математика. Подготовлено на кафедре математики сунц ургу печатается по решению Ученого Со вета сунц урГУ протокол 10 от
 Скачать 281.3 Kb.
|
|
◦ Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма. 4. Величина одного из углов параллелограмма равна 60 ◦ , а меньшая диагональ — 2 √ 31 см. Длина перпендикуляра, проведенного из точки пе- ресечения диагоналей к большей стороне, равна √ 75/2 см. Найти длины сторон и большей диагонали параллелограмма. 5. В параллелограмме ABCD высота, проведенная из вершины B тупого угла на сторону DA , делит ее в отношении 5 : 3 , считая от вер- шины D . Найти отношение AC : BD , если AD : AB = 2 . 6. Перпендикуляр, проведенный из вершины параллелограмма к его диагонали, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 и 15 см. Разность длин сторон параллелограмма равна 7 см. Найти длины сторон паралле- лограмма и его диагоналей. 7. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Раз- ность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Най- ти длины сторон параллелограмма. 8. Доказать, что если через вершины четырехугольника провести пря- мые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма, опре- деляемого этими прямыми, в два раза больше площади данного четырех- угольника. 9. Через точки R и E принадлежащие сторонам AB и AD парал- лелограмма ABCD и такие, что AR = (2/3)AB , AE = (1/3)AD , про- ведена прямая. Найти отношение площади параллелограмма к площади полученного треугольника. 10. Точки K , L , M и N лежат соответственно на сторонах AB , BC , CD и DA параллелограмма ABCD , причем AK : KB = 1 : 2 , BL : LC = 1 : 3 , CM : M D = 1 : 1 и DN : N A = 1 : 1 . Найти отношение площадей четырехугольников KLM N и ABCD . 11. Точки K , L , M и N лежат соответственно на сторонах AB , BC , CD и DA параллелограмма ABCD , причем AK : KB = 3 : 1 , BL : LC = 2 : 3 , CM : M D = 1 : 2 и DN : N A = 1 : 1 . Найти отношение площадей четырехугольников KLM N и ABCD . 48 Глава 2. Геометрия 12. В треугольник вписан параллелограмм со сторонами 3 и 5 см и диагональю, равной 6 см. Найти стороны треугольника, если извест- но, что диагонали параллелограмма параллельны боковым сторонам тре- угольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника. 13. В треугольник с боковыми сторонами 9 и 15 см вписан паралле- лограмм так, что одна из его сторон длиной 6 см лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма параллельны боковым сто- ронам треугольника. Найти другую сторону параллелограмма и основа- ние треугольника. 14. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит его сторону на отрезки длиной m и n ( m считать от вершины острого угла). Определить диагонали ромба. 15. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найти радиус окружностей. 16. В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2:3. Диагонали ромба равны m и n . Найти стороны треугольника, содержа- щие стороны ромба. 17. Из вершины острого угла ромба проведены перпендикуляры к прямым, содержащим стороны ромба, которым не принадлежит эта вер- шина. Длина каждого перпендикуляра равна 3 см, а расстояние между их основаниями 3 √ 3 см. Вычислить длины диагоналей ромба. 18. Точки M , N , P и Q являются серединами сторон AB , BC , CD и DA ромба ABCD . Вычислить площадь фигуры, являющейся пересе- чением четырехугольников ABCD , AN CQ и BP DM , если площадь ромба равна 100 см 2 19. В ромб со стороной a и острым углом 60 ◦ вписана окружность. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба. 20. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Определить сторону ромба. 21. Сумма длин диагоналей ромба равна m , а его площадь равна S . Найти сторону ромба. 2.8. Трапеция 49 22. Диагональ BC параллелограмма ABCD равна 2, а угол CAD равен 30 ◦ . Прямая CD является касательной к окружности, описанной около треугольника ABD . Найти площадь параллелограмма ABCD . 2.8. Трапеция 1. Доказать, что трапецию можно вписать в окружность тогда и толь- ко тогда, когда она равнобедренная. 2. Доказать, что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой. 3. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная тра- пеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции. 4. Прямые, содержащие боковые стороны равнобедренной трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длины сторон трапеции, если ее площадь равна 12 см 2 , а длина высоты равна 2 см. 5. Один из углов трапеции равен 30 ◦ , а прямые, содержащие боковые стороны трапеции, пересекаются под прямым углом. Найти длину мень- шей боковой стороны трапеции, если ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см. 6. Найти длины боковой стороны и диагонали равнобедренной трапе- ции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что центр описанной окруж- ности лежит на большем основании трапеции. 7. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь трапеции. 8. Диагональ равнобедренной трапеции делит ее тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции. 9. Большее основание трапеции имеет длину 24 см. Найти длину ее меньшего основания, если известно, что расстояние между серединами диагоналей трапеции равно 4 см. 50 Глава 2. Геометрия 10. Трапеция разбита диагоналями на четыре треугольника. Найти отношение площадей треугольников, прилегающих к боковым сторонам трапеции. 11. Вычислить площадь трапеции ABCD ( AD ∥BC ), если длины ее оснований относятся как 5 : 3 и площадь треугольника ADM равна 50 см 2 , где M — точка пересечения прямых AB и CD . 12. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее высота равна 12 см, а длины биссектрис 15 и 13 см. 13. Основания трапеции равны 4 и 16 см. Найти радиусы окружно- стей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют. 14. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точ- ку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заклю- ченного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 и 12 см. 15. Прямая, параллельная основаниям трапеции, проходит через точ- ку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заклю- ченного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны a и b . 16. Найти площадь трапеции, если ее диагонали равны 7 и 8 см, а основания — 3 и 6 см. 17. Основания трапеции равны a и b . Определить длину отрезка, параллельного основаниям и делящего трапецию на равновеликие части. 18. Около окружности описана равнобедренная трапеция, у которой одно основание в три раза больше другого. Найти отношение радиуса окружности, описанной около трапеции, к радиусу окружности, вписан- ной в трапецию. 19. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см 2 . Определить стороны трапеции, если ее угол при основании равен 30 ◦ 20. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон 2.8. Трапеция 51 делится точкой касания на отрезки длиной m и n . Определить площадь трапеции. 21. Длина основания AD трапеции ABCD равна 5 , а длина боковой стороны CD — 3 . Известно, что диагональ AC перпендикулярна CD , а диагональ BD делит угол D пополам. Найти площадь трапеции. 22. Доказать, что площадь трапеции равна произведению длины од- ной из боковых сторон и перпендикуляра, проведенного через середину другой боковой стороны к первой. 23. Площадь трапеции ABCD ( AD ∥BC ) равна S . Найти площадь треугольника KLC , где KL — средняя линия трапеции. 24. Найти площадь равнобедренной трапеции, если ее высота равна h , а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60 ◦ 25. Равнобедренная трапеция, у которой угол при основании равен 60 ◦ , описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяю- щая точки касания окружности с боковыми сторонами, делит площадь трапеции? 26. Отрезок AE является биссектрисой угла A трапеции ABCD ( AD ∥BC и точка E лежит на прямой BC ). Окружность, вписанная в треугольник ABE касается сторон AB и BE в точках K и L . Найти величину угла ∠BAC , если KL = 1 а боковая сторона AB равна 2 . 27. В трапеции P QRN ( P N ∥QR ) проведена высота RH . Известно, что P H = 8 , QR = 4 , P Q = √ 28 , \ P N R = 60 ◦ . На основании P N вы- брана точка M так, что отрезок RM делит площадь трапеции пополам. Найти длину отрезка RM . 28. В трапеции ABCD даны основания AD = a и BC = b . На продолжении BC выбрана точка M так, что прямая AM отсекает от площади трапеции 1/4 ее часть. Найти длину отрезка CM . 29. В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и BC = 8 . На про- должении BC выбрана точка M так, что прямая AM делит трапецию на две равновеликие фигуры. Найти длину отрезка CM . 52 Глава 2. Геометрия 30. Около окружности радиуса 1 описана равнобедренная трапеция, площадь которой равна 5 см 2 . Найти площадь четырехугольника, вер- шинами которого служат точки касания окружности и трапеции. 2.9. Декартова система координат. Векторы 1. Даны точки A(1, 2) и B( −3, 4) . Найти координаты середины от- резка AB . 2. Даны точки A( −1, −4) , B(3, −2) , C(−1, 2) , D(11, x) . При каком x AB и CD являются коллинеарными? 3. Даны точки A(3, 2) , B(5, 4) , C( −3, x) . При каком x точка C лежит на прямой AB ? 4. Даны точки A( −1, 2) и B(17, −13) . Найти координаты такой точки С отрезка AB , что AC : CB = 2 : 1 . 5. Пусть точка C лежит на отрезке AB и AC : CB = 1 : 3 . Разло- жить вектор −→ OC по векторам −→ OA и −−→ OB . 6. Точка P является серединой диагонали BC 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Выразить вектор −→ AP через векторы −→ AB , −−→ AD и −−→ AA 1 7. Даны точки A(1, 2) , B(12, −4) , C(7, 2) . Известно, что четырех- угольник ABCD является параллелограммом. Найти координаты точки D . 