математическая грамотность. РП_Математическая грамотность5-9. Пояснительная записка Понятие функциональной грамотности сравнительно молодо появилось в конце 60х годов прошлого века в документах юнеско и позднее вошло в обиход исследователей.
 Скачать 2.99 Mb.
|
|
Решение подобных логических задач. Занятие 5. Первые шаги в геометрии. Простейшие геометрические фигуры Текст для чтения: За несколько столетий до нашей эры в Египте, Китае, Вавилоне, Греции уже существовали начальные геометрические знания, которые добывались в основном опытным путем и передавались от поколения к поколению в виде правил и рецептов. Первым, кто начал получать новые геометрические факты при помощи рассуждений (доказательств), был древнегреческий математик Фалес (VIвек до нашей эры. Сочинение греческого ученого Евклида (жившего в Александрии в III веке до н.э.) «Начало» почти 2000 лет являлось основной книгой, по которой изучали геометрию. С геометрическими понятиями вы начинаете знакомиться с самого раннего детства: круг, квадрат, угол, куб, измерение отрезков, площадь, объем, и т.д. При изучении фигур в геометрии не берется во внимание, из какого материала они сделаны, какого цвета, в каком состоянии находятся (твердое, жидкое, газообразное). Этим занимается физика, химия, биология. Изучая геометрию, мы будем рассматривать формы и размеры предметов. ˗ Шкаф, спичечный коробок, кирпич, многоэтажный дом – прямоугольный параллелепипед. ˗ Футбольный мяч, резиновый мяч, мыльный пузырь – шар. ˗ Блин, солнце, луна, озеро – круг. ˗ Красный кубик, синий кубик, зеленый кубик – куб. 19 Тогда получим, что Боря и Ваня на первом месте, чего быть не может. Следовательно - Боря также не мог соврать 20 Тогда среди участников соревнований нет такого человека, который бы занял первое место, а такого быть не может. Следовательно, Ваня также не мог соврать 21 Если Гриша соврет, то у каждого участника будет свое призовое, в отличие от других таблиц. Следовательно, по итогам опроса неправду сказал Гриша, а все остальные сказали правду, Значит, первое место займет Ваня 22 неправду сказал Гриша, а первое место занял Ваня 30 Итак, геометрия изучает форму, размеры, взаимное расположение предметов независимо от их массы, цвета и т. д. Вопросы для обсуждения: Как простые геометрические фигуры могут помочь современному человеку в жизни? Как треугольник помогает при строительстве дома? Почему в окружающем мире много простых геометрических фигур? .Какие простые геометрические фигуры наиболее полезны в нашем мире? Как использовались геометрические фигуры во все времена? Использовали их до нашего времени? Как в повседневной жизни нам помогают свойства простых геометрических фигур? Задание: Выполните геометрическое моделирование – воссоздание фигуры по образцу (работа в группах или парах). Для этого необходимо познакомится с танграмом: Игра Танграм Танграм (кит.七巧板, пиньинь qīqiǎobǎn, букв. «семь дощечек мастерства») — головоломка, состоящая из семи плоских фигур, которые складывают определённым образом для получения другой, более сложной, фигуры (изображающей человека, животное, предмет домашнего обихода, букву или цифру и т.д.). Фигура, которую необходимо получить, при этом обычно задаётся в виде силуэта или внешнего контура. При решении головоломки требуется соблюдать два условия: первое— необходимо использовать все семь фигур танграма, и второе — фигуры не должны накладываться друг на друга. Правила игры 1. В каждую собранную фигуру должны входить все семь элементов. 2. При составлении фигур элементы не должны налегать друг на друга. 3. Элементы фигур должны примыкать один к другому. 31 4. Начинать нужно с того, чтобы найти место самого большого треугольника. У каждого на парте лежит конверт, открываем конверт и вынимаем из него фигуры: ˗ Два больших треугольника. ˗ Один средний треугольник. ˗ Два маленьких треугольника. ˗ Один квадрат. ˗ Параллелограмм. Задания: 1.Сложите из двух больших треугольников квадрат, параллелограмм, большой треугольник. Итак, складывая фигуры по-разному, мы получаем новые контуры. 2.Сложите фигуры по заданному примеру. 3.Воссоздайте фигуру по образцу (работа в группах): . 