математика. Подготовлено на кафедре математики сунц ургу печатается по решению Ученого Со вета сунц урГУ протокол 10 от
 Скачать 281.3 Kb.
|
|
ω проведены прямые AB и CD (точки A, B, C и D лежат на ω ). Дока- зать, что AO · OB = OC · OD . 17. Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Доказать, что ме- дианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части. 18. На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диа- метре во внешнюю сторону построена полуокружность, на которой взяты точки K и L , делящие полуокружность на равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части. 19. Пусть две стороны и два угла одного треугольника равны двум сторонам и двум углам другого треугольника. Можно ли утверждать, что эти треугольники равны? 20. Длины двух сторон треугольника равны 10 и 15. Доказать, что длина биссектрисы угла между ними не больше 12. 21. Точка K — середина стороны AB квадрата ABCD , а точка L делит диагональ AC в отношении AL : LC = 3 : 1 . Доказать, что угол KLD прямой. 22. Внутри квадрата ABCD взята точка P так, что [ P BA = [ P AB = 15 ◦ . Доказать, что CP D — равносторонний треугольник. 23. Сторона квадрата равна 1. Через его центр проведена прямая. Вычислить сумму квадратов расстояний от четырех вершин квадрата до этой прямой. 2.4. Площадь треугольника. Формула Герона 1. Пусть a , b , c — соответственно длины сторон BC , AC , AB треугольника ABC , p = (a + b + c)/2 , r и R — соответственно радиусы 40 Глава 2. Геометрия вписанной и описанной около ABC окружностей. Доказать, что площадь S треугольника ABC может быть вычислена по одной из следующих формул: S = 1 2 ab sin ∠C = abc 4R = pr. 2. На стороне AC треугольника ABC произвольно выбрана точка D . Доказать, что отношение площадей треугольников ABD и CBD равно AD DC 3. Площадь треугольника ABC равна 30 . На стороне AC выбра- на точка D так, что AD : DC = 2 : 3 . Длина перпендикуляра DE , проведенного на сторону BC , равна 9 . Найти BC . 4. Пусть треугольники ABC и A 1 B 1 C имеют общий угол C . Из- вестно, что AC = b , BC = a , A 1 C = b 1 и B 1 C = a 1 . Найти отношение площадей треугольников ABC и A 1 B 1 C . 5. В треугольнике ABC точка L делит пополам отрезок BC , а точка K делит пополам отрезок BL . Из точки A через точки K и L проведе- ны лучи и на них отложены вне треугольника ABC отрезки LD = AL и KF = AK/3 . Найти отношение площади треугольника ABC к площади четырехугольника KLDF . 6. В равнобедренном треугольнике основание равно 16, а боковая сто- рона равна 10. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. 7. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найти рас- стояние между точкой пересечения его биссектрис и точкой пересечения медиан. 8. В окружность радиуса R вписан треугольник с углами 60 ◦ и 45 ◦ Найти площадь треугольника. 9. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треуголь- ника равен 15, а радиус вписанной окружности равен 6. Найти стороны треугольника. 10. Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна 1 2 d 1 d 2 sin ϕ , где d 1 и d 2 — длины его диагоналей, а ϕ — угол между ними. 2.4. Площадь треугольника. Формула Герона 41 11. Внутри равностороннего треугольника ABC произвольно выбра- на точка X . Докажите, что сумма расстояний от точки X до сторон треугольника ABC не зависти от выбора точки X . 12. Точка X расположена внутри параллелограмма ABCD . Дока- жите, что S ABX + S CDX = S ADX + S BCX 13. Многоугольник описан около окружности радиуса r . Докажите, что его площадь равна pr , где p — полупериметр многоугольника. 14. На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD произвольно выбраны точки X и Y . Отрезки BX и AY пересекаются в точке K , а отрезки CX и DY — в точке L . Докажите, что S AKX + S DLX = S BKY + S CLY 15. Диагонали AC и BD трапеции ABCD ( (AD) ∥(BC) ) пересе- каются в точке O . Найти отношение площадей треугольников AOB и COD . 16. Доказать, что длина отрезка AK , где K — точка касания со стороной AB вписанной в треугольник ABC окружности, равна p − a , где p — полупериметр треугольника ABC и a — длина стороны BC . 17. Доказать, что длина отрезка AL , где L — точка касания с лучом [AB) вневписанной окружности треугольника ABC , равна p , где p — полупериметр треугольника ABC . 