Лекция. Повторные независимые испытания лекция. Повторные независимые испытания

• Название: Повторные независимые испытания
• Анкор: Лекция
• Дата: 25.11.2022
• Размер: 252 Kb.
• Имя файла: Повторные независимые испытания лекция.doc
• Тип: Задача; #812454

Повторные независимые испытания

На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие  . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события   в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа   появлений события   в результате   испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события   в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.


Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.
Формула Бернулли

Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события   в  –м испытании.



Пусть проводится   независимых испытаний, в каждом из которых событие   может либо появиться с вероятностью  , либо не появиться с вероятностью  . Рассмотрим событие  , состоящее в том, что событие   в этих   испытаниях наступит ровно   раз и, следовательно, не наступит ровно   раз. Обозначим   появление события  , a   — непоявление события   в  –м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем
Событие   может появиться   раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием  . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из   элементов по  , т. е.  . Следовательно, событие   можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно  :




где в каждое произведение событие   входит   раз, а   —   раз.

Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна  . Так как общее количество таких событий равно  , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события   (обозначим ее  )

(3.2)

Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события  , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.


Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.

Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая  , по формуле (3.2) получаем

Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?

Решение.

Наивероятнейшее число появлений события


Наивероятнейшим числом появления события   в   независимых испытаниях называется такое число  , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события  . Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний   и вероятность появления события   в отдельном испытании. Обозначим   вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу  . Используя формулу (3.2), записываем

(3.3)

Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события   соответственно   и   раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность  , т. е.


Подставляя в неравенства значение   и выражения вероятностей   и  , получаем



Решая эти неравенства относительно  , получаем



Объединяя последние неравенства, получаем двойное неравенство, которое используют для определения наивероятнейшего числа:

(3.4)

Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице, т. е.



и событие может произойти в   испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что:
1) если   — целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно:   и  ;

2) если   — дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4);

3) если   — целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно:  .

При больших значениях   пользоваться формулой (3.3) для расчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга

справедливую для достаточно больших  , и принять наивероятнейшее число  , то получим формулу для приближенного вычисления вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу: (3.5)

Пример 2. Известно, что   часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий в количестве 250 шт. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий.

Решение. По условию  . Согласно неравенству (3.4) имеем
откуда  . Следовательно, наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, в партии из 250 шт. равно 234. Подставляя данные в формулу (3.5), вычисляем вероятность наличия в партии наивероятнейшего числа изделий:



Локальная теорема Лапласа

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях   очень трудно. Например, если  , то для отыскания вероятности   надо вычислить значение выражения


Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно   раз в   испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Теорема 3.1. Если вероятность   появления события   в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность   того, что событие   появится в   испытаниях ровно   раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше  ) значению функции
 при  .

Существуют таблицы, которые содержат значения функции  , соответствующие положительным значениям аргумента  . Для отрицательных значений аргумента используют те же таблицы, так как функция   четна, т. е.  .


Итак, приближенно вероятность того, что событие   появится в   испытаниях ровно   раз,

 где  .

Пример 3. Найти вероятность того, что событие   наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события   в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию  . Воспользуемся асимптотической, формулой Лапласа:



Вычислим определяемое данными задачи значение  :


По таблице прил, 1 находим  . Искомая вероятность


Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены):



Интегральная теорема Лапласа

Предположим, что проводится   независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события   постоянна и равна  . Необходимо вычислить вероятность  того, что событие   появится в   испытаниях не менее   и не более   раз (для краткости будем говорить "от   до   раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа.

Теорема 3.2. Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность   того, что событие  появится в испытаниях от   до   раз,

 где  .

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл   не выражается через элементарные функции. Таблица для интеграла   приведена в прил. 2, где даны значения функции   для положительных значений  , для   используют ту же таблицу (функция   нечетна, т. е.  ). Таблица содержит значения функции   лишь для  ; для   можно принять  .

Итак, приближенно вероятность того, что событие   появится в   независимых испытаниях от   до   раз,
 где  .


Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов,  . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию  . Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:


Вычислим пределы интегрирования:


нижний

верхний
Таким образом


По таблице прил. 2 находим


Искомая вероятность



Применение интегральной теоремы Лапласа

Если число   (число появлений события   при   независимых испытаниях) будет изменяться от   до  , то дробь   будет изменяться от   до  . Следовательно, интегральную теорему Лапласа можно записать и так:

(3.6)

Поставим задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты   от постоянной вероятности   по абсолютной величине не превышает заданного числа  . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства  , что то же самое,  . Эту вероятность будем обозначать так:  . С учетом формулы (3.6) для данной вероятности получаем

(3.7)

Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна,  . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности   по абсолютной величине не более чем на 0,03.


Решение. По условию  . Требуется найти вероятность  . Используя формулу (3.7), получаем



По таблице прил. 2 находим  , следовательно,  . Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9544. Смысл полученного результата таков: если взять достаточно большое число проб по 400 деталей в каждой, то примерно в 95,44% этих проб отклонение относительной частоты от постоянной вероятности   по абсолютной величине не превысит 0,03.


Формула Пуассона для маловероятных событий

Если вероятность   наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний  , но при небольшом значении произведения   получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей   оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле.

Теорема 3.3. Если вероятность   наступления события   в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний   достаточно велико, но значение произведения  остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие   наступит   раз,


Для упрощения расчетов с применением формулы Пуассона составлена таблица значений функции Пуассона   (см. прил. 3).


Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Решение. Здесь  . Все три числа удовлетворяют требованиям теоремы 3.3, поэтому для нахождения вероятности искомого события   применяем формулу Пуассона. По таблице значений функции Пуассона (прил. 3) при   получаем  .

Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение  , соответствующее  :


Поэтому согласно формуле Лапласа искомая вероятность



а согласно формуле Бернулли точное ее значение



Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей   по приближенной формуле Лапласа составляет
, или 


а по формуле Пуассона — 

, или 

т. е. во много раз меньше.