курсовая. Понятие метрического пространства Определение и основные примеры

• Название: Понятие метрического пространства Определение и основные примеры
• Анкор: курсовая.docx
• Дата: 14.06.2018
• Размер: 58.68 Kb.
• Имя файла: курсовая.docx
• Тип: Документы; #20299

Понятие метрического пространства

1. Определение и основные примеры. Одной из важнейших операций анализа является предельный переход. В основе этой операции лежит тот факт, что на числовой прямой определено расстояние от одной точки до другой. Многие фундаментальные факты анализа не связаны с алгебраической природой действительных чисел (т. е. с тем, что они образуют поле), а опираются лишь на понятие расстояния. Обобщая представление о действительных числах как о множестве, в котором введено расстояние между элементами, мы приходим к понятию метрического пространства — одному из важнейших понятий современной математики. Ниже мы изложим основные факты теории метрических пространств и их обобщения — топологических пространств. Результаты этой главы существенны для всего дальнейшего изложения.

Определение. Метрическим пространством называется пара (X, р), состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т. е. однозначной, неотрица* тельной, действительной функции р(х; у), определенной для любых х и у из X и подчиненной следующим трем аксиомам:

1. 
   р (x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у,
   
2. 
   р(x, y)= р(у, x) (аксиома симметрии),
   
3. 
   р(x,z) ≤ р(x, y) + р(у,z) (аксиома треугольника).
   

Само метрическое пространство, т. е. пару (X, р), мы будем обозначать, как правило, одной буквой:

R = (X, р).

В случаях, когда недоразумения исключены, мы будем зачастую обозначать метрическое пространство тем же символом, что и сам «запас точек» X.

Примеры метрических пространств
Приведем примеры метрических пространств. Некоторые из этих пространств играют в анализе весьма важную роль.

1. Положив для элементов произвольного множества





мы получим, очевидно, метрическое пространство. Его можно назвать пространством изолированных точек.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

|

образует метрическое пространство R¹.

3. Множество упорядоченных групп из n действительных чисел x=(x₁,x₂,…x_n) с расстоянием

(1)

называется n-мерным арифметическим евклидовым пространством Rⁿ. Справедливость аксиомы 1) и 2)для Rⁿ очевидна. Покажем что, в Rⁿ выполнена и аксиома треугольника.

Пусть x=(x_1,… ,x_n), y=(y₁,… y_n) и z=(z_1,… z_n);

тогда аксиома треугольника записывается в виде
≤ + (2)

Полагая y_k – x_k = a_k, z_k – y_k= b_k, получаем z_k – x_k = a_k + b_k,
≤+ (3)
Но это неравенство сразу следует из известного неравенства Коши-Бурянковского

≤ (4)
Действительно в силу этого неравенства имеем
=+2++2+=

Тем самым неравенство (3), а следовательно и (2), доказано. 4. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных групп из п действительных чисел х = (х_х,… ,х_п), ио расстояние определим в нем формулой


(5)

Справедливость аксиом 1)—3) здесь очевидна. Обозначим это метрическое пространство символом Rⁿ.

Возьмем снова то же самое множество, что и в примерах 3 и 4, и определим расстояние между его элементами формулой


(6)

Справедливость аксиом 1)—3) очевидна. Это пространство, которое мы рбозначим , во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство Rⁿ.

Последние три примера показывают, что иногда и в самом деле важно иметь различные обозначения для самого метрического пространства и для множества его точек, так как один и; тот же запас точек может быть по-разному метризован.

Множество С [а, b] всех непрерывных действительных функций, определенных на сегменте [a, b], с расстоянием
(7)
также образует метрическое пространство. Аксиомы 1)—3) проверяются непосредственно. Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать тем же символом С [а, b], что и само множество точек этого пространства. Вместо С[0, 1] мы будем писать просто С.

Открытые и замкнутые множества

Рассмотрим важнейшие типы множеств в метрическом пространстве, а именно, открытые и замкнутые множества.

Множество М, лежащее в метрическом пространстве R, называется замкнутым, если оно совпадает со своим замыканием: [М] = М. Иначе говоря, множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.