32 Вопросы для обсуждения: - Как вы думаете, какая польза может быть от этой японской игры? - Где и когда можно использовать это знание? Приведите примеры. - Какой можно сделать вывод? Интересный факт: Особую актуальность в последнее время приобретает использование танграма дизайнерами. Самое удачное применение танграма, в качестве мебели. Есть и столы-танграмы, и трансформируемая мягкая мебель, и корпусная мебель. Вся мебель, построенная по принципу танграма, довольно удобна и функциональна. Она может видоизменятся в зависимости от настроения и желания человека 33 Применения «танграм» в мире мы находим в современных конструкциях зданий, в которых располагаются различные жилые объекты, офисы и т. д. Занятие №6. Наглядная геометрия. Задачи на разрезание и перекраивание. Разбиение объекта на части и составление модели. Текст для чтения Сегодня будем решать несколько другие задачи. Известно, что с этими задачами, очевидно, столкнулся ещё первобытный человек, когда пытался раскроить шкуру убитого зверя, чтобы сшить себе одежду. Решения многих простых подобных задач были найдены ещё древними греками. Задачами на разрезание увлекались многие ученые с древнейших времен. Решения многих задач на разрезание были найдены еще с древними греками и китайцами. Первый систематический трактат на эту тему принадлежит перу Абул-Вефа – персидского астролога X века. 34 Задачи на разрезание помогают как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале. При решении таких задач возникает ощущение красоты, закона и порядка в природе. На первом этапе рекомендуется рассмотреть задачи на клетчатой бумаге. Задачи, в которых разрезание фигур (в основном это квадраты и прямоугольники) идет по сторонам клеток. Далее можно рассмотреть задачи, связанные с фигурами-пентамино. Пентамино изначально, (от др.-греч. πέντα пять, и домино) — пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Сегодня пентамино понимается более широко – плоская фигура, составленная из плиток. Задачи разбиения плоскости, в которых нужно находить сплошные разбиения прямоугольников на плитки прямоугольной формы, задачи на составление паркетов, задачи о наиболее плотной укладке фигур в прямоугольнике или квадрате, задачи, в которых одна фигура разрезается на части, из которых составляется другая фигура. Возьмите ножницы, кроить, вырезать, соображать – вот что требуется при решении задач по геометрии ножниц. Задачи на разрезание и перекраивание фигур. Задания с использованием ножниц 1. Перекроите фигуру, состоящую из двух квадратов, в равновеликий ей квадрат. (Для решения задачи учащимся надо найти ответ на вопрос: какие фигуры являются равновеликими? Они находят ответ либо в математическом справочнике, либо в Интернете). Разрезать по диагонали каждый квадрат. Диагонали будут являться сторонами получившегося квадрата. 2. Разрежьте прямоугольник, длина которого равна 9 клеток, а ширина 4, на две равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат. 35 3. Постройте прямоугольник со сторонами 2 см и 5 см. Разрежьте прямоугольник по диагонали. Сложите из получившихся частей треугольник. Можно ли из этих частей сложить еще один треугольник, не равный данному? Если можно, то сложите еще один треугольник. 4. Постройте прямоугольный треугольник, у которого две стороны равны. Разрежьте его на три неравные части, из которых можно было бы составить два равных квадрата. Задания: 1. Найдите или придумайте сами задачу на разрезание фигур; 2. Решите задачу: Отец оставил в наследство четырем сыновьям сад, имеющий форму квадрата, где росли 4 яблони (д), было построено 4 оранжереи (о) и возведено 4 беседки (б). Как разделить сад на четыре равные части, чтобы в каждой было по дереву, оранжереи, беседке? 36 Занятие № 6. Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной) длительность процессов окружающего мира Текст для чтения Мы живём с вами в мире, который состоит из огромного количества объектов, различных по своим размерам, строению, назначению и т д. Окружающий нас мир современная наука разделяет на три области: микромир, макромир и мегамир. Это стало возможным в результате многовекового изучения природы человеком. Критерием для выделения различных структурных уровней служат следующие признаки: пространственно- временные масштабы; совокупность важнейших свойств; специфические законы движения; степень относительной сложности, возникающей в процессе исторического развития материи в данной области мира Микромир – это область природы, доступная человеку посредством приборов (микроскопы, рентгеноанализ и другие.).. Макромир – это область природы, доступная нам, т. е. область наших закономерностей. Мегамир нам труднодоступен; это область крупных объектов, больших размеров и расстояний между ними. В этих областях имеется следующая иерархия объектов: микромир — это вакуум, элементарные частицы, ядра, атомы, молекулы, клетки; макромир — это макротела (твердые тела, жидкости, газы, плазма), индивид, вид, популяция, сообщество, биосфера; мегамир – это планеты, звезды, галактики, Метагалактика, Вселенная. 