Курсовая работа по численным методам. ЧМ КР Медведев ТКС-20. Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Численные методы

• Название: Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине Численные методы
• Анкор: Курсовая работа по численным методам
• Дата: 23.09.2022
• Размер: 329.03 Kb.
• Имя файла: ЧМ КР Медведев ТКС-20.docx
• Тип: Пояснительная записка; #692934
• страница: 3 из 3

3.3 Трёхшаговый метод Адамса

Для использования многошаговых ( -шаговых) методов, необходимо сначала любым одношаговым методом вычислить решение на предыдущих шагах (в точках ).

Формулы трёхшагового метода Адамса решения СДУ (3.3):

(3.8)

Решим дифференциальное уравнение второго порядка из пункта 3.2

Представим дифференциальное второго порядка в постановке задачи Коши в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка



С начальными условиями

Разбив отрезок [1,2;1,5] на части с шагом , получим четыре узловые точки с абсциссами

Т.к. начальной точкой является точка , то согласно исходным условиям.

Решением в точке будут значения полученные с помощью Одношагового метода Эйлера в пункте 3.2



Решением в точке будут значения полученные с помощью Одношагового метода Эйлера в пункте 3.3:

Найдем



Ответ представим с в виде таблицы

Таблица 2 - Результат расчетов Трёхшагового метода Адамса

X	1,2	1,3	1,4	1,5
Y	0	0,05

3.4 Решение Краевой задачи
Для дифференциального уравнения второго порядка

(3.6)

Краевая задача заключается в поиске функции на отрезке , удовлетворяющей на концах отрезка условиям, которые заданы в частном виде:

(3.7)

или в общем виде:

(3.8)

где – некоторые постоянные величины.

Рассмотрим метод конечных разностей, т.к. он позволяет свести решение краевой задачи для дифференциального уравнения к решению системы алгебраических уравнений относительно значений функции на заданном множестве точек. Это достигается путем замены производных, входящих в ДУ, их конечно-разностными аппроксимациями.

Разобьем отрезок [a,b] на равных отрезков длиной h точками x_i+1=x_i+h , , где x₀=aиx_m=b. Точки называют узлами сетки, – шагом сетки, точки и – граничными узлами, а – внутренними узлами.

Решение краевой задачи заменим вычислением значений сеточной функции в узловых точках . Для этого запишем уравнение (3.6) для внутренних узлов:

. (3.9)

Заменим производные, входящие в эти соотношения их конечно-разностными аппроксимациями:

,

Подставляя эти выражения в (3.9), получим систему разностных уравнений, представляющей собой систему из алгебраического уравнения относительно значений сеточной функции . значение и , входящих в эту систему, берут из граничных условий:

(3.10)

Если граничные условия заданы в общем виде (3.8), то их необходимо представить в разностном виде путем аппроксимации производных и конечно-разностными соотношениями:

,

Т.о. граничные условия (3.9) примут вид:

(3.11)

Система (3.10), дополненная при необходимости уравнениями (3.11), является системой из (или ) линейных или нелинейных уравнений, относительно значений сеточной функции (или ).

Матрица коэффициентов полученной СЛУ является трехдиагональной и может быть решена методом прогонки.

Запишем трехдиагональную систему из n линейных уравнений в виде:



где .

Метод прогонки состоит из этапов: прямой прогонки и обратной прогонки.

На этапе прямой прогонки выражают из i-го уравнения неизвестное через с помощью прогоночных коэффициентов:

(3.12)

Из первого уравнения

.

Поскольку , следовательно: .

Из второго уравнения:

,

.

Поскольку , следовательно ,
где .

Для : , .

Обратная прогонка начинается с вычисления из последнего уравнения:

,

,

.

Далее вычисляют по формуле (3.15) и формулам прогоночных коэффициентов.

Решим с ДУ второго порядка в постановке краевой задачи методом конечных разностей на отрезке [1,2;1,5] c шагом и граничными условиями:



Разбив отрезок [1,2 1,5] на части с шагом получим четыре узловые точки с абсциссами

Две точки являются граничными, а остальные две – внутренними

Исходное ДУ второго порядка во внутренних точках заменим конечно-разностными уравнениями по (3.10):



Из первого граничного условия, заданного в общем виде (3.11), составим конечно-разностное уравнение в граничной точке .

Из второго граничного условия, заданного в частном виде по (3.10), запишем значение в граничной точке :



Таким образом, исходная задача сводится к решению системы уравнений



Решим полученную СЛУ методом прогонки.

Из первого уравнения выразим :

)/3

Подставим выражение для во второе уравнение и выразим из него :







Подставим выражение для в третье уравнение и выразим из него







Вычислив значение = , вычислим далее == , из второго уравнения и = из первого уравнения.

Ответ представим с в виде таблицы.

Таблица 3 - Результат решение Краевой задачи

Х	1,2	1,3	1,4	1,5
Y	1

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения курсовой работы исследованы методы решения систем линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений.

В первом разделе была решена система линейных уравнений с заданной точностью методом Гаусса по схеме единственного деления, в ходе которого найдены корни СЛУ, а так же получена абсолютная погрешность, а именно для первого уравнения – 0,0034, для второго – 0,0098, для третьего – 0,0061, для четвертого – 0,0054. После уточнено с заданной точностью полученное решение методом простой итерации, погрешностью которого не превышала 0,001.

Во втором разделе исследована система из двух нелинейных уравнений. В ходе решения задействованы три метода: графический метод, метод Ньютона и итерационный метод Зейделя. Можно заключить что итерационный метод Зейделя является более точным, по сравнению с Методом Ньютона.

В третьем разделе решено дифференциальное уравнение ІІ порядка на отрезке в постановке задачи Коши одношаговым методом Эйлера и методом трехшагового Адамса, а также в постановке краевой задачи с заданными графическими условиями. Можно констатировать

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1966. – 664 стр.

2. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы инженерных исследований. – Киев: Высшая шк., 1986. – 263 стр.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование – М.: Высш. шк., 1990. – 544 стр.

4. Копченова Н.В., Марон И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 512с.

5. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. – 432 с. –C. 190 – 195.
(Приложение 1) – Решение СНУ графическим методом.