математика. Подготовлено на кафедре математики сунц ургу печатается по решению Ученого Со вета сунц урГУ протокол 10 от
 Скачать 281.3 Kb.
|
|
21 16. Длины сторон четырехугольника образуют арифметическую про- грессию. Можно ли в него вписать окружность? 17. В арифметической прогрессии сумма m первых ее членов равна сумме n ее первых членов ( m ̸= n ). Доказать что в этом случае сумма первых ее n + m членов равна нулю. 18. Пусть a 1 , . . . , a n+1 — члены арифметической прогрессии, ни один из которых не равен нулю. Доказать, что справедливо тождество 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + . . . + 1 a n a n+1 = n a 1 a n+1 . 19. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 13, а их произведение равно 27. Найти эти числа. 20. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 13, а сумма квадратов тех же чисел равна 91. Найти эти числа. 21. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести ее первых членов рана 1820. 22. В геометрической прогрессии с положительными членами S 2 = 4 , S 3 = 13 . Найти S 4 23. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 16, а сумма квадратов ее членов равна 153 3 5 . Найти четвертый член и знаменатель прогрессии. 24. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192 . Найти первый член и знаменатель прогрессии. 25. Сторона квадрата равна a . Середины сторон этого квадрата со- единили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом посту- пили так же, как и с исходным, и т.д. Найти сумму периметров этих квадратов. 26. Сторона квадрата равна a . Середины сторон этого квадрата со- единили отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом посту- пили так же, как и с исходным, и т.д. Найти сумму площадей этих квад- ратов. 22 Глава 1. Алгебра 27. Заданы две геометрические прогрессии. Первый член и знамена- тель первой из них равны соответственно 3 и 32 , первый член и знамена- тель второй — 48 и 8 . В этих условиях решить следующие задачи. Найти наименьшее число, которое одновременно является членом первой и вто- рой прогрессии. Среди первых 1000 членов первой и второй прогрессии сколько общих членов? Найти сумму этих общих членов. 1.9. Текстовые задачи 1. На обработку одной детали первый рабочий затрачивает на 6 минут меньше, чем второй. Сколько деталей обрабатывает каждый из них за 7 часов, если первый за это время обрабатывает на 8 деталей больше второго? 2. Одинаковые детали обрабатываются на двух станках. Производи- тельность первого станка на 40% больше производительности второго. Сколько деталей за смену было обработано каждым станком, если первый работал в эту смену 6 часов, второй — 7 часов, а вместе они обработали 616 деталей? 3. В сосуде было 10 литров соляной кислоты. Часть соляной кислоты отлили и сосуд дополнили тем же количеством воды. Затем снова отли- ли такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в результате в сосуде остался 64%-й раствор соляной кислоты? 4. Соотношение металлов в первом сплаве 1 : 3 , а во втором — 3 : 2 . Сколько нужно взять того и другого (в соотношении), чтобы в получив- шемся сплаве металлов было поровну? 5. От двух кусков сплава с различным процентным содержанием меди, весящих соответственно m и n кг, было отрезано по куску равного веса. Каждый из отрезанных кусков был сплавлен с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих сплавах стало одинако- вым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков? 6. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 1, а в остатке 16. Если же к квадрату разности цифр 1.9. Текстовые задачи 23 этого числа прибавить произведение его цифр, то получится заданное число. Найти это число. 