1. Используя следующую информацию, выполните задания: Сызрань находится в Самарской области, 37 расположенной на берегу реки Волги. Город раскинулся по берегам рек – Волги, Кубры, Крымзы, Сызранки и Кашпира (Кашпировка). Площадь населенного пункта составляет 117 квадратных километров, протяженность вдоль реки Волги- 17 км, а ширина с запада на восток -10 км. Расстояние от Сызрани до областного города Самара по трассе 200 км. Площадь г. Самара составляет 541 кв. км. Задания: 1.Найдите объект из текста, который имеет наибольшую величину. 2.Вычислите, на сколько площадь города Сызрань меньше площади областного города. 3.Площадь г. Сызрань больше площади столицы Франции на 12 км 2 . Сколько составляет площадь г. Париж? Текст для чтения Для изображения поверхности Земли на картах картографам предстояло решить математическую задачу. Нужно было уменьшить изображение и определить, какие объекты при том или ином уменьшении можно показать на географической карте. На старинных картах и планах реальная местность показана в уменьшенном виде. Но различные участки уменьшены по-разному. Поэтому по старинным картам можно определить очертания объектов, но не их размеры. Чтобы измерить длину реки или расстояние между городами, требуется уменьшать изображение местности и всех объектов в определённое число раз. Для этого необходимо использовать масштаб. Масштаб —это величина,которая показывает,во сколько раз расстояния на глобусе, плане или карте уменьшены по сравнению с реальными расстояниями на местности. Масштаб —это отношение двух чисел,например\(1 : 100\)или\(1 : 1000\). Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Масштаб \(1 : 100\) означает, что изображение меньше изображаемого объекта в сто раз, а масштаб \(1 : 1000\) — в тысячу раз. Чем меньше число, показывающее уменьшение, тем крупнее масштаб. Чем больше число,показывающее уменьшение,тем мельче масштаб. Масштаб \(1 : 100\) крупнее масштаба \(1 : 1000\) и мельче масштаба \(1 : 50\). 38 Масштаб на плане, карте, глобусе показывает, во сколько раз длина каждой линии уменьшена по сравнению с её действительной длиной на местности. Так, масштаб \(1 : 100 000\) означает, что расстояние \(1\) см на плане, карте или глобусе соответствует \(100 000\) см на земной поверхности. С помощью масштаба можно измерять расстояния между отдельными географическими объектами и определять размеры самих объектов. Масштаб используют для создания не только планов и карт, но и копий объектов, которые выполняют с уменьшением или увеличением размеров в одном и том же соотношении. Макет дома в масштабе \(1 : 500\) Задания: Используя данные в тексте, ответьте на вопросы. 1. Длина отрезка на местности 4,5 км. Чему равна длина этого отрезка на карте, сделанной в масштабе 1 : 100 000? 2. Определите расстояние по карте от устья ручья Стача до устья ручья, протекающего близ дер. Демидово. Масштаб карты 1 : 25 000. 3. Расстояние между городами А и В на карте равно 8,5 см. Найдите расстояние между городами на местности, если масштаб карты 1 : 1 000 000. 4. Длина железной дороги Москва – Санкт - Петербуг приближенно равна 650 км. Изобразите отрезком эту дорогу, применив масштаб 1 : 10 000 000. 4)Расстояние от Бреста до Владивостока более 10 000 км. Уместится ли на одной страницы тетради это расстояние при масштабе одна десятимиллионная? 5)На рисунке дан план квартиры в масштабе 1 : 100. Определите по плану, какие размеры имеют кухня, ванная и комнаты и какова их площадь в действительности. 6)Отрезку на карте длиной 3,6 см соответствует расстояние на местности в 72 км. Каково расстояние между городами, если на это карте расстояние между ними 12,6 см? 39 7)Длина железнодорожной магистрали 6140 км. Какой длины получится линия, изображающая магистраль на карте, сделанной в масштабе: а) 1 : 10 000 000; б) 1 : 2 000 000. 8)Отрезок на местности длиной 3 км изображен на карте отрезком 6 см. Какова на карте длина отрезка, изображающего отрезок 10 км? Какой отрезок на местности изображает отрезок на карте длиной 1,8 см? 9)Длина детали на чертеже, сделанном в масштабе 1 : 5, равна 7,2 см. Чему будет равна длина этой детали на другом чертеже, сделанном в масштабе 1 : 3? В масштабе 2 : 1? Занятие № 8. Комбинаторные задачи. Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Текст для чтения: Люди изучают окружающий их мир. Проводят научные исследования. Производят много полезных вещей. Выращивают сельскохозяйственную продукцию. Выполняя все это, они собирают данные. Эти данные нужно грамотно записать и представить так, чтобы с ними можно было удобно работать: выбрать нужные данные, сравнивать их, анализировать Математические средства представления информации: таблицы, диаграммы, графики, формулы. Представление информации (особенно статистической) в виде диаграмм и графиков позволяет удобно и быстро считывать эту информацию с целью её анализа или прогноза на будущее. Поэтому умение читать графики и диаграммы является одним из базовых для адаптации человека в социуме. Наиболее удобно представлять данные с помощью таблиц. Ты уже знаком с некоторыми таблицами и активно ими пользуешься. Вспомните и приведите примеры использования таблиц для представления данных в личностном контексте. Таблица умножения Дневник Расписание С таблицами работать не всегда удобно. Сегодня ты познакомишься с более простым способом представления данных. Это диаграммы. 40 Диаграмма –это один из способов наглядного представления различных числовых данных. На диаграммах числа или значения величин могут изображаться отрезками, столбиками, частями круга или другими фигурами. Диаграмма (греч. Διάγραμμα (diagramma) — изображение, рисунок, чертеж) — графическое представление данных, позволяющее быстро оценить соотношение нескольких величин. Представляет собой геометрическое символьное изображение информации с применением различных приёмов техники визуализации. Виды диаграмм: круговые или секторные; столбчатые и линейные диаграммы (гистограммы); точечные; кольцевые; лепестковые и другие. Исследовательская работа: научиться строить диаграммы. Пятиклассники провели исследование «Мой любимый цветок». Девочкам задали вопрос: «Какой у тебя любимый цветок?». Результаты опроса представлены в таблицу. Цветок Количество девочек Ромашка 5 Роза 8 Лилия 4 Тюльпан 3 По этой таблице можно построить диаграмму. Она будет выглядеть так. Диаграммы используют в том случае, когда данные нужно представить наглядно. Диаграммы часто используются для иллюстрации различных данных в учебниках, научных книгах, журналах. Рассмотрите задание. 41 В мире много красивых городов. Среди них Санкт-Петербург, Москва, Париж, Венеция, Прага, Лондон. В них много замечательных зданий, памятников, мостов. Провели исследование «Сколько мостов?» и данные записали в таблицу. Город Количество мостов Санкт-Петербург 342 Москва 76 Париж 37 Прага 18 Венеция 400 Лондон 32 По данным таблицы построили диаграмму. Задания: 1. Назовите средства представления информации в повседневной жизни человека. 2. Укажите, какие виды диаграмм можно использовать для представления информации. 3. Приведите примеры представления информации в виде таблицы, диаграммы (столбчатой или круговой), в вашей семье, в школьной жизни. 4. Составьте кластер на тему «Диаграмма». 5. Дай совет своему другу, где он может воспользоваться понятием «Диаграмма». 6. Используя игровую ситуацию, помогите героям сказки Вини-Пуху, Ослику, Пятачку, Сове и Кролику научиться экономить электроэнергию. 7. Предыдущее показание счетчика в домике Вини-Пуха составило 350 кВт×ч, а последнее показание – 500 кВт×ч. Сколько кВт×ч электроэнергии израсходовал медвежонок? Сколько денег должен заплатить Вини за электроэнергию, если 1 кВт×ч стоит 100 лесных рублей? Предыдущее показание счетчика в домике Пятачка составило 270 кВт×ч, а последнее показание — 370 кВт×ч. Сколько кВт×ч электроэнергии израсходовал поросенок? Сколько денег должен заплатить Пятачок за электроэнергию, если 1 кВт×ч стоит 100 лесных рублей? 42 Предыдущее показание счетчика в домике Совы составило 380 кВт×ч, а последнее показание — 450 кВт×ч. Сколько кВт×ч электроэнергии израсходовала Сова? Сколько денег должна заплатить она за электроэнергию, если 1 кВт×ч стоит 100 лесных рублей? Предыдущее показание счетчика в домике Ослика Иа составило 350 кВт×ч, а последнее показание – 440 кВт×ч. Сколько кВт×ч электроэнергии израсходовал Иа? Сколько денег должен заплатить Ослик за электроэнергию, если 1 кВт×ч стоит 100 лесных рублей? Предыдущее показание счетчика в домике Кролика составило 360 кВт×ч, а последнее показание — 420 кВт×ч. Сколько кВт×ч электроэнергии израсходовал он? Сколько денег должен заплатить Кролик за электроэнергию, если 1 кВт×ч стоит 100 лесных рублей? 8. Составьте таблицу, используя информацию из текста Герой сказки Кол-во потребленной Тариф Сумма оплаты электоэнергии (кВт×ч) (лесные рубли) (лесные рубли) Вини-Пух Пятачок Сова Ослик Иа Кролик 9.Постройте диаграмму по сумме оплаты за электроэнергию. 10.Ответьте, используя диаграмму на вопросы: – Кто из героев сказки является самым экономным? – Самым расточительным? 6 класс Занятие 1. Числа и единицы измерения. Время, деньги, масса, температура, расстояние Тексты для чтения Величина –это то,что можно измерить.