Курсовая работа по численным методам. ЧМ КР Медведев ТКС-20. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Численные методы
Скачать 329.03 Kb.
|
2.1 Постановка задачи Общий вид системы из n нелинейных уравнений с неизвестными х1, х2,…,хn (2.1) Для СНУ (7.1) не существует аналитических методов решения. В некоторых случаях систему можно решить непосредственно. Например, для системы из 2-х нелинейных уравнений с 2-мянеизвестными х1, х2 иногда удается выразить одно неизвестное через другое неизвестное и свести СНУ к решению одного нелинейного уравнения. 2.2 Графический метод Исходная система нелинейных уравнений имеет вид: Преобразуем исходную СНУ к виду (2.1): Построим графики функции (Синий цвет в Приложение 1) и (Красный цвет в Приложении 1). С точностью . Определим координаты точки пересечения графиков (Приложение 1) : 2.3 Метод Ньютона Решение системы (2.1) сводится к решению СНУ (1.1). Составляем матрицу Якоби – матрицу из частных производных, вычисленных для функций системы (2.1) по каждому неизвестному . Выбираем . Последовательно выполняем итерации , на каждой из которых составляем и решаем систему из n линейных уравнений относительно погрешностей , неизвестных . (2.7) где Полученные значения используем для уточнения значения неизвестных на k-ой итерации: , Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока на k-ой итерации выполнится условие: (2.8) где – заданная предельная абсолютная погрешность неизвестных. Решаем систему нелинейных уравнений с точностью до методом Ньютона. Преобразуем СНУ к виду (2.1): Составим матрицу Якоби : В качестве нулевого приближения неизвестных xиyвыберем значения, полученные решением системы графическим методом с в разделе 2.2 (Приложение 1): Используя (2.2) последовательно выполняем итерации , на каждой из которых составляем и решаем систему из двух линейных уравнений относительно погрешностей , неизвестных . , где Первая итерация k=1: В результате решения СЛУ прямым методом находим значения погрешностей , и вычисляем первое приближение неизвестных : Условие (2.3) не выполняется т.к. | |= >0,001 Вторая итерация k=2: В результате решения СЛУ Методом Гаусса прямым ходом находим значения погрешностей , и вычисляем первое приближение неизвестных : Условие (2.3) выполняется. Запишем результаты с требуемой Выполним проверку полученного результата подстановкой в исходную СНУ: Абсолютные погрешности СНУ составляют: Для первого уравнения 0,0003 Для второго уравнения 0,0001 В обоих случаях погрешности являются меньшими заданного значения . Таким образом корнями СНУ с являются: Решение получено за 2 итерации 2.4 Метод Зейделя Определим графически или аналитически. Преобразование СНУ (2.1) к виду (2.2) и проверка условия (2.3)-(2.4) аналогичны соответствующим действиям метода итераций. Используя (2.6), последовательно выполняем итерации (2.6) Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока на k-ой итерации выполнится критерий (1.9). При выполнении условия (1.9) за искомое решения принимаем значения, вычисленные на последней k-ой итерации. Решаем систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001 методом Зейделя: Для решения системы представим ее в виде (2.2): В качестве нулевого приближения неизвестных xиyвыберем значения, полученные решением СНУ графическим методом с в разделе 2.2: Первая итерация: Проверим условие (1.9) для: – первого уравнения: ; – второго уравнения: ; Условие (1.9) не выполняется, т.к. . Вторая итерация : Проверим условие (1.9) для: – первого уравнения: ; – второго уравнения: ; Условие (1.9) не выполняется, т.к. . Третья итерация : Проверим условие (1.9) для: – первого уравнения: ; – второго уравнения: ; Условие (1.9) выполняется, т.к. . Запишем результаты третьей итерации с требуемой : Выполним проверку полученного результата подстановкой в исходную СНУ: Абсолютные погрешности решения СНУ составляют для первого уравнения 0,0003, для второго – 0,0000 и являются меньшими заданного значения . Таким образом корнями СНУ с являются 3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 3.1 Постановка задачи Система из дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, имеет вид: (3.1) где – независимая переменная. Решением СДУ (3.1) называется любая совокупность функций , которая после подстановки в (3.1), обращает ее в тождество. Общее решение системы (3.1) , где – произвольные постоянные. Частное решение системы получают из общего при определенных значениях произвольных постоянных, которые находят при наличии дополнительных условий. Если эти условия заданы в одной точке, получим задачу Коши. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка могут быть использованы и для решения задачи Коши СДУ. К решению СДУ сводится задача Коши для дифференциальных уравнений высших порядков. Рассмотрим ДУ второго порядка , где х – независимая переменная, с начальными условиями Введем вторую неизвестную функцию и получим систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных: (3.2) с начальными условиями 3.2 Одношаговый метод Эйлера Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений, где где х – независимая переменная, с начальными условиями (3.3) Формулы Эйлера решения СДУ (3.3): (3.4) где – шаг переменной , . Решим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка в поставленной задаче Коши с начальными условиями: Задача Коши [1,2;1,5] Представим дифференциальное второго порядка в постановке задачи Коши в виде системы двух дифференциальных первого порядка. Приведем исходное дифференциальное уравнение к виду : Введем вторую неизвестную функцию и получим по (3.2): С начальными условиями Разбив отрезок [1,2;1,5] на части с шагом получим четыре узловые точки с абсциссами . Точка – начальная точка, тогда согласно исходным условиям. Найдем и для по (3.4): Найдем и для по (3.4): Найдем и для по (3.4): Ответ представим с в виде таблицы Таблица 1 – Результат расчетов одношаговым методом Эйлера
|