18. Пусть r и r a — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC , p — его полупериметр. Доказать, что pr = r a (p −a) . 19. Пусть r и r a — радиусы вписанной и вневписанной окружностей треугольника ABC , p — его полупериметр. Доказать, что rr a = (p − b)(p − c) . 20. Докажите формулу Герона для треугольника ABC S ABC = √ p(p − a)(p − b)(p − c). 21. Медианы AA 1 и CC 1 треугольника ABC равны соответственно 24 и 18 , а сторона AC равна 20 . Найти площадь треугольника ABC . 22. Медианы треугольника ABC равны 12 , 15 и 21 . Найти площадь треугольника ABC . 42 Глава 2. Геометрия 23. Найти площадь треугольника ABC , если |AB| = 3 , |BC| = 7 и длина медианы BM равна 4 . 24. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведе- ны три прямые, параллельные его сторонам. Эти прямые разбивают тре- угольник на шесть частей, три из которых — треугольники со сторонами S 1 , S 2 , S 3 . Найти площадь данного треугольника. 2.5. Биссектрисы. Высоты. Теорема косинусов 1. В треугольнике ABC со сторонами BC = a и AC = b проведена биссектриса CC 1 . Доказать, что a) S CBC 1 S ACC 1 = a b , b) BC 1 AC 1 = a b . 2. В треугольнике ABC со сторонами BC = a и AC = b про- ведена биссектриса CC 1 , длина которой равна l c . Доказать, что l c = 2ab cos ( b C/2 ) a + b . 3. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5. Определить площадь треугольника. 4. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большей сто- роне треугольника. Найти отрезки, на которые центр окружности делит б´ ольшую сторону треугольника. 5. Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найти радиус окружности. 6. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого уг- ла. Отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету. Найти углы треугольника. 7. Найти биссектрисы острых углов прямоугольного треугольника с катетами 24 и 18. 2.5. Биссектрисы. Высоты. Теорема косинусов 43 8. Дан треугольник ABC такой, что AB = 15 , BC = 12 и AC = 18 . Вычислить, в каком отношении центр вписанной окружности треуголь- ника делит биссектрису угла C . 9. Дан равнобедренный треугольник с основанием a и боковой сто- роной b . Найти в каком отношении центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании треугольника. 10. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона рав- ны соответственно 5 и 20 см. Найти биссектрису угла при основании тре- угольника. 11. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 72 ◦ , а биссектриса этого угла равна m . Найти длины сторон этого треугольни- ка. 12. В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 36 ◦ , а биссектриса угла при основании равна √ 20 . Найти длины сторон тре- угольника. 13. Найти величину cos 36 ◦ 14. В прямоугольном треугольнике с катетами 6 и 8 из вершины прямого угла проведена биссектриса CM . Окружности, вписанные в тре- угольники ACM и BCM , касаются отрезка CM в точках K и L . Най- ти длину отрезка KL . 15. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке L , проходит через вершину C и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найдите AB и AC , если известно, что CQ = 9 , QB = 3 , AP = 4 и CL является биссектрисой угла C . 16. В треугольнике ABC сторона AB = 15 , окружность, проходящая через вершину C , касается стороны AB в точке L и пересекает стороны AC и BC в точках P и Q соответственно. Найдите AC и BC , если известно, что AP = 3 , BQ = 2 и CL является биссектрисой угла C . 17. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. 18. Пусть h — длина высоты прямоугольного треугольника, прове- денной к гипотенузе, a c , b c — проекции катетов a и b на гипотенузу c . 44 Глава 2. Геометрия Докажите, что h 2 = a c · b c , a 2 = c · a c , и b 2 = c · b c 19. Через вершину прямого угла прямоугольного треугольника с ка- тетами 6 и 8 проведен перпендикуляр к гипотенузе. Вычислить площади образовавшихся треугольников. 20. Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит его на два треугольника с площадями Q и q . Найти катеты. 21. Найти длины сторон равнобедренного треугольника, если длины его высот, проведенных к основанию и к боковой стороне, соответственно равны m и n . 22. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD . Ра- диусы окружностей, вписанных в треугольники BCD и ACD равны 4 и 3 соответственно. Найти расстояние между их центрами. 