8. Вычислить скалярное произведение векторов − → v = (1, −2) и − → u = (2, 4) . 9. Найти косинус угла между векторами − → v = ( −1, 3) и − → u = (2, 1) . 10. Даны точки A(1, 1) , B(2, 3) , C( −3, 6) . Определить вид треуголь- ника ABC . 11. Известно, что |− → a | = 3 , |− → b | = 4 а угол между векторами − → a и − → b равен 2π/3 . Вычислить скалярное произведение (3− → a − 2− → b )(− → a + 2 − → b ) . 12. Дана окружность x 2 + y 2 = 9 . Составить уравнение окружно- сти, проходящей через начало координат и точку A(1, 0) и касающуюся данной окружности. 2.10. Геометрические места точек. Задачи на построение 53 13. На прямой 5x − 2y + 9 = 0 найти точку A , равноудаленную от точек B( −2, −3) и C(4, 1) и вычислить площадь треугольника ABC . 14. Даны вершины треугольника A( −2, −3) , B(3, −1) и C(4, 1) . До- казать, что треугольник ABC — равнобедренный и составить уравнение прямой, содержащей высоту, проведенную из вершины A . 15. Составить уравнения касательных, проведенных к окружности x 2 + y 2 = 9 из точки M (5, 0) . 16. Точки A(1, −9) , B(5, 3) и C(7, −3) отметили на координатной плоскости. Координатные оси и начало координат стерли. Можно ли толь- ко с помощью циркуля и линейки восстановить координатные оси и на- чало координат? Можно ли восстановить масштаб измерения? 17. На координатной плоскости нарисовали график функции f (x) = x 2 − 6x + 10 и прямую x = 4 . Затем координатные оси стерли. Восста- новите координатные оси, используя только циркуль и линейку. 2.10. Геометрические места точек. Задачи на построе- ние 1. Найти геометрическое место точек, удаленных от данной точки на расстояние R . 2. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от концов дан- ного отрезка. 3. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от сторон дан- ного угла и находящихся внутри этого угла. 4. Найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под углом α . 5. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от пересекаю- щихся прямых a и b . 6. Найти геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных пересекающихся прямых a и b есть величина постоянная, равная s . 54 Глава 2. Геометрия 7. Найти геометрическое место точек, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек A и B , равна s . 8. Какую линию описывает вершина прямого угла C прямоугольного треугольника ABC , если точки A и B двигаются по координатным осям ( A лежит на Ox , а B — на Oy ). 9. Даны две непересекающиеся окружности. Найти геометрическое место точек, касательные из которых к этим окружностям равны по длине. 10. Из данной точки A , лежащей вне окружности ω , провести каса- тельную к окружности ω . 11. К двум данным окружностям провести общую касательную. 12. Даны две параллельные прямые a и b и точка X . Через точку X провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между прямыми a и b , равнялся данному отрезку. 13. Между сторонами данного угла поместить отрезок данной длины так, чтобы он отсекал от сторон угла равные отрезки. 14. Через точку X внутри данного угла ABC провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный внутри угла, делился бы точкой X по- полам. 15. Разделить прямой угол на три равные части. 16. Построить прямоугольный треугольник по острому углу и проти- волежащему катету. 17. Построить равнобедренный треугольник по углу при основании и высоте, опущенной на боковую сторону. 18. Построить равнобедренный треугольник по боковой стороне и вы- соте, опущенной на нее. 19. Построить треугольник по сторонам a , b и высоте h a 20. Построить треугольник по углу B и высотам h a , h c 21. Построить прямоугольный треугольник по катету и сумме другого катета и гипотенузы. 22. Построить треугольник по стороне b , медиане m b и высоте h b 23. Построить треугольник по сторонам a , c и медиане m b 2.10. Геометрические места точек. Задачи на построение 55 24. Построить треугольник по трем его медианам. 25. Построить параллелограмм по двум диагоналям и высоте. 26. Построить трапецию по данным основаниям и диагоналям. 27. Построить квадрат по сумме диагонали и стороны. 28. Точки A и B лежат по одну сторону от прямой a . На прямой a найти такую точку X , что сумма XA + XB минимальна. 29. Пункты A и B расположены по разные стороны от реки с парал- лельными берегами. В каком месте реки нужно построить мост (перпен- дикулярный реке) так, чтобы путь из A в B был бы кратчайшим? Глава 3 Программа по математике Фактов всегда достаточно — не хватает фантазии. Д. Блохинцев 3.1. Алгебра 1. Преобразование арифметических выражений. Формулы сокращен- ного умножения ((a ± b) 2 , a 2 − b 2 , a 3 ± b 3 , (a ± b) 3 ) . Признаки делимости. Нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего крат- ного натуральных чисел. Деление с остатком. 