Такие понятия,как длина,площадь, объём, масса, время, скорость и т. д. называют величинами. Величина является результатом измерения,она определяется числом,выраженным в определённых единицах. Единицы, в которых измеряется величина, называют единицами измерения. 43 Для обозначения величины пишут число, а рядом название единицы, в которой она измерялась. Например, 5 см, 10 кг, 12 км, 5 мин. Каждая величина имеет бесчисленное множество значений, например, длина может быть равна: 1 см, 2 см, 3 см и т. д. Одна и та же величина может быть выражена в разных единицах, например килограмм, грамм и тонна – это единицы измерения веса. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например, 5 см = 50 мм (длина), 1 ч = 60 мин (время), 2 кг = 2000 г (вес). Измерить какую-нибудь величину – значит узнать, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу измерения. Например, мы хотим узнать точную длину какой-нибудь комнаты. Значит, нам нужно измерить эту длину при помощи другой длины, которая нам хорошо известна, например при помощи метра. Для этого откладываем метр по длине комнаты столько раз, сколько можно. Если он уложится по длине комнаты ровно 7 раз, то длина её равна 7 метрам. В результате измерения величины получается или именованное число, например 12 метров, или несколько именованных чисел, например 5 метров 7 сантиметров, совокупность которых называется составным именованным числом. Меры В каждом государстве правительство установило определённые единицы измерения для различных величин. Точно рассчитанная единица измерения, принятая в качестве образца, называется эталоном или образцовой единицей. Сделаны образцовые единицы метра, килограмма, сантиметра и т. п., по которым изготавливают единицы для обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребление и утверждённые государством, называются мерами. Меры называются однородными, если они служат для измерения величин одного рода. Так, грамм и килограмм – меры однородные, так как они служат для измерения веса. Единицы измерения Ниже представлены единицы измерения различных величин, которые часто встречаются в задачах по математике: Меры веса/массы Меры длины 1 тонна = 10 центнеров 1 километр = 1000 метров 1 центнер = 100 килограмм 1 метр = 10 дециметров 1 килограмм = 1000 грамм 1 дециметр = 10 сантиметров 1 грамм = 1000 миллиграмм 1 сантиметр = 10 миллиметров Меры площади (квадратные меры) Меры объёма (кубические меры) 1 кв. километр = 100 гектарам 1 куб. метр = 1000 куб. дециметров 1 гектар = 10000 кв. метрам 1 куб. дециметр = 1000 куб. сантиметров 44 1 кв. метр = 10000 кв. сантиметров 1 куб. сантиметр = 1000 куб. миллиметров 1 кв. сантиметр = 100 кв. миллиметрам Рассмотрим ещё такую величину как литр. Для измерения вместимости сосудов употребляется литр. Литр является объёмом, который равен одному кубическому дециметру (1 литр = 1 куб. дециметру). Само слово время происходит от старого русского слова ВЕРТЕМЯ. Ясно слышится и время и вертеть. Как бы крутится круг, сменяются события, которые в природе обязательно повторяются, словно «вертятся». Еще в незапамятные времена человек столкнулся не только с необходимостью ориентироваться в пространстве, считать, измерять расстояния и площади, определять массу и вместимость, но и ориентироваться во времени и уметь его измерять. Для измерения времени надо было найти мерку. Но измерять его пальцами или шагами было нельзя. И эту мерку надо было искать в природе. Люди стали больше наблюдать за небом и обнаружили, что через определенное время на небосклоне появляется яркая звезда. Эту звезду египтяне назвали Сириус. Когда появлялась звезда Сириус, в Египте отмечали наступление Нового года. Это связано с тем, что Земля за этот промежуток времени делает полный оборот вокруг солнца. Время между появлением Сириуса состоит из 365 дней. Появилась мера времени - ГОД. Год у древних народов начинался не зимой, как сейчас, а летом или весной. В Древней Руси год начинался в марте. 1 год - 12 месяцев. Все мы наблюдаем за луной и знаем, что через определенное время она меняет свою форму: от тоненького серпа до яркого круглого диска (полнолуния). Промежуток между двумя полнолуниями назвали месяцем. Месяц принимается за 30 дней, если не требуется определить число и название месяца. Январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь – 31 день. Февраль в простом году – 28 дней, февраль в високосном году – 29 дней. Апрель, июнь, сентябрь, ноябрь – 30 дней. 45 Год представляет собой (приблизительно) то время, в течении которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Принято считать каждые три последовательных года по 365 дней, а следующий за ними четвёртый – в 366 дней. Год, содержащий в себе 366 дней, называется