23. В параллелограмме ABCD известно, что AB = a , AD = b и b A = 60 ◦ . Найти длины диагоналей параллелограмма. 24. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC известно, что b B = 30 ◦ и AB = 2 . Найти длину AC и радиус описанной около ABC окружности. 25. Дан правильный треугольник ABC . Точка K делит сторону AC в отношении 2 : 1 , а точка M — сторону AB в отношении 1 : 2 (считая в обоих случаях от вершины A ). Доказать, что длина отрезка KM равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC . 26. Доказать, что длина медианы треугольника ABC , проведенной к стороне AB равна m c = 1 2 √ 2(a 2 + b 2 ) − c 2 , где a = BC , b = AC , c = AB . 27. В равностороннем треугольнике ABC со стороной AB = a про- ведена средняя линия M N , параллельная AC . Точка K делит отрезок M N в отношении M K : KN = 2 : 1 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке E . Найти длину отрезка AE . 28. В равностороннем треугольнике ABC со стороной AB = a про- ведена средняя линия M N , параллельная AC . Точка K делит отрезок M N в отношении M K : KN = 1 : 2 . Прямая AK пересекает сторону BC в точке E . Найти длину отрезка AE . 2.6. Теоремы Чевы и Менелая 45 29. В треугольнике ABC известны длины высот CD = 7 и AE = 6 . Точка E делит сторону BC в отношении BE : EC = 3 : 4 . Найти длину стороны AB . 2.6. Теоремы Чевы и Менелая 1. На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответ- ственно точки A 1 , B 1 , C 1 так, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересека- ются в одной точке O . Доказать, что отношение площадей треугольников AOB и AOC равно BA 1 /CA 1 2. На отрезке AB выбраны точки X и Y так, что AX : XB = AY : Y B . Доказать, что X = Y . 3. (Теорема Чевы). На сторонах BC , AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A 1 , B 1 , C 1 . Доказать, что отрезки AA 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда AC 1 C 1 B · BA 1 A 1 C · CB 1 B 1 A = 1. 4. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке. 5. Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точ- ке. 6. Доказать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке. 7. В треугольнике проведены три отрезка, каждый из которых соеди- няет вершину треугольника с точкой касания вписанной в треугольник окружности с противоположной стороной. Доказать, что эти отрезки пе- ресекаются в одной точке. 8. Пусть точки X и Y лежат на прямой (AB) , но не принадлежат отрезку [AB] . Доказать, что если BX : XA = BY : Y A , то X = Y . 9. (Теорема Менелая). На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A 1 и C 1 , а на продолжении стороны AC 46 Глава 2. Геометрия выбрана точка B 1 . Доказать, что точки A 1 , B 1 и C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC 1 C 1 B · BA 1 A 1 C · CB 1 B 1 A = 1. 10. На сторонах BC и AC треугольника ABC выбраны соответ- ственно точки A 1 и B 1 так, что BA 1 : A 1 C = 1 : 3 и AB 1 : B 1 C = 2 : 1 . Отрезки AA 1 и BB 1 пересекаются в точке O . а) Найти отношение B 1 O : OB . б) Найти площадь треугольника AOB 1 , если площадь треугольника ABC равна 6 . 11. На сторонах BC и AB треугольника ABC выбраны соответ- ственно точки A 1 и C 1 так, что BA 1 : A 1 C = 2 : 3 и AC 1 : C 1 B = 1 : 2 . Отрезки AA 1 и CC 1 пересекаются в точке O . а) Найти отношение AO : OA 1 . б) Найти площадь четырехугольника BC 1 OA 1 , если площадь треугольника ABC равна 1 . 12. Отрезок BM является медианой треугольника ABC . На сторо- нах AB и BC выбраны соответственно точки P и Q так, что AP : P B = 2 : 5 и BQ : QC = 10 : 1 . Отрезок P Q пересекает BM в точке R . Найти отношение BR : RM . 13. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны AC = 4 и BC = 3 . В треугольнике проведены биссектриса CD и медиана AM . Они пересекаются в точке E . Найти площадь треугольника CEM . 14. На сторонах AB , BC , AC треугольника ABC взяты соответ- ственно точки C 1 , A 1 , B 1 так, что AC 1 : C 1 B = BA 1 : A 1 C = CB 1 : B 1 C = 1 : 2 . Точки P , Q , R являются попарным пересечением отрез- ков AA 1 , BB 1 , CC 1 . Найти отношение площади треугольников ABC и P QR . 2.7. Параллелограмм. Ромб 1. Доказать, что сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон. 2. Доказать, что площадь ромба равна пролупроизведению длин его диагоналей. |