Лекция. Повторные независимые испытания лекция. Повторные независимые испытания
![]()
|
Повторные независимые испытания На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа появлений события в результате испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми. Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом. Формула Бернулли Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в –м испытании. ![]() Пусть проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие может либо появиться с вероятностью , либо не появиться с вероятностью . Рассмотрим событие , состоящее в том, что событие в этих испытаниях наступит ровно раз и, следовательно, не наступит ровно раз. Обозначим ![]() Событие может появиться раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием . Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из элементов по , т. е. . Следовательно, событие можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно : ![]() где в каждое произведение событие входит раз, а — раз. Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее количество таких событий равно , то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события (обозначим ее ) ![]()
Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли. ![]() Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску. Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая ![]() ![]() Пример 2. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми? Решение. ![]() Наивероятнейшее число появлений события Наивероятнейшим числом появления события в независимых испытаниях называется такое число , для которого вероятность, соответствующая этому числу, превышает или, по крайней мере, не меньше вероятности каждого из остальных возможных чисел появления события . Для определения наивероятнейшего числа не обязательно вычислять вероятности возможных чисел появлений события, достаточно знать число испытаний и вероятность появления события в отдельном испытании. Обозначим вероятность, соответствующую наивероятнейшему числу . Используя формулу (3.2), записываем ![]()
Согласно определению наивероятнейшего числа, вероятности наступления события соответственно и раз должны, по крайней мере, не превышать вероятность , т. е. ![]() Подставляя в неравенства значение и выражения вероятностей и , получаем ![]() Решая эти неравенства относительно , получаем ![]() Объединяя последние неравенства, получаем двойное неравенство, которое используют для определения наивероятнейшего числа: ![]()
Так как длина интервала, определяемого неравенством (3.4), равна единице, т. е. ![]() и событие может произойти в испытаниях только целое число раз, то следует иметь в виду, что: 1) если — целое число, то существуют два значения наивероятнейшего числа, а именно: и ![]() 2) если — дробное число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (3.4); 3) если — целое число, то существует одно наивероятнейшее число, а именно: . При больших значениях пользоваться формулой (3.3) для расчета вероятности, соответствующей наивероятнейшему числу, неудобно. Если в равенство (3.3) подставить формулу Стирлинга ![]()
![]() Пример 2. Известно, что часть продукции, поставляемой заводом на торговую базу, не удовлетворяет всем требованиям стандарта. На базу была завезена партия изделий в количестве 250 шт. Найти наивероятнейшее число изделий, удовлетворяющих требованиям стандарта, и вычислить вероятность того, что в этой партии окажется наивероятнейшее число изделий. Решение. По условию ![]() откуда ![]() ![]() Локальная теорема Лапласа Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях очень трудно. Например, если ![]() ![]() Естественно, возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую вероятность, не используя формулу Бернулли? Оказывается, можно. Локальная теорема Лапласа дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления событий ровно раз в испытаниях, если число испытаний достаточно велико. Теорема 3.1. Если вероятность появления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше ) значению функции ![]() ![]() Существуют таблицы, которые содержат значения функции ![]() Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях ровно раз, ![]() ![]() Пример 3. Найти вероятность того, что событие наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,2. Решение. По условию ![]() ![]() Вычислим определяемое данными задачи значение : ![]() По таблице прил, 1 находим ![]() ![]() Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату (выкладки ввиду их громоздкости опущены): ![]() ![]() Интегральная теорема Лапласа Предположим, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна . Необходимо вычислить вероятность того, что событие появится в испытаниях не менее и не более раз (для краткости будем говорить "от до раз"). Это можно сделать с помощью интегральной теоремы Лапласа. Теорема 3.2. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то приближенно вероятность того, что событие появится в испытаниях от до раз, ![]() ![]() При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл ![]() ![]() ![]() Итак, приближенно вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз, ![]() ![]() ![]() Пример 4. Вероятность того, что деталь изготовлена с нарушениями стандартов, . Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей нестандартных окажется от 70 до 100 деталей. Решение. По условию ![]() ![]() Вычислим пределы интегрирования: нижний ![]() верхний ![]() Таким образом ![]() По таблице прил. 2 находим ![]() Искомая вероятность ![]() ![]() Применение интегральной теоремы Лапласа Если число (число появлений события при независимых испытаниях) будет изменяться от до , то дробь ![]() ![]() ![]()
Поставим задачу найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превышает заданного числа . Другими словами, найдем вероятность осуществления неравенства ![]() ![]() ![]()
Пример 5. Вероятность того, что деталь нестандартна, . Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 400 деталей относительная частота появления нестандартных деталей отклонится от вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,03. Решение. По условию ![]() ![]() ![]() По таблице прил. 2 находим ![]() ![]() ![]() Формула Пуассона для маловероятных событий Если вероятность наступления события в отдельном испытании близка к нулю, то даже при большом числе испытаний , но при небольшом значении произведения получаемые по формуле Лапласа значения вероятностей оказываются недостаточно точными и возникает потребность в другой приближенной формуле. Теорема 3.3. Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но мала, число независимых испытаний достаточно велико, но значение произведения остается небольшим (не больше десяти), то вероятность того, что в этих испытаниях событие наступит раз, ![]() Для упрощения расчетов с применением формулы Пуассона составлена таблица значений функции Пуассона (см. прил. 3). ![]() Пример 6. Пусть вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных. Решение. Здесь ![]() ![]() Найдем вероятность того же события по формуле Лапласа. Для этого сначала вычисляем значение , соответствующее : ![]() Поэтому согласно формуле Лапласа искомая вероятность ![]() а согласно формуле Бернулли точное ее значение ![]() Таким образом, относительная ошибка вычисления вероятностей по приближенной формуле Лапласа составляет ![]() а по формуле Пуассона — ![]() т. е. во много раз меньше. |