экзамен кратные интегралы. Последовательность точек nмерного пространства ( Опр координатного и Евклидового пространства, сферические и прямоугольные окрестности, последовательности и его предела, теорема БольцаноВейерштрасса)

• Название: Последовательность точек nмерного пространства ( Опр координатного и Евклидового пространства, сферические и прямоугольные окрестности, последовательности и его предела, теорема БольцаноВейерштрасса)
• Дата: 25.11.2020
• Размер: 497.29 Kb.
• Имя файла: экзамен кратные интегралы.docx
• Тип: Документы; #153810

1. 
   Последовательность точек n-мерного пространства ( Опр: координатного и Евклидового пространства, сферические и прямоугольные окрестности, последовательности и его предела, теорема Больцано-Вейерштрасса)
   

Рассмотрим упорядоченную совокупность n чисел 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 , где 𝑥𝑖 ∈ 𝐑. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей n чисел называется nмерным координатным пространством: 𝐑𝑛. Каждая упорядоченная совокупность 𝑀 (𝑥1,𝑥2,…,𝑥_n) - точка 𝐑𝑛.

Совокупность точек n-мерного пространства, для которых определено расстояние согласно формуле (1)называется n-мерным Евклидовым пространством и обозначается или

(1)

З а  м е ч а н и е.

         В случае    получается прямая, при    - плоскость; при    - пространство с обычным расстоянием и в случае произвольного    не нужно искать в определении какого-то скрытого физического или геометрического смысла. Это есть просто построение математического аппарата, удобного для изучения функции многих переменных.
Расстояние между точками в  -мерном евклидовом пространстве обладает следующими свойствами:
  1.  , причем   .

  2.  .

  3.  .

Определение 1.3. Пусть каждому натуральному числу   поставлено в соответствие   некоторое вещественное число   (причем разным натуральным  числам   могут  соответствовать и одинаковые числа).   Совокупность элементов   называется числовой    последовательностью (или просто последовательностью); каждый   элемент   называется членом последовательности, а число n - его    номером.

 

         Числовую последовательность   будем обозначать  , либо  . Согласно определения, последовательность всегда содержитбесконечное множество элементов.

 

Определение 1.4.Число А называется пределом данной последовательности                        ,  если               (1.2)

  При этом пишут     или   .

 

         Отметим, что неравенство (1.2)  эквивалентно

                                                                                    (1.2.1)

 

 Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

  Последовательность, не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

  1.  Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

             2.  ;

             3.  ;

             4.  ;

             5. Если    сходятся и   , то

                                 ;

Теорема ҰБольцано-Вейерштрасса)

Из любого ограниченной последовательности точек пространства Eⁿ можно выделить сходящуюся последовательность.

2. 
   Типы точек и множеств пространства Eⁿ ( определение точек: предельная, внутренная, граничная. Определение открытого, связного, замкнутого множества, области и выпуклой области)
   

  Пусть точка  М G,  где  G - множество,  принадлежащее  Rⁿ

(G  Rⁿ) .

 

Определение 3.4   Точка   M     G   называется внутренней точкой этого множества,  если существует   Е - окрестность этой точки такой,    что O(M; Е)     G.

 



 

Рис. 3.4

 

Определение 3.5.  Точка  N  называется граничной для множества  G ,  если в любой ее полной окрестности имеются точки,                                            как принадлежащие  G, так и не принадлежащие ему.                                            Сама  точка N  не обязательно принадлежит  G.

 

     Совокупность всех граничных точек множества  G  называется его границей ( Г ).

 

Определение3.6.              Множество  G  будем называть областью (или открытым  множеством), если все его точки внутренние.

 

 

         Всякое открытое множество, содержащее точку  Х,  называется ее окрестностью и обозначается  О(х).

     Обозначим      = G      Г,  тогда множество      будем называть замкнутой областью (замкнутое множество).

     Множество  S  называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной линией, состоящей из точек данного множества.

 

Пример 3.2.       Пусть Г = {x, y:  x   +  y   =  1} - граница множества  К.

                                    = K    Г  = {x, y:  x   +  y    1}.

 

Определение 3.7.  Если у точки  х     А   существует окрестность,  не  содержащая никаких других точек множества  А, кроме                                            самой точки  х,  то эта точка называется изолированной                                             точкой множества.

 

Определение 3.8. Точка  х  Rⁿ   называется предельной точкой некоторого множества  А   Rⁿ,  если    0(х)  содержит по крайней                                             мере одну точку множества  А, отличную от  х.

 

З а м е ч а н и е.      Очевидно, что предельная точка является граничной точкой. С другой стороны, всякая граничная точка множества  А  является либо ее изолированной точкой, либо предельной.

Рассмотрим некоторую область D. Если для любой пары точек

x1, x2 ∈ D (рис. 1.1) отрезок [x1, x2], включающий конечные точки

x1, x2, принадлежит области D, то область называется выпуклой,

в противном случае она называется невыпуклой.

3. 
   Предел функции нескольких пременных( Определения: функции, предела по Коши и по Гейне, предел на бесконечности, повторные пределы и их геометрический смысл)
   

 Пусть заданы два множества Х и Y. Если каждому элементу х Х поставлен в соответствие один и только один элемент у    У , обозначаемый f(х), и если каждый элемент у У при этом оказывается поставлен в соответствие хотя бы одному элементу  х Х, то говорится, что на множестве Х  задана однозначная функция у = f(х). Множество Х называется областью ее определения, а множество Y  -  множество ее значений. Элемент  х Х  называется аргументом или независимой переменной, а элементы у Y - значениями функции, или зависимой переменной..



 Определение предела функции

 

Определение 3.1. Пусть функция   f(х)  определена на некотором интервале (а,в),    кроме, быть может, точки  х_о  а, в  Число  А  называется пределом функции  f(х) в точке  х_о, т.е.

                                       ,

если               =      х   а, в),  удовлетворяющих условию

х  х_о       х  х_о                                              (3.1)

            f(x) - A                                                   (3.2)

 

 

Рис. 3.1.

Таким образом, число  А  называется пределом функции  f(х) в точке х_о A =  ,  при  х  х_о   тогда и только тогда, когда для любого ()    существует ( ) такая дельта окрестность       точки х_о 

 

     х  а в    х    х_о      х   х_о        f  x       .

4. 
   Непрерывность функции нескольких переменных на множестве ( определения: непосредственное, по Коши и по Гейне, по приращениям непрерывность в точек по координатам )
   

5. 
   Непреравность функции нескольких переменных на множестве ( Определение: непрерывности на множестве, равномерной непрерывности.Теоремы: Вейерштрасса, Больцано-Коши, Кантора)
   

Теорема 1. (Больцано-Коши) Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], причем f(a) 6= f(b). Тогда для любого числа C, заключенного между f(a) и f(b) найдется точка γ ∈ (a, b), что f(γ) = C.

Теорема 2. (первая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на [a, b], то она ограничена на нем, т.е. существует такое число M, что |f(x)| <=M, при всех x ∈ [a, b].

Теорема 3. (вторая теорема Вейерштрасса) Если f непрерывна на [a, b], то она достигает на нем своей верхней и нижней грани.

Определение 1. Функция f называется равномерно-непрерывной на промежутке X, если для любого ε > 0 найдется такая δ = δ(ε) > 0, что для любых двух точек x и x0 из X, удовлетворяющих условию |x − x0| < δ выполняется неравенство |f(x) − f(x0)| < ε

Теорема 4. (Кантора) Непрерывная на отрезке [a, b] функция f равномерно непрерывна на этом отрезке.