високосным, а годы, содержащие по 365 дней – простыми. К четвёртому году добавляют один лишний день по следующей причине. Время обращения Земли вокруг Солнца содержит в себе не ровно 365 суток, а 365 суток и 6 часов (приблизительно). Таким образом, простой год короче истинного года на 6 часов, а 4 простых года короче 4 истинных годов на 24 часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каждому четвёртому году добавляют одни сутки (29 февраля). Меры времени 1 сутки = 24 часам 1 век (столетие) = 100 годам 1 час = 60 минутам 1 год = 12 месяцам 1 минута = 60 секундам 1 месяц = 30 суткам квартал – 3 месяца 1 неделя = 7 суткам декада – 10 суток Об остальных видах величин вы узнаете по мере дальнейшего изучения различных наук. Сокращённые наименования мер принято записывать без точки: 1 мм 1 см 1 дм 1 м 1 км 1 мм 2 1 см 2 1 дм 2 1 м 2 1 км 2 1 мм 3 1 см 3 1 дм 3 1 м 3 1 км 3 Рассмотрите задания и ответьте на вопросы: Задание 1. В6часов утра в воскресенье гусеница начала вползать на дерево.В течение всего дня, т. е. до 18 часов, она вползла на высоту 5 метров, а в течение ночи спустилась на 2 метра. В какой день и час она вползет на высоту 9 метров? A) в понедельник в 18 часов B) во вторник в 7 часов C) во вторник в 13 часов 12 минут D) в среду в 16 часов 25 минут E) в среду в 21 час 46 Задание 2. На30самолетах Ту-134можно перевести2700пассажиров.В пяти самолётах Ту-134 помещается столько пассажиров, сколько в трёх самолётах Ту- 154. Сколько пассажиров можно перевести на самолёте Ту – 154? Задание 3. Автобус из с. Камышла до г. Самара едет 3 часа 10 минут, а обратно – … минут. Объясни,почему? A) 2 ч 10 мин B) 250 минут C) 1 час 20 мин D) 2 часа 5 мин E) 190 мин Задания: 1. Найдите в представленных задачах математическую информацию. 2. Запишите из условия задачи: число и величину. 3. Назовите признаки отличия: числа и величины. 4. Нарисуйте в виде множества, какое понятие входит в область другого понятия (множественное отношение). 5. Дополнить схему на темы: «Число» и «Величина». Число Вид Порядок натуральные сравнение 47 6. Прочитайте текст, исправьте ошибки. Занимательные задачи 1) На скамейке сидел дед И было деду 20 лет 2) Я дверь закрыла на засов. На улице ночь, время 16 часов. 3) Коля в 1 класс пошёл. Он считает хорошо. Он сказал ребятам весело: «Мне сейчас 48 месяцев». 4) Таня спать ложиться в 8. Тане в 9 надо встать. Завела будильник в 9. И спокойно будет спать. 7.Составьте задания: с понятием числа; с понятием величины; с понятиями числа и величины. Занятие 2. Вычисление величины, применение пропорций прямо пропорциональных отношений для решения проблем Текст для чтения Люди постоянно описывают мир вокруг них, окружающую их реальность. Одним из самых главных инструментов для этого являются величины. Величиной называют такое свойство предмета или объекта, которое можно измерить. Например, возраст дерева, высота дома, скорость передвижения. Величины могут быть связаны, зависеть друг от друга, или нет. Построим квадрат со стороной 2 см. 48 Длина стороны квадрата и его площадь являются связанными величинами. Изменим длину стороны квадрата до 6 см, то изменится и площадь. Изменение длины стороны квадрата влечет изменение и его площади. Предположим, что вы идете в школу, скорость вашего движения – это некоторая величина. В кармане у вас есть некоторое количество денег – это другая величина. Если изменить скорость своего движения (первую величину), то количество денег (вторая величина) при этом не изменится. Значит, такие величины можно считать независимыми. Предположим, мы ставим телефон на зарядку. Время, которое он заряжается, – первая величина. Время, которое он сможет проработать после зарядки, – другая величина. Чем дольше мы заряжаем телефон, тем дольше он сможет проработать. Так будет продолжаться до тех пор, пока телефон не зарядится полностью. 49 Чем дольше чайник стоит на огне, тем больше температура воды в чайнике. Такие зависимости называют прямыми. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина. Существуют и другие зависимости. Например, чем больше книжек мы прочитаем, тем меньше ошибок мы потом совершаем в диктанте; чем выше мы поднимаемся в горы, тем меньше атмосферное давление. Такие зависимости называют обратными. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая. Итак, при прямой зависимости обе величины изменяются в одну сторону (обе увеличиваются или обе уменьшаются), а при обратной – в разные стороны (одна увеличивается, другая уменьшается). Предположим, что ваш путь от дома до школы занимает 20 минут. Если увеличить скорость (первую величину) в два раза, как изменится время (вторая величина), которое необходимо, чтобы дойти до школы? 