. Садовник должен рассадить деревья, число которых меньше 1000. Если он посадит их рядами по 37 штук, то у него останется 8 лишних деревьев; если же он посадит по 43 дерева в ряд, то у него останется 11 лишних деревьев. Сколько деревьев должен рассадить садовник? 23. Имеется две кучки камней: в одной — 1998, в другой — 2000. За ход разрешается убрать любое количество камней, но только из одной куч- ки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Докажите, что при игре вдвоем первый имеет выигрышную стратегию (т.е. для делающего первый ход можно написать конечный набор правил, следуя которым он обязательно выиграет). 24. В урне лежали белые и черные шары, их число не более 55. Число белых относилось к числу черных как 3 : 2 . После того, как из урны вынули 4 шара, оказалось, что соотношение белых и черных равно 4 : 3 . Сколько шаров лежало в урне? 25. Дано двузначное число. Если сумму квадратов его цифр разделить на сумму его цифр, то получится 4 и в остатке 1. Число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, составляет 208% данного числа. Найти данное число. 26. На празднике каждому ребенку было подарено по одинаковому количеству игрушек, причем число ирушек, подаренных каждому ребен- ку, было на 9 меньше общего числа детей. Если бы на празднике было 9 детей и каждому ребенку дарили на 1 игрушку больше, то прежнего количества игрушек не хватило. Сколько игрушек было подарено детям, если число детей на празднике было нечетным? 27. Двое выкладывают на круглый стол пятикопеечные монеты так, чтобы монеты не перекрывали друг друга. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход (т.е. на столе не осталось места для монеты). Докажите, что у первого игрока есть выиграшная стратегия. Глава 2 Геометрия 2.1. Вписанные углы, касательные, хорды 1. Пусть AB — диаметр окружности ω . Доказать, что точка C лежит на окружности ω (но не совпадает с точками A и B ) тогда и только тогда, когда b C = 90 ◦ 2. Доказать, что четырехугольник ABCD является вписанным в окружность тогда и только тогда, когда b A + b C = b B + b D = 180 ◦ 3. Из точки A , лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC , пересекающие эту окружность. Выразить величину угла BAC через уг- ловые величины дуг окружности, заключенных внутри этого угла. 4. Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Выразить величину угла BAC через угловые величины дуг окружности, заключен- ных внутри угла BAC и внутри угла, симметричному ему относительно вершины A . 5. Из точки P , расположенной внутри острого угла BAC , опуще- ны перпендикуляры P C 1 и P B 1 на прямые AB и AC . Доказать, что ∠C 1 AP = ∠C 1 B 1 P . 6. Треугольник ABC прямоугольный. На гипотенузе AB во внеш- нюю строну построен квадрат. Точка O — его центр. Доказать, что CO — биссектриса угла ACB . 7. Доказать, что биссектрисы углов любого четырехугольника обра- зуют вписанный четырехугольник. 34 Глава 2. Геометрия 8. Доказать, что во всяком треугольнике точки, симметричные с точ- кой пересечения высот относительно трех сторон треугольника, лежат на окружности, описанной около этого треугольника. 9. В треугольнике ABC проведены медианы AA 1 и BB 1 . Докажите, что если ∠CAA 1 = ∠CBB 1 , то AC = BC . 10. В окружность радиуса 1 вписан угол ABC , равный 30 ◦ . Чему равна хорда AC ? 11. Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена от- резком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH . Доказать, что ∠BAH = ∠OAC . 12. Две окружности пересекаются в точках M и K . Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C , вторую — в точках B и D . Доказать, что AC параллельна BD . 13. Через середину C дуги AB проводят две произвольные прямые, которые пересекают окружность в точках D, E и хорду AB — в точках F и G . Доказать, что четырехугольник DEGF может быть вписан в окружность. 14. