ОДУ первого порядка, разрешённое относительно производной
Система n ОДУ первого порядка, разрешённая относительно старших производных
ОДУ n-го порядка, разрешённое относительно старшей производной
Случай 1. Уравнение вида x=f(y,y').
В этом случае переменная x выражается явно через переменную y и ее производную y'. Введем параметр . Продифференцируем уравнение x = f(y,y') по переменной y. Получаем:
Поскольку , то последнее выражение можно переписать в виде:
Получаем явное дифференциальное уравнение, общее решение которого описывается функцией
где C − произвольная постоянная.
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения определяется в параметрической форме системой двух алгебраических уравнений:
Если из этой системы исключить параметр p, то общее решение можно выразить в явном виде x = f(y,C)
Уравнение Лагранжа
Дифференциальное уравнение вида
где φ(y') и ψ(y') − известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа.
Уравнение Клеро
Уравнение Клеро имеет вид:
где ψ(y') − некоторая нелинейная дифференцируемая функция. Уравнение Клеро является частным случаем уравнения Лагранжа, когда φ(y') = y'
Огибающая семейства кривых
Пусть дано семейство гладких кривых , определяемых уравнением
где - произвольная постоянная (параметр) и функция , непрерывно дифференцируемая на некоторой области точек .
|
8 вопрос
Линейное ОДУ n-гопорядка
Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x).
Коэффициенты уравнения an-1(x), an-2(x), ..., a1(x), a0(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,
Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка:
L(y) ≡ y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y.
L(y) = 0 и L(y) = f(x) — соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи.
При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и Ck [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.
Задача коши
Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение
y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x),
в которое неизвестная функция y = y(x) и все ее производные входят линейно.
Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения.
Если в уравнении y(n) + an-1(x)y(n - 1) + ... + a1(x)y' + a0(x)y = f(x) все коэффициенты ai(x) и правая часть f(x) непрерывны на отрезке [a;b] , то задача Коши для этого уравнения с начальными условиями
y(a) = y0, y '(a) = y1,0 , ..., y(n − 1) (a) = yn,0
имеет единственное на всем отрезке [a;b] решение y = y(x) .
Следует понимать, что теорема имеет "глобальный" характер — решение существует и единственно всюду, где непрерывны коэффициенты и правая часть уравнения.
Линейная зависимость и независимость
Справедливо следующее утверждение.
Функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является на этом отрезке линейной комбинацией других .
Очевидны следующие утверждения.
• Если среди функций y1(x), y2(x), ..., yn(x) есть нулевая функция, то функции линейно зависимы.
• Если функции y1(x), y2(x), ..., yk(x) линейно зависимы, то при любых yk + 1(x), yk + 2(x), ..., yn (x) функции y1(x), y2(x), ..., yk(x), yk + 1(x), ..., yn(x) также линейно зависимы.
• Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] , то они линейно зависимы и на любом отрезке, лежащем внутри [a;b] .
• Если функции y1(x), y2(x), ..., yn(x) линейно независимы на [a;b] , то они линейно независимы и на любом отрезке, содержащем отрезок [а;b] (если, они определены на этом отрезке).
Вектор–функции Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x), 
|
называются линейно зависимыми на отрезке [a;b] , если существуют постоянные α1, α2, ..., αn , не равные нулю одновременно и такие, что
α1 Y1(x) + α2 Y2(x) + ... + αn Yn(x) = 0
для всех x из отрезка [a; b].
В противном случае функции Y1(x), Y2(x), ..., Yn(x) называются линейно независимыми.
Критерий линейной независимости
Критерий линейной независимости функций.
Если (n - 1) раз дифференцируемые функции F1,F2…Fn линейно зависимы на сегменте [a,b],W(x)=0 на [a,b].
Если линейно независимые функции F1,F2…Fn являются решениями линейного однородного уравнения
Где Pj(j=1,n) непрерывные на сегменте [a,b] функции, то W(x)не равен 0 на [a,b].
Общее решение рассматриваемого уравнения при есть линейная комбинация  линейно независимых частных решений yi этого уравнения.
Линейные дифферинциальный оператор n-го порядка
Понятие о линейном дифференциальном операторе n-го порядка
Для упрощения дальнейшего изложения обозначим левую часть линейного уравнения (10.1) через L(y):
L(y) ≡ y (n) + p1 (x) y (n – 1) + … + pn – 1 (x) y ' + pn (x) y. (10.3)
Таким образом, L(y) есть результат выполнения над функцией y операций, указанных в правой части формулы (10.3), а именно: вычисление производных от функции y вплоть до порядка т включительно, умножение y0, , …, , на заданные функции p1, …, pn, 1 и сложение полученных произведений. Совокупность этих операций обозначим символом L: L ≡ + p1 (x) + pn – 1 (x) + pn (x)
и будем называть его линейным дифференциальным оператором n-го порядка. В частности, линейный дифференциальный оператор второго порядка имеет вид
L ≡ + p1 (x) + p2 (x).
Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основными свойствами (линейность оператора L):
1) постоянный множитель можно выносить за знак оператора
L(ky)=kL(y);
2) оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих функций
L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2).
Из этих основных свойств оператора L следует, что L Ck yk = Ck L(yk).
т. е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинации операторов от этих функций.
Используя оператор L, можно записать неоднородное и однородное линейные уравнения (10.1) и (10.2) соответственно в виде
L(y) = f (x) и L(y) = 0
Матрица Грама
Если функция y = y(x) является решением уравнения L(y) = f (x) или L(y) = 0. в некотором интервале (a, b), то значение оператора L от этой функции равно f (x) или нулю при всех x из (a, b): L(y(x)) ≡ f (x) (a < x < b) или L(y(x)) ≡ 0 (a < x < b).
|
9.Определитель Вронского системы функций. Свойства определителя Вронского системы функций и системы решений линейного ОДУ n-ого порядка.
Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций  , дифференцируемых на промежутке I (n-1)-раз — функция на I, задаваемая определителем следующей матрицы:
 .
Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций с n компонентами:  . Тогда определитель будет выглядеть так (обозначим его W2):
 .
Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.
СВОЙСТВА:
Если  — линейно зависимы на I, то 
Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное вообще говоря неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).
Если - решения линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то  называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает,
что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке I, что означает линейную независимость функций .
Если - решения линейной однородной системы, то
 либо тождественно равен нулю, и это означает, что линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке I, что означает линейную независимость функций .
 - где Wi — определитель
|
Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:
Справедливо следующее необходимое условие линейной зависимости функций.
1)Если функции f1(x), f2(x), ..., fn(x) линейно зависимы на отрезке [a;b], то их определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке:W(x; f1(x), f2(x), ..., fn(x)) ≡ 0 на [a;b].
2) обратное утверждение неверно. Определитель Вронского линейно независимой системы функций может быть тождественно равен нулю.
3)но если определитель Вронского системы функций на некотором отрезке отличен от тождественного нуля, то система функций линейно независима на этом отрезке.
ПРИМЕР:
Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций 1,x2,3 + 2x2 равен нулю:
Проверим теперь линейную независимость функций 1,x,x3
Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.
|
|
| |
Скачать 0.93 Mb.