7. Если двузначное число разделить на произведение его цифр, то в частном получится 3, а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное число. Найти это число. 8. Три насоса, качающие воду для поливки, начали работать одно- временно. Первый и третий насосы закончили работать одновременно, а второй — через 2 часа после начала работы. В результате первый насос выкачал 9 м 3 воды, а второй и третий вместе 18 м 3 . Какое количество воды выкачивает за час каждый насос, если известно, что третий насос выкачивает на 3 м 3 больше, чем первый, и что три насоса, работая вместе, выкачивают за час 14 м 3 ? 9. Из А в В вышла машина с почтой. Чрез 20 мин по тому же марш- руту выехала вторая машина, скорость которой 45 км / ч. Догнав первую машину, шофер передал пакет и немедленно поехал обратно с той же ско- ростью (время, затраченное на остановку и разворот, не учитывается). В тот момент, когда первая машина прибыла в пункт В, вторая достигла лишь середины пути от места встречи ее с первой машиной до пункта А. Найти скорость первой машины, если расстояние между А и В равно 40 км. 10. Пассажир метро спускается вниз по движущемуся эскалатору за 24 с. Если пассажир идет с той же скоростью, но по неподвижному эска- латору, то он спускается за 42 с. За сколько секунд он спустится, стоя на ступеньке движущегося эскалатора? 11. Пешеход и велосипедист отправляются из пункта А в пункт В одновременно. В пункте В велосипедист поворачивает обратно и встре- чает пешехода через 20 мин после начала движения. Не останавливаясь, велосипедист доезжает до пункта А, поворачивает обратно и догоняет пешехода через 10 мин после первой встречи. За какое время пешеход пройдет путь от А до В? 12. Автомобиль проехал от пункта A до пункта B (двигаясь с посто- янной скоростью) и повернул обратно. При этом четверть пути автомо- биль ехал с той же скоростью, что и вперед, а затем увеличил скорость на 24 Глава 1. Алгебра 30 км/ч и поэтому на обратный путь затратил на один час меньше. Найти первоначальную скорость автомобиля, если известно, что расстояние от пункта A до B равно 240 км. 13. Из двух пунктов реки навстречу друг другу плывут две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Скорость течения реки рав- на 2 км/ч. До встречи лодка, идущая по течению, шла 0, 9 ч, а другая — 1 ч. Найти собственную скорость лодок, если лодка, идущая по течению, прошла на 2 км больше другой. 14. Катер проходит путь от A до B по течению реки за а часов, плот проплывает тот же путь за b часов. Сколько часов будет плыть катер от B до A ? Предполагается, что собственная скорость катера постоянна в течение всего времени движения. 15. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли состав- ляла 1, 5 %? 16. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих? 17. В результате плохо организованного хранения влажность неко- торой массы ягод в начале хранения составляет 99% , а в конце — 98% . Как изменилась масса хранимого продукта, если в начале хранения ягоды имели массу m ? 18. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч 20 мин вслед за плотом с той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки больше скорости плота на 12 км / ч? 19. На один продукт два раза была снижена цена, каждый раз на 15%. На сколько процентов в результате снизилась цена этого продукта? 20. Зарплата лаборанта в 1985 году составила 100 рублей в месяц. По- сле двух последовательных повышений на одно и то же число процентов она составила 121 рубль. На сколько процентов повысилась зарплата? 