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA 1 , BB 1 , CC 1 . Доказать, что эти высоты являются биссектрисами углов тре- угольника A 1 B 1 C 1 15. Две окружности пересекаются в точках A и B . Точка X лежит на прямой AB , но не на отрезке AB . Доказать, что длины отрезков касательных, проведенных из точки X к окружностям, равны. 16. Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Доказать, что радиус вписанной в этот треуголь- ник окружности равен 1/2(a + b − c) . 17. Пусть a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, c — длина его гипотенузы. Доказать, что радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений катетов, равен (a + b + c)/2 . 18. Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окруж- ность тогда и только тогда, когда AB + CD = AD + BC . 2.1. Вписанные углы, касательные, хорды 35 19. Прямые AB и AC — касательные к окружности с центром в точке O ( B и C — точки касания). Выбирается произвольная точка X дуги BC . Через X проведена касательная, пересекающая AB и AC в точках M и N . Доказать, что периметр треугольника AM N не зависит от выбора точки X . 20. В четырехугольнике ABCD стороны BC и AD параллельны. Точки A , C и D расположены на окружности, касающейся AB и CB . Угол ABC равен 120 ◦ , а высота в треугольнике ACD , опущенная на строну AD , равна 1 . Найти длину отрезка CD . 21. В равнобедренный треугольник с основанием 12 см вписана окруж- ность, и к ней проведены три касательные так, что они отсекают от дан- ного треугольника три малых треугольника. Сумма периметров малых треугольников равна 48 см. Найти боковую сторону данного треугольни- ка. 22. В треугольник с периметром, равным 20 см, вписана окружность. Отрезок касательной, проведенной к окружности параллельно основа- нию, заключенный между сторонами треугольника, равен 2,4 см. Найти основание треугольника. 23. В треугольник со сторонами 6, 10, 12 см вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что она пересекает две б´ ольшие стороны. Найти периметр отсеченного треугольника. 24. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол. К этим окруж- ностям проведена общая внутренняя касательная. Обозначим точки пе- ресечения этой касательной со сторонами угла через A 1 и A 2 , а точки касания — через B 1 и B 2 . Доказать, что A 1 B 1 = A 2 B 2 25. Две непересекающиеся окружности вписаны в угол. Через две точ- ки касания окружностей со сторонами угла, лежащие на разных сторонах этого угла и на разных окружностях, проведена прямая. Доказать, что эта прямая высекает на окружностях хорды равной длины. 26. Центр O данной окружности радиуса R соединен с точкой C , произвольно взятой на хорде AB . Доказать, что OC 2 + AC · BC = R 2 . 36 Глава 2. Геометрия 27. Катеты прямоугольного треугольника равны 10 и 24. Окружность, проходящая через середины гипотенузы и меньшего катета, касается дру- гого катета. Найдите длину хорды этой окружности, высекаемой на мень- шем катете. 2.2. Вписанная и описанная окружности. Теорема Пи- фагора. Теорема синусов 1. Доказать, что множеством всех точек плоскости, находящихся внут- ри угла BAC и равноудаленных от его сторон является биссектриса это- го угла. Выведите отсюда существование и единственность вписанной в данный треугольник окружности. 2. Доказать, что множеством всех точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка AB является серединный перпендикуляр этого отрез- ка. Выведите отсюда существование и единственность описанной около данного треугольника окружности. 3. Доказать основное тригонометрическое тождество. 4. Найти значения sin 45 ◦ , cos 45 ◦ , sin 30 ◦ , cos 30 ◦ , sin 60 ◦ , cos 60 ◦ 5. В треугольнике ABC углы A и B равны соответственно 45 ◦ и 60 ◦ . Длина стороны BC равна 12 . Найти длину стороны AB и радиус описанной около ABC окружности. 6. В треугольнике ABC углы A и B равны соответственно 30 ◦ и 45 ◦ . Длина стороны BC равна 3 . Найти длину стороны AB и радиус описанной около ABC окружности. 7. В треугольнике ABC известно: AB = BC = a и AC = b . Найти радиус описанной около ABC окружности. 