Главная страница
Навигация по странице:

  • 2.2 Графический метод

  • 2.3 Метод Ньютона


  • 2.4 Метод Зейделя

  • 3.1 Постановка задачи

  • 3.2 Одношаговый метод Эйлера

  • Курсовая работа по численным методам. ЧМ КР Медведев ТКС-20. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Численные методы


    Скачать 329.03 Kb.
    НазваниеПояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Численные методы
    АнкорКурсовая работа по численным методам
    Дата23.09.2022
    Размер329.03 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЧМ КР Медведев ТКС-20.docx
    ТипПояснительная записка
    #692934
    страница2 из 3
    1   2   3

    2.1 Постановка задачи
    Общий вид системы из n нелинейных уравнений с неизвестными х1, х2,…,хn (2.1)

    Для СНУ (7.1) не существует аналитических методов решения. В некоторых случаях систему можно решить непосредственно. Например, для системы из 2-х нелинейных уравнений с 2-мянеизвестными х1, х2 иногда удается выразить одно неизвестное через другое неизвестное и свести СНУ к решению одного нелинейного уравнения.

    2.2 Графический метод
    Исходная система нелинейных уравнений имеет вид:



    Преобразуем исходную СНУ к виду (2.1):



    Построим графики функции (Синий цвет в Приложение 1) и (Красный цвет в Приложении 1). С точностью . Определим координаты точки пересечения графиков (Приложение 1) :
    2.3 Метод Ньютона

    Решение системы (2.1) сводится к решению СНУ (1.1). Составляем матрицу Якоби – матрицу из частных производных, вычисленных для функций системы (2.1) по каждому неизвестному .



    Выбираем .

    Последовательно выполняем итерации , на каждой из которых составляем и решаем систему из n линейных уравнений относительно погрешностей , неизвестных .

    (2.7)

    где



    Полученные значения используем для уточнения значения неизвестных на k-ой итерации:

    ,

    Продолжаем итерационный процесс до тех пор, пока на k-ой итерации выполнится условие:

    (2.8) где – заданная предельная абсолютная погрешность неизвестных.

    Решаем систему нелинейных уравнений с точностью до методом Ньютона.

    Преобразуем СНУ к виду (2.1):



    Составим матрицу Якоби :


    В качестве нулевого приближения неизвестных xиyвыберем значения, полученные решением системы графическим методом с в разделе 2.2 (Приложение 1):

    Используя (2.2) последовательно выполняем итерации , на каждой из которых составляем и решаем систему из двух линейных уравнений относительно погрешностей , неизвестных .

    , где













    Первая итерация k=1:















    В результате решения СЛУ прямым методом находим значения погрешностей , и вычисляем первое приближение неизвестных :





    Условие (2.3) не выполняется т.к. | |= >0,001

    Вторая итерация k=2:















    В результате решения СЛУ Методом Гаусса прямым ходом находим значения погрешностей , и вычисляем первое приближение неизвестных :





    Условие (2.3) выполняется.

    Запишем результаты с требуемой



    Выполним проверку полученного результата подстановкой в исходную СНУ:



    Абсолютные погрешности СНУ составляют:
    Для первого уравнения 0,0003
    Для второго уравнения 0,0001
    В обоих случаях погрешности являются меньшими заданного значения . Таким образом корнями СНУ с являются:



    Решение получено за 2 итерации

    2.4 Метод Зейделя

    Определим графически или аналитически. Преобразование СНУ (2.1) к виду (2.2) и проверка условия (2.3)-(2.4) аналогичны соответствующим действиям метода итераций.

    Используя (2.6), последовательно выполняем итерации

    (2.6)

    Итерационный процесс продолжают до тех пор, пока на k-ой итерации выполнится критерий (1.9).

    При выполнении условия (1.9) за искомое решения принимаем значения, вычисленные на последней k-ой итерации.

    Решаем систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001 методом Зейделя:



    Для решения системы представим ее в виде (2.2):



    В качестве нулевого приближения неизвестных xиyвыберем значения, полученные решением СНУ графическим методом с в разделе 2.2:

    Первая итерация:



    Проверим условие (1.9) для:

    – первого уравнения: ;

    – второго уравнения: ;

    Условие (1.9) не выполняется, т.к. .

    Вторая итерация :



    Проверим условие (1.9) для:

    – первого уравнения: ;

    – второго уравнения: ;

    Условие (1.9) не выполняется, т.к. .

    Третья итерация :



    Проверим условие (1.9) для:

    – первого уравнения: ;

    – второго уравнения: ;

    Условие (1.9) выполняется, т.к. .

    Запишем результаты третьей итерации с требуемой :



    Выполним проверку полученного результата подстановкой в исходную СНУ:



    Абсолютные погрешности решения СНУ составляют для первого уравнения 0,0003, для второго – 0,0000 и являются меньшими заданного значения . Таким образом корнями СНУ с являются

    3. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
    3.1 Постановка задачи
    Система из дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, имеет вид:

    (3.1)

    где – независимая переменная.

    Решением СДУ (3.1) называется любая совокупность функций , которая после подстановки в (3.1), обращает ее в тождество.

    Общее решение системы (3.1)

    , где – произвольные постоянные.

    Частное решение системы получают из общего при определенных значениях произвольных постоянных, которые находят при наличии дополнительных условий. Если эти условия заданы в одной точке, получим задачу Коши. Одношаговые и многошаговые методы решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка могут быть использованы и для решения задачи Коши СДУ.

    К решению СДУ сводится задача Коши для дифференциальных уравнений высших порядков. Рассмотрим ДУ второго порядка , где х – независимая переменная, с начальными условиями

    Введем вторую неизвестную функцию и получим систему из двух дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных:

    (3.2)

    с начальными условиями

    3.2 Одношаговый метод Эйлера

    Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений, где где х – независимая переменная, с начальными условиями

    (3.3)

    Формулы Эйлера решения СДУ (3.3):

    (3.4)

    где – шаг переменной , .

    Решим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка в поставленной задаче Коши с начальными условиями:

    Задача Коши [1,2;1,5]

    Представим дифференциальное второго порядка в постановке задачи Коши в виде системы двух дифференциальных первого порядка. Приведем исходное дифференциальное уравнение к виду :



    Введем вторую неизвестную функцию и получим по (3.2):



    С начальными условиями

    Разбив отрезок [1,2;1,5] на части с шагом получим четыре узловые точки с абсциссами .

    Точка – начальная точка, тогда согласно исходным условиям.

    Найдем и для по (3.4):





    Найдем и для по (3.4):





    Найдем и для по (3.4):





    Ответ представим с в виде таблицы

    Таблица 1 – Результат расчетов одношаговым методом Эйлера

    X

    1,2

    1,3

    1,4

    1,5

    Y

    0

    0,05

    0,108

    0,173
    1   2   3


    написать администратору сайта