21. Найти все трехзначные числа, каждое из которых обладает следу- ющими свойствами: первая цифра числа в три раза меньше суммы двух других его цифр; разность между самим числом и числом, полученным из 1.10. Функции целой и дробной части 25 него перестановкой двух его последних цифр, неотрицательна и делится на 81. 22. Два судна движутся равномерно и прямолинейно в один и тот же порт. В начальный момент времени положение судов и порта образуют равносторонний треугольник. После того как второе судно прошло 80 км, указанный треугольник стал прямоугольным. Найдите расстояние между судами в начальный момент времени, если в момент прибытия первого судна в порт второму осталось пройти 120 км. 1.10. Функции целой и дробной части 1. Найти целую часть π , 10π , −π . 2. Доказать, что для любого действительного x выполняется [x] 6 x < [x] + 1 , где [x] — целая часть x . 3. Доказать, что равенство [x] = x выполняется тогда и только тогда, когда x — целое число. 4. Доказать, что для любого действительного x и целого m выпол- няется [x + m] = [x] + m . 5. Найти дробную часть 3.14 , −5.1 . 6. Доказать, что для любого действительного x выполняется 0 6 {x} < 1 , где {x} — дробная часть x . 7. Доказать, что равенство {x} = 0 выполняется тогда и только тогда, когда x — целое число. 8. Доказать, что для любого действительного x и целого m выпол- няется {x + m} = {x} . Построить графики функций в задачах 9–12. 9. y = {x − 1.5} + 1. 10. y = {2x}. 11. y = {x/2}. 12. y = {x 2 }. 26 Глава 1. Алгебра Решить уравнения 13–24. 13. [x − 2] = 1. 14. [x − 1/2] = −1. 15. {x} = x/3. 16. {x} = x/4. 17. [x] = 4x + 5. 18. [x] = 2x − 4. 19. {x/2} = {x/3}. 20. [x] = 3x − 1. 21. 3 {x} + [x + 1/7] = 2. 22. 7{x} + 3[x] = 10. 23. { 1 x 2 + x + 1 } = 1 3 24. [x] · (x 2 + x + 1) = 4. Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям задач 25–30. 25. [x] = [y]. 26. {x} = {y}. 27. [x] 6 [y]. 28. {x} > {y}. 29. {x 2 + y 2 } = 0. 30. [x 2 + y 2 ] = 0. 1.11. Расположение корней квадратного трехчлена 1. Найти все значения параметра a , при которых сумма квадратов корней уравнения x 2 − ax + a + 7 = 0 равна 10. 2. Пусть x 1 и x 2 – корни уравнения x 2 + px + q = 0 . Найдите: а) x 1 2 + x 2 2 , б) x 1 3 + x 2 3 , в) 1 q − x 1 + 1 q − x 2 , г) x 1 x 2 + x 2 x 1 , д) 1 √ x 1 + 1 √ x 2 3. Найти все значения параметра a , при которых уравнение x 2 − 2(a − 1)x + 2a + 1 = 0 имеет корни и определить знаки корней. 4. Найти все значения параметра a , при которых уравнение (a −3)x 2 −2(3a−4)x+7a−6 = 0 имеет корни и определить знаки корней. 5. При каком значении параметра a корни уравнения (a + 2)x 2 − ax − a = 0 симметричны относительно x = 1 ? 1.11. Расположение корней квадратного трехчлена 27 6. Найти все значения параметра a , при которых квадратный трех- член (a 2 − 1)x 2 + 2(a − 1)x + 2 положителен для любого x . 7. Найти все значения параметра a , при которых корни уравнения (1 + a)x 2 − 3ax + 4a = 0 больше единицы. 8. Найдите все значения a , при которых все корни уравнения x 2 + x + a = 0 больше a . 9. При каких значениях параметра a оба корня уравнения ax 2 − 2(2a − 1)x + 2 − 3a = 0 больше 1 ? 10. Сформулировать необходимое и достаточное условие того, что корни x 1 , x 2 квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0 удовлетворяют неравенству x 1 , x 2 < d . 11. При каком значении параметра a корни x 1 , x 2 квадратного урав- нения x 2 +4ax+1 −2a+4a 2 = 0 удовлетворяют неравенству x 1 , x 2 < −1 ? 