В силу теоремы 1 замыкание любого множества М есть замкнутое множество. Из той же теоремы вытекает, что [М] есть наименьшее замкнутое множество, содержащее М.

Примеры. 1. Всякий отрезок [а, b] числовой прямой есть замкнутое множество.

2. Замкнутый шар представляет собой замкнутое множество. В частности, в пространстве С[а,b] множество функций f, удовлетворяющих условию ≤К, замкнуто.

3. Множество функций в С [а, b], удовлетворяющих условию (открытый шар), не замкнуто; его замыкание есть совокупность функций, удовлетворяющих условию .

4. Каково бы ни было метрическое пространство R, пустое множество Ø и все R замкнуты.

5. Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, замкнуто.

Основные свойства замкнутых множеств можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Пересечение любого числа и сумма любого конечного числа замкнутых множеств суть замкнутые множества.

Доказательство. Пусть F = F_a ■— пересечение замкнутых множеств F_a и пусть х — предельная точка для F. Это означает, что любая ее окрестность О_в(х) содержит бесконечно много точек из F. Но тогда тем более О_е (х) содержит бесконечно много точек из каждого F_a и, следовательно, так как все F_a замкнуты, точка х принадлежит каждому F_a; таким образом, xF = F_a, т. е. F замкнуто.

Пусть теперь F — сумма конечного числа замкнутых множеств: F = и пусть точка х не принадлежит F. Покажем, что х не может быть предельной для F. Действительно, х не принадлежит ни одному из замкнутых множеств F_i, следовательно, не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого i можно найти такую окрестность точки х, которая содержит не более чем конечное число точек из F_i. Взяв из окрестностей , ..., наименьшую, мы получим окрестность точки х, содержащую не более чем конечное число точек из F.

Итак, если точка х не принадлежит F, то она не может быть предельной для F, т. е. F замкнуто. Теорема доказана.

Точка х называется внутренней точкой множества М, если существует окрестность этой точки, целиком содержащаяся в М.

Множество, все точки которого внутренние, называется открытым.

Примеры. 6. Интервал (а, b) числовой прямой R¹ есть открытое множество; действительно, если а < α < b, то О_е(а), где ε = min(α - а, b — α), целиком содержится в интервале (а, b).

7. Открытый шар В (а, r) в любом метрическом пространстве R есть открытое множество. Действительно, если х B(a,r), то (a,x)(a,x)Тогда В(х, B(x,ε) содержит B(a,r).

8. Множество непрерывных функций на [a, b], удовлетворяющих условию f(t)
Теорема 4. Для того чтобы множество М было открыто необходимо и достаточно, чтобы его дополнение R\M до всего пространства R было замкнуто.

Доказательство. Если М открыто, то каждая точка х из М имеет окрестность, целиком принадлежащую М, т. е. не имеющую ни одной общей точки с R\M. Таким образом, ни одна из точек, не принадлежащих R \ М, не может быть точкой прикосновения для R \ М, т. е. R \ М замкнуто. Обратно, если R \ М замкнуто, то любая точка из М имеет окрестность, целиком лежащую в М, т. е. М открыто.

Так как пустое множество и все R замкнуты и в то же время служат дополнениями друг друга, то пустое множество и все R открыты.

Из теоремы 3 и из принципа двойственности (пересечение дополнений равно дополнению суммы, сумма дополнений равна дополнению пересечения, см. стр. 15) вытекает следующая важная теорема, двойственная теореме 3.

Теорема 3'. Сумма любого (конечного или бесконечного) числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.

Множества, принадлежащие ϭ-алгебре, порожденной всеми открытыми и замкнутыми подмножествами пространства R, называются борелевскими множествами.