2. Числовые функции, область определения и множество значений функции, ее график. Способы преобразования графиков функций. Основ- ные свойства функций: четность и нечетность, монотонное возрастание и убывание, периодичность. 3. Линейная функция и ее свойства. Системы линейных уравнений. 4. Квадратичная функция и ее свойства. Корни квадратного уравне- ния. Разложение квадратного трехчлена на множители. Теорема Виета. Определение знаков корней квадратного уравнения. Квадратичное нера- венство. 5. Обратно пропорциональная зависимость y = k/x , ее свойства, гра- фик. 6. Модуль числа. Свойства модуля. Решение уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Преобразования графиков функций, содержа- щих знак модуля. 3.2. Геометрия 57 7. Арифметический квадратный и кубический корни. Их свойства. Пре- образования арифметических выражений, содержащих знаки корней (вы- деление полного квадрата, умножение на сопряженное, избавление от ир- рациональности в знаменателе). Иррациональные уравнения и неравен- ства. 8. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n -го члена прогрессий, суммы первых членов. 9. Целая и дробная части чисел. Графики функций [x], {x} . 10. Решение неравенств. Метод интервалов. 11. Решение уравнений. Основные способы преобразования уравнений: приведение подобных, возведение в степень, разложение на множители, замена переменной. 12. Системы уравнений. Основные способы преобразования систем: метод подстановки, линейное преобразование, переход к совокупности нескольких систем, замена переменных. 13. Уравнения и неравенства с параметрами. Аналитический и графи- ческий способы решения. 14. Решение текстовых задач. Логические задачи. Основные задачи на проценты. 3.2. Геометрия 1. Неопределяемые понятия в геометрии. Основные определения. Ак- сиомы и теоремы в геометрии. 2. Треугольник. Основные теоремы о треугольнике: теорема Пифагора, теорема о сумме углов в треугольнике, теорема синусов и косинусов, свой- ства равнобедренного треугольника. Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Средняя линия треугольника и ее свойства. Вы- числение площади треугольника. Биссектрисы, медианы и высоты в тре- угольнике. Их свойства. Вписанная и описанная окружности. 3. Четырехугольник. Вычисление его площади через диагонали и угол между ними. Вписанный и описанный четырехугольник. 4. Параллелограмм и его свойства. Признаки параллелограмма. Вы- числение площади параллелограмма. 5. Прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства. 58 Глава 3. Программа по математике 6. Трапеция, вычисление площади трапеции. Средняя линия трапеции и ее свойства. 7. Окружность и круг. Касательная к окружности и ее свойства. Се- кущая к окружности и ее свойства. Измерение вписанных углов. Вычис- ление длины окружности и площади круга. 8. Прямоугольная система координат на плоскости. Нахождение рас- стояния между двумя точками. Уравнение прямой и окружности. 9. Векторы. Операции над векторами. Скалярное произведение векто- ров. 10. Задачи на построение. Основные геометрические места точек: мно- жество точек, равноудаленных от концов данного отрезка; множество то- чек, равноудаленных от сторон данного угла; множество точек, из кото- рых данный отрезок виден под данным углом. 3.3. Основные математические навыки 1. Приводить полные обоснования решений задач, используя теорети- ческие сведения. 2. Решать текстовые задачи. 3. Решать простейшие логические задачи. 4. Выполнять арифметические действия с числами (точными и при- ближенными). 5. Выполнять тождественные преобразования алгебраических выраже- ний. 6. Вычислять приближенные значения функций с использованием каль- кулятора. 7. Выражать функциональную зависимость между величинами, нахо- дить значения функций, заданных формулой, таблицей, графиком. 8. Строить графики функций, указанных в программе. 9. Решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, указанных в программе видов. 10. Изображать геометрические фигуры, выделять необходимые эле- менты на чертеже. 11. Применять алгебраические и тригонометрические формулы, век- торный и координатный методы к решению геометрических задач. Сборник задач по математике для 9 и 10 классов Компьютерный набор и верстка С.А. Ануфриенко Подписано в печать 24.09.2001. Формат 60 × 84 1/16 . Бумага для множительных аппаратов. Печать офсетная. Уч.-изд.л. 3. Усл. печ. л. 3,4. Зак. . Тираж 200 экз. Уральский государственный университет им. А.М. Горького Отпечатано на ризографе в СУНЦ УрГУ. Екатеринбург, ул. Н. Зверева, 30. |