12. При каких значениях a уравнение (a − 1)x 2 − 2ax + 2 − 3a = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее неравенству x > 1 ? 13. Найти все значения параметра a , при которых один из корней уравнения ax 2 + x + 1 = 0 больше 2 , а другой меньше 2 . 14. При каком значении параметра a один корень уравнения x 2 − (3a + 2)x + 2a − 1 = 0 больше 1 , а другой меньше 1 ? 15. Найти все значения a , для которых один корень уравнения 2ax 2 − 2x − 3a − 2 = 0 больше 1 , другой меньше 1 ? 16. При каких значениях a существует единственный корень уравне- ния x 2 − ax + 2 = 0 , удовлетворяющий условию 1 < x < 3 ? 17. При каких значениях параметра a уравнение (a −1)x 2 −(a+1)x+a = 0 имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0 < x < 3 ? 18. При каких a уравнение 2x 2 − 2(2a + 1)x + a(a − 1) = 0 имеет два корня x 1 и x 2 , причем x 1 < a < x 2 ? 28 Глава 1. Алгебра 19. При каких a все корни уравнения x 2 − 2ax + a 2 − a = 0 располо- жены на отрезке [ −2, 6] ? 20. Сколько решений в зависимости от a имеет система 4x 2 − 2x + a = 0 , |x| 6 1 ? 21. Найти все значения параметра a , при которых уравнение 4x 2 − 2x + a = 0 имеет два корня, каждый из которых принадлежит интервалу ( −1; 1) . 22. При каких a оба корня уравнения x 2 − ax + 2 = 0 принадлежат интервалу (0; 3) ? 23. При каких a все корни уравнения x 2 − 2ax + a 2 − 2 = 0 располо- жены на отрезке [2, 5] ? 24. Сколько решений в зависимости от a имеет система x 2 − 2ax − 1 = 0 , |x| < 2 ? 25. При каких значениях параметра a для всех x , таких, что 1 < x < 2 , выполняется неравенство x 2 + ax + a 2 + 6a < 0 ? 26. При каких a из x < 1 следует, что 1 − ax 2 > 0 ? 27. Для каких a неравенство x 2 + a 2 a(x + 6) > 1 выполняется для всех x , таких, что −1 6 x 6 1 ? 28. Для каких a неравенство x 2 + ax − 7a < 0 выполняется при всех 1 < x < 2 ? 29. При каких a , если выполняется неравенство x 2 − a(1 + a 2 )x + a 4 < 0, то выполняется неравенство x 2 + 4x + 3 < 0 ? 30. При каких значениях параметра a все решения неравенства ax 2 − 2x − a(a 2 + 2) < 0 удовлетворяют также неравенству x 2 6 9 ? 31. При каких значениях параметра a неравенство ax 2 + (a + 1)x − 3 < 0 выполняется при любом x меньше 2 ? 32. Найти все значения a , для которых неравенство x 2 − ax + a > 0 верно при всех |x| < 1 . 1.12. Задачи с параметрами 29 33. Для каких a неравенство (x − 3a)(x + 2a + 1) < 0 выполняется для всех x , таких, что 1 6 x 6 3 ? 1.12. Задачи с параметрами 1. При всех значениях параметра a решить уравнение (a − 2)x 2 − (2a + 4)x + a + 2 = 0 . 2. При всех значениях параметра a решить уравнение (a 2 − 1)x = a + 1 . 3. При всех значениях параметра a решить уравнение 2a(a − 2)x = a − 2 . 4. Решить неравенство ax > 1 . 5. Найти все значения параметра a , при которых единственное реше- ние имеет уравнение x a(x + 1) − 2 x + 2 = 3 − a 2 a(x + 1)(x + 2) . 6. Решить неравенство |x + 2a| < 8a 2 |x − 2a| 7. Решить неравенство |x − 3a| − |x + a| < 2a . 8. При каких значениях параметра a уравнение x = 2a |x − 2| имеет единственное решение? 9. Найдите такое число a > 0 , чтобы неравенство 12 x + x 12 > a выполнялось при всех положительных x . Найдите наибольшее из всех таких чисел. 10. Решить при a < 1 неравенство ax + 1 x > 1. 30 Глава 1. Алгебра 11. При каком значении параметра a решение неравенства |2x − 4| + x − 1 6 a существует и симметрично относительно x 0 = 1 ? 12. При каких значениях параметра a уравнение x 2 − (2a + 1)x + 2a x − a = 0 имеет только один корень? Указать все значения параметра, удовлетво- ряющие этому условию. 13. При каких a уравнение √ x 2 + 1 x 2 + 2 − √ x 2 + 1 x 2 − 2 = a |