Определение групп и полугрупп
В основе всех понятий, изучаемых в различных разделах алгебры, лежит понятие алгебраической операции.
Ограничимся определением бинарной операции, которую назовем умножением и будем для нее употреблять обычную мультипликативную запись. Говорят, что на множестве G задана бинарная алгебраическая операция, если для любой упорядоченной пары элементов a,b∈G однозначно определено произведение a⋅b∈G. Всякое непустое множество G, в котором задана алгебраическая операция этого типа, называется группоидом.
Более узким понятием является полугруппа — это группоид, в котором выполняется закон ассоциативности, т.е. для любых элементов a,b,c∈G верно (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c). Свойство ассоциативности придает однозначный смысл произведению a⋅b⋅c любых трех элементов полугруппы. Отсюда следует, что и произведение a1,a2,…,an∈G любых n элементов, взятых в указанном порядке, также будет однозначно определенным элементом полугруппы.
Еще более узким является понятие группы, одно из самых важных алгебраических понятий.

Определение группы
Опеределение. Группой называется непустое множество G с бинарной алгебраической операцией ০ (будем называть умножением) такой, что выполняются следующие аксиомы:
1. ∀ a,b ∈G ∃ c∈G a⋅b=c — замкнутость операции ∘.
2. ∀ a,b,c∈G a⋅(b⋅c)=(a⋅b)⋅c — ассоциативность операции ∘.
3. ∃!e∈G ∀a∈G e⋅a=a⋅e=a — существование единичного элемента e.
4. ∀ a∈G ∃! a−1∈G a⋅a−1=a−1⋅a=e — существование обратного элемента a−1.
Определение. Группа называется коммутативной, если выполняется аксиома коммутативности:
5. ∀a,b∈G a⋅b=b⋅a — коммутативность операции ∘.

Примеры групп
1. G1={ n | n∈Z } – группа с операцией сложения чисел, где Z – множество целых чисел. Действительно, 0 – единица группы; n−1=(−n) – обратный элемент к n∈G1.
2. G2={ 2n | n∈Z } – группа с операцией сложения чисел.
3. G3={ 2n | n∈Z } – группа с операцией умножения чисел.
4. G4 – множество квадратных матриц порядка n, определитель которых не равен нулю, является группой с операцией умножения матриц.
5. G5 – множество ортогональных матриц порядка n является группой с операцией умножения матриц.
6. G6={ −1, 1 } – группа с операцией умножения чисел.
7. G7 = Q – множество рациональных чисел является абелевой группой относительно операций сложения и умножения (без нуля). Это поле F= рациональных чисел.
Замечание.

Непустое множество F с двумя бинарными алгебраическими операциями +, ∘ (сложение и умножение) называется полем, если выполняются условия:

1) F – абелева группа по сложению (аддитивная группа);

2) F0={ x∈F | x≠0 } – абелева группа по умножению (мультипликативная группа), где 0 – единица группы по сложению;

3) операции +, ∘ связаны законами дистрибутивновсти:

∀ x,y,z∈F x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx.
8. G8 = R – множество вещественных чисел является абелевой группой относительно операций сложения и умножения (без нуля). Это поле F= вещественных чисел.
9. G9 = {0,1} – абелева группа с операцией (⊕) сложения чисел по модулю 2. G9 без нуля {1} – абелева группа по умножению. Значит F=<{0,1},⊕,⋅> является полем (конечным).
10. G10 = M множество квадратных матриц порядка n является кольцом. G1 кольцо целых чисел.

Замечание.

Непустое множество M с двумя бинарными алгебраическими операциями +, ∘ (сложение и умножение) называется кольцом K=, если выполняются условия:

1) M – абелева группа по сложению (аддитивная группа);

2) M – группоид по умножению;

3) операции +, ∘ связаны законами дистрибутивности:

∀x,y,z ∈ M x(y+z)=xy+xz и (y+z)x=yx+zx.
11. G11=Sm — множество подстановок (перестановок) является группой с операцией умножения подстановок (симметрическая группа Sm, см. п.8.7.).

Определение. H ⊆ G называется подгруппой группы G, если H — группа относительно бинарной операции, определенной в G, т.е. для элементов H выполняются аксиомы 1—4. Так, например, являются подгруппами: G2 ⊂ G1, G5 ⊂ G4, G7 ⊂ G8.

Утверждение 8.1.1. Пусть M — подмножество группы G и ∀a,b ∈ M выполняется ab-1 ∈ M. Показать, что M — подгруппа. Данное условие можно рассматривать как характеристическое свойство группы.

