Определение ОДУ. Порядок ОДУ. Решение ОДУ. Постановка задачи Коши для ОДУ 1ого порядка разрешенных и неразрешенных относительно производной для норм систем ОДУ ..и т.д.
Решением ОДУ называется функция y(x), имеющая непрерывные производные нужного порядка, исходя из уравнений, при постановке которые уравнение превращается в точку. Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x),y''(x),...,y(n)(x) до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Частное решение диф.ур.-ф-ция превращающая ур.в подмножество. Общее решение-все множество частных результатов.
Задача Коши-нахождение решения ДУ, удовлетворяющего начальным условиям.
ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно производных (нормальная система n-го порядка)
ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной
|
Общий вид ОДУ без выделения вектора произвольных постоянных C таков (см. п. 1.1.2):
Если (1) можно разрешить относительно старших производных, т. е. привести к виду
то путем увеличения числа неизвестных скалярных функций (см. п. 1.4.5) уравнение (2) всегда можно привести к нормальному виду
Поэтому в дальнейшем основным объектом изучения будет именно нормальная система (НС).
Задача Коши, или начальная задача для уравнения (2) — это система, состоящая из (2) и начального условия
где t0 О R — начальный момент, y0 — начальное значение. Для (НС) начальное условие записывается в виде
Геометрический смысл задачи Коши (НС), (НУ) заключается в том, чтобы во множестве всех интегральных кривых системы (НС) найти ту, которая проходит через точку(t0, x0) (см. рис. 1).
График решения ОДУ y=f(x) называется интегральной кривой ДУ. Нахождение множества решений ДУ называют интегрированием ДУ
|
2)Уравнения с разделяющимися переменными.
1. Уравнения с разделёнными переменными. Так называются уравнения вида удовлетворяющее начальному условию
Пусть y(x) - решение этого уравнения, т.е. f(x)dx + g(y(x))dy(x) = 0. Интегрируя это тождество, получим  - общий интеграл (общее решение) этого уравнения.
Пример: решить задачу Коши  Исходное уравнение - с разделёнными переменными, интегрируя его, получим  . Соотношение (x-1)2 + y3 = C - общее решение (общий интеграл) уравнения; для того, чтобы найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию, надо подставить в общее решения данные значения x0 и y0, и найти значение постоянной C на этом решении: (2-1)2 + 13 = 2  C = 2. Таким образом, решение поставленной задачи: (x-1)2 + y3 = 2.
2. Так называются уравнения вида
 или (1)
|
|
f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 (2)
|
|
Эти уравнения легко сводятся к уравнению с разделёнными переменными:
Записываем уравнение (1) в форме  , затем делим на g(y) и умножаем на dx:  .
Уравнение (2) делим на f2(x) g1(y):  .
Эти уравнения - с разделёнными переменными. Интегрируя, получим общие интегралы:
 .
 .
В обоих случаях возможна потеря решений: деление на функцию может привести к уравнению, которое неэквивалентно данному.
Если функция g(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции y = y1, y = y2,
y = y3, …, очевидно, являются решениями исходного уравнения.
Если функция f2(x) имеет действительные корни x1, x2, x3, …, функция g1(y) имеет действительные корни y1, y2, y3, …, то функции x = x1, x = x2, x = x3, …, y = y1, y = y2, y = y3, … являются решениями исходного уравнения.
В обоих случаях эти решения могут содержаться в общем решении, но могут и не содержаться в нём; последнее может случиться, если на этих решениях нарушаются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
|
7)ОДУ высших порядков. Простейшие случаи, допускающие понижение порядка уравнения..
Дифференциальным уравнением порядка n называется уравнение вида:  .
В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно y(n):  .
Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений.
Опр. Решение y=φ(x) удовлетворяет начальным условиям x0, y0, y0’, …, y0(n-1), если φ(x0)=y0, φ’(x0)=y0’, …,
φ(n-1)(x0)=y0(n-1).
Уравнения, допускающие понижение порядка.
Понижение порядка диф ур-ния – основной метод решения ур-ний высших порядков. Этот метод дает возможность сравнительно легко находить решение, однако, он применим далеко не ко всем ур-ниям. Рассмотрим случаи, когда возможно понижение порядка.
Уравнения вида y(n) = f(x).
Если f(x) – ф-ция непрерывная на некотором промежутке a
|
3.Линейное однородное уравнение первого порядка  
Общее решение:   .
Линейное неоднородное уравнение первого порядка
 
Общее решение:
  
Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных)
Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами (1)
с начальными условиями
 . (2)
План решения.
1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами
 . (3)
Находим фундаментальную систему решений и и общее решение однородного уравнения
 .
2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).
Если известна фундаментальная система решений и однородного уравнения (3), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле
 ,
где функции и определяются из системы линейных алгебраических уравнений
|
 (4)
Интегрируя, находим функции и и записываем общее решение неоднородного уравнения.
3. Используя начальные условия (2), находим решение задачи Коши
Метод Бернулли.
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид  . При n = 1 это дифференциальное уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными  .
Одним из методов решения дифференциального уравнения Бернулли является сведение его к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка введением новой переменной . Действительно, при такой замене имеем  и дифференциальное уравнение Бернулли примет вид
 .
После решения этого уравнения и проведения обратной замены получаем искомое решение.
|
4.Структура решения линейного неоднородного ОДУ.
Теорема (о структуре общего решения неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения:
, (3)
где – частное решение ДУ(1), y0 – общее решение соответствующего однородного ДУ (2):
y(n) + a1 y(n-1) + ... +an y = 0,
Докажем теорему для уравнения второго порядка
y// +py/ + qy = f (x). (4)
где p, q – константы, f (x) 0.
Рассмотрим соответствующее однородное ДУ:
y// +py/ + q = 0. (5)
Обозначим y1, y2 его линейно независимые частные решения и y0 = c1y1 + c2y2 – его общее решение.)
Пусть – какое-то частное решение ДУ (4). Покажем, что решение (3) удовлетворяет ДУ (4). Подставим формулу (3) в ДУ (4) (предва-рительно найдём производные):
.
Перегруппируем:
.
Получаем тождественное равенство, так как первая скобка обращается в нуль в силу того, что y0– общее решение однородного ДУ(5), а вторая скобка равна правой части, так как – частное решение ДУ (4). Теорема доказана.
Принцип суперпозиции
Если yk(x) - решение линейного уравнения
    
то   - решение уравнения
    
|
 5)Уравнение Бернулли, два метода его решения
Если α — действительное число, отличающееся от 0 и 1, т.к. при α=0 и α=1 ур-ние обращается в линейное. Данное ур-ние решается 2 способами:
1.Из него можно сделать линейное ур-ние, разделив :
2..Решать точно так же как и однородное ур-ние, поскольку левая часть у них одинаковая.
|
6.Рассмотрим уравнение вида
F ( x , y , y ' ) = 0 ,
не разрешённое относительно производной. Если попытаться выразить из него y ' , то можно получить , вообще говоря , несколько уравнений
Геометрически это означает , что в каждой точке задаётся несколько направлений поля.
| |
Скачать 0.93 Mb.