8. На основании AC равнобедренного треугольника ABC произволь- но выбрана точка D . Доказать, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABD и CBD равны. 9. Пусть M — середина стороны AB треугольника ABC . Докажите, что CM = AB/2 тогда и только тогда, когда [ ACB = 90 ◦ 2.3. Равенство и подобие треугольников. Медианы треугольника 37 10. ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и острым углом при вершине B , CD — биссектриса угла C . Через точку D прове- дена прямая, перпендикулярная биссектрисе CD . Эта прямая пересекает продолжение основания AC в точке E . Докажите, что AD = EC/2 . 11. В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM . Найти угол M BC . 12. Внутри угла в 60 ◦ расположена точка, отстоящая на расстояниях √ 7 и 2 √ 7 от сторон угла. Найти расстояние от этой точки до вершины угла. 13. В острый угол, равный 60 ◦ , вписаны две окружности, извне каса- ющиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен r . Найти радиус большей окружности. 14. Из точки P , лежащей внутри треугольника ABC , опущены пер- пендикуляры P A 1 , P B 1 , P C 1 на стороны BC , AC , AB соответствен- но. Докажите, что длины сторон треугольника A 1 B 1 C 1 равны a · P A 2R , b · P B 2R , c · P C 2R 15. Даны квадрат ABCD и точка O . Известно, что OB = OD = 13 , OC = 5 √ 2 и что площадь квадрата больше, чем 225 . Найти длину стороны квадрата. 16. Найти катеты прямоугольного треугольника, в котором один из острых углов равен 15 ◦ , а гипотенуза равна 1 . 17. Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного парал- лелепипеда, равны a , b , c . Найти длину диагонали этого параллелепи- педа. 2.3. Равенство и подобие треугольников. Медианы тре- угольника 1. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH . Докажите, что AC 2 = AB · AH и CH 2 = AH · BH . 2. На стороне BC треугольника ABC взята точка A 1 так, что BA 1 : A 1 C = 2 : 1 . В каком отношении медиана CC 1 делит отрезок AA 1 ? 38 Глава 2. Геометрия 3. Биссектриса AD треугольника ABC пересекает описанную окруж- ность в точке P . Докажите, что треугольники ABP и BDP подобны. 4. В треугольник ABC вписан квадрат P QRS так, что вершины P и Q лежат на сторонах AB и AC , а вершины R и S — на стороне BC . Выразите длину стороны квадрата через a и h a 5. На стороне AC треугольника ABC произвольно выбрана точка K . Средняя линия треугольника, параллельная AC , пересекает отрезок BK в точке L . Найти отношение BL : LK . 6. Основания трапеции равны a и b . а) Найти длину отрезка, высе- каемого диагоналями на средней линии. б) Найти длину отрезка, высека- емого боковыми сторонами трапеции на прямой, проходящей через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно основаниям. 7. Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Для каких четырехугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом? 8. Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу вели- чиной 60 ◦ . На этой дуге взята точка M . Докажите, что прямая, прохо- дящая через середины отрезков M A и OB , перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков M B и OA . 9. Площадь треугольника ABC равна S . Найти площадь треуголь- ника, образованного средними линиями данного треугольника. 10. Доказать, что две медианы делят друг друга в отношении 2 : 1 , начиная от вершины. 11. Доказать, что медианы пересекаются в одной точке. 12. Доказать, что медиана делит площадь треугольника пополам. 13. Доказать, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников. 14. Две стороны треугольника равны 6 и 8. Медианы, проведенные к этим сторонам взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону тре- угольника. 2.4. Площадь треугольника. Формула Герона 39 15. Из произвольной точки A , лежащей вне окружности ω проведены касательная AB и секущая AD (точки B и D лежат на ω ). Секущая AD пересекает ω еще в одной точке — C . Доказать, что AB 2 = AC ·AD . 16. Через произвольную точку O , лежащую внутри окружности |