Доказательство. Проверим выполнение аксиом группы.

1. Существование единичного элемента. Пусть a ∈ M, тогда

aa-1 ∈ M или e ∈ M.

2. Существование обратного элемента. Пусть a ∈ M и так как

e ∈ M, то ea-1 ∈ M или a-1 ∈ M.

3. Замкнутость. Пусть a,b ∈ M, тогда и b-1 ∈ M. Значит, и a(b-1)-1 ∈ M или ab ∈ M.

Примеры полугрупп и групп частных
Что значит привести пример полугруппы? Во- первых. это значит указать множество, во-вторых, задать на этом множестве бинарную операцию и, в-третьих, убедиться (доказать или вспомнить ранее установленное), что заданная операция ассоциативна. В примерах, которые последуют ниже, заинтересованному читателю как раз и предлагается либо вспомнить известное ранее о тех пли иных операциях, либо провести необходимые умозаключения пли выкладки, доказывающие ассоциативность соответствующих операций. Стандартные обозначения N. Z. Q и R используются для "главных" числовых множеств: всех натуральных, всех целых, всех рациональных и всех действительных чисел.

1.1 Аддитивная полугруппа натуральных чисел.

Это м есть первая полугруппа, с которой встречается всякий начинающий изучать математику в начальной школе и с которой люди, можно сказать, не расстаются всю жизнь.

1.2 Мультипликативная полугруппа натуральных чисел. Это определенно вторая среди полугрупп, с которой знакомятся все изучающие математику.

1.3 Назовем сразу шесть числовых полугрупп: каждое из множеств Z, Q. R является как аддитивно, так и мультипликативной полугруппой. В средних и старших классах школы это постоянные спутники изучающих математику. Три только что упомянутые аддитивные полугруппы являются даже группами. Напомним, что группой называется полугруппа, и которой есть нейтральный элемент и каждый элемент обладает симметричным к нему элементом; элемент е называется нейтральным относительно операции о, если для любого .у из рассматриваемого множества, элемент у симметричен элементу x если . Нейтральный элемент аддитивной [мультипликативной] полугруппы называют нулем [единецей], симметричный элемент --- противоположным [соответственно обратным].
Инвариантная метрика в полугруппах

Определение:

Метрика ρ на полугруппе S называется инвариантной, если ρ(x,y)=ρ(zx,zy) для любых x,y,z из S.

Пример 1. Рассмотрим полугруппу S=N с операцией умножения, ρ(m,n)=. Проверим является ли метрикой полугруппа , ρ(m,n)=.

ρ(m,n)=≥0, если m=n

ρ(m,n)==

ρ(m,n)≤ρ(m,z) + ρ(z,n), ,

Проверим, что это инвариантная метрика.

ρ(mz,zn)= Пример 2. Пусть мы имеем полугруппу S=R₊ с операцией сложения , ρ(x,y)=R₊ . Проверим является ли метрикой.

ρ(x,y)=, x,y € R⁺.

ρ(x,y)=, то по свойству модуля ρ(x,y)= x=y,

ρ(x,y)== ρ(y,x),

ρ(x,y), .

Проверим является ли инвариантной метрикой

ρ(x+z, z+y)=


Литература

1. 
   «Элементы теории функций и функционального анализа» Колмогоров А.Н., Фомин С.В.
   
2. 
   «Гармонический анализ на абелевых полугруппах» Миротин А.Р.
   

Содержание

Понятие метрического пространства…………………………………… 1

Примеры метрических пространств…………………………………….. 1

Открытые и замкнутые множества……………………………………… 2

Определение полугрупп и групп частных………………………………. 4

Примеры полугрупп и групп частных……………………………………6

Инвариантная метрика в полугруппах…………………………………... 6

Список литературы………………………………………………………... 7

Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»
Факультет математический

Кафедра математического анализа

Инвариантная метрика на абелевых полугруппах

Курсовая работа


Исполнитель:

студент группы М-31 _______________ Птушко П.Г.
Научный руководитель:

Доктор физ-мат наук,

профессор _______________ Миротин А.Р.

Гомель 2012