50 Понятно, что время уменьшится в два раза. Такая зависимость называется пропорциональной.Во сколько раз изменилась одна величина,во столько раз изменилась и вторая. Предположим, что мы покупаем молоко в магазине. И считаем стоимость покупки. За две бутылки мы должны заплатить 100 рублей. Если мы захотим купить 4 бутылки (увеличить количество бутылок в 2 раза), то во сколько раз увеличится стоимость покупки? Понятно, что стоимость тоже увеличится в 2 раза. Это еще один пример пропорциональной зависимости. Вывод, существуют прямо пропорциональные зависимости и обратно пропорциональные зависимости. Рассмотрим зависимость между стороной квадрата и его площадью. Такая зависимость прямая. 51 Данная зависимость не является пропорциональной, так как: Если сторона квадрата , то его площадь Если сторона квадрата , то его площадь Если сторона квадрата , то его площадь Очевидно, что площадь увеличивается непропорционально. Она вычисляется по формуле , где – площадь квадрата, а – сторона квадрата. Если увеличить сторону в произвольное количество раз, то увеличение площади будет в квадрате относительно этого. Такую зависимость можно назвать прямая квадратичная зависимость. Если в несколько раз увеличить все линейные размеры фигуры (например, длины сторон), то площадь всегда будет увеличиваться в квадрате относительного этого изменения. Бывают ли обратные квадратичные зависимости? Да, такая зависимость встречается часто, например, в физике. Все тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения зависит от расстояния между этими телами. Если увеличить расстояние между телами в 2 раза, то сила притяжения уменьшится в 4 раза. Легко убедиться, что это обратная квадратичная зависимость по формуле, которая описывает закон всемирного тяготения (рис. 10): – сила притяжения одного тела к другому, – расстояние между телами 52 Так как находится в знаменателе, можно сказать, что зависимость обратная, а, так как стоит во второй степени, это указывает на квадратичную зависимость. Объем куба вычисляется по формуле: , где – объем куба, – длина ребра куба. Если длину ребра куба увеличить в 2 раза, то его объем увеличится в 8 раз Такую зависимость можно назвать прямой кубической зависимостью. Вопросы для обсуждения: Какие величины можно считать независимыми? Приведите примеры. Какие зависимости называют прямыми? Приведите примеры. Какие зависимости называют обратными? Приведите примеры. Какая зависимость называется пропорциональной? Какие можно привести примеры других типов зависимостей в реальной жизни ? Текст для изучения Связь пропорциональной зависимости и пропорции Возьмем две пропорциональные величины: количество бутылок молока и их стоимость. Предположим, у нас было 2 бутылки молока стоимостью 100 рублей. Увеличим количество бутылок в три раза (теперь их 6), тогда их общая стоимость 300 рублей. 53 Отношение нового количества бутылок к старому: Отношение новой стоимости к старой . То есть два эти отношения равны друг другу: , а равенство двух отношений мы и называем пропорцией. Так и будет происходить с любой прямо пропорциональной зависимостью. Если мы возьмем два значения одной величины, у нас получится два значения для другой величины. Поделив новое значение величины на старое, мы получим отношение, во сколько раз изменилась первая величина, так же будет изменяться и вторая величина: Практическое задание и составьте пропорцию: Пусть нужно перекопать огород Рассмотрим две величины: количество работников и площадь, которую им нужно перекопать. Если работников двое, то каждому нужно вскопать , если четверо, то каждому нужно вскопать . То есть такие величины связаны обратно пропорциональной зависимостью. Во сколько раз больше работников, во столько раз меньше нужно каждому работать. Обозначим количество работников как , а площадь, которую нужно каждому вскопать, как Для двух работников: , . Увеличим количество работников в три раза: , . Составим пропорцию: (первое отношение указывает на 54 то, во сколько раз увеличилась первая величина, а , во сколько раз уменьшилась вторая). Вопросы для обсуждения Почему пропорциональная зависимость так называется? Есть ли связь между пропорциональной зависимостью и пропорцией? Можно ли, используя пропорцию находить неизвестные значения при решении жизненных ситуаций? Задания: Рассмотрим задание: 3,6 кг яблок стоят 234 рубля. Сколько стоят 2 кг яблок? У нас есть две величины: масса и стоимость, у них прямо пропорциональная зависимость (во сколько раз больше товара, во столько раз больше стоимость). Обозначим величины: Так как зависимость прямо пропорциональна, мы можем составить пропорцию Подставив известные данные, получим: . Отсюда: Рассмотрим другое задание. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч? Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью (во сколько раз больше скорость, во столько раз меньше времени понадобится). Обозначим: 55 Составим пропорцию . Обратите внимание, что соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга. Подставив известные значения, получим: Отсюда: Задание: Установите запись прямо пропорциональной величины в виде формулы. Рассмотрим следующую формулу . В ней две величины : и , эти величины зависимые (если менять одну, , то изменится и вторая, ). 1)Например, если ¸то ; если , то . При увеличении x в 3 раза y тоже увеличился в 3 раза. Можем составить пропорцию: . Мы можем сказать по- другому: «y получается из x умножением его на 5», то есть y всегда больше, чем x, в 5 раз. Это зависит от числа, которое стоит перед x, в нашем примере это 5. Такое число договорились называть коэффициентом пропорциональности. Мы получили, что формула задала прямо пропорциональную зависимость. Как зависит пройденный путь от времени, если скорость движения постоянна и равна 6 км/ч? 2)Мы знаем формулу для нахождения расстояния , где – расстояние, – скорость, – время. В нашей ситуации скорость постоянна . Подставив скорость в формулу для нахождения расстояния, получим: За 1 час мы проходим 6 километров, за 2 ч – 12 км и т.д., число километров всегда в 6 раз больше числа часов, а значит, перед нами прямая пропорциональность. Итак, любую прямую пропорциональность можно записать формулой: , где k – постоянное число, называемое коэффициентом пропорциональности. Задание: Установите зависимости в реальном и идеальном мирах. 56 Если увеличивать сторону квадрата, то увеличивается и его площадь. Эта зависимость является прямой. Мы можем увеличивать сторону до бесконечности, и площадь также будет увеличиваться до бесконечности. Рассмотрим следующую формулу: (прямо пропорциональная зависимость). Как и в случае с квадратом, мы можем увеличивать сколь угодно долго, а при этом так же будет пропорционально увеличиваться. Это два идеальных примера, в реальной жизни все обстоит несколько иначе. Например, в реальной жизни не существует математических квадратов, существуют только объекты, которые на них похожи. Например, каток. Мы можем увеличивать его сторону, при этом будет расти и площадь. Но увеличивать до бесконечности мы ее не можем. Или еще один пример: чем старше дерево, тем оно выше. Так не будет продолжаться до бесконечности, в какой-то момент такая прямая зависимость закончится (дерево перестает расти). Еще один пример. Чем сильнее мы растягиваем пружину, тем длиннее она становится. Здесь зависимость близка к прямо пропорциональной, в раза больше сила, тогда в 2 раза больше и длина пружины. Однако в какой-то момент пружина распрямится, и изменение силы уже не будет влиять на ее длину. А после этого она может и совсем порваться. В примере с чайником мы говорили, что зависимость между температурой воды в чайнике и временем, которое он стоит на огне, прямая. Но так будет продолжаться до тех пор, пока вода не нагреется до температуры кипения, после этого она нагреваться не будет. Итак, никакая зависимость в реальном мире не может сохранять свой характер (например, прямую пропорциональность) бесконечно долго, в какой-то момент зависимость поменяет свой характер или вообще закончится. Задание: Изобразите на координатной плоскости зависимость между разными величинами, например, расстояние от времени и температуру от времени. 57 Для этого на плоскости наносятся оси координат: горизонтальная – ось абсцисс и вертикальная – ось ординат. По оси абсцисс откладываются в некотором масштабе различные значения аргумента х, или абсциссы различных точек графика, по оси ординат – соответствующие им значения функции у, или ординаты точек графика. Каждая пара координат, абсцисса и ордината, даёт одну точку графика. График строится по найденным характерным точкам и с учётом выявленных общих свойств зависимых величин и поведения кривых графика на различных участках. Непрерывная линия, которая соединяет эти точки, называется графиком зависимости величин. Для контроля правильности построения графика вычисляют дополнительно координаты одной или нескольких контрольных точек и наносят их на график. Контрольные точки служат также для уточнения кривых графика на отдельных участках. По графику можно находить соответствующие значения величин, анализировать 1) Вы знаете, что стоимость товара зависит от его количества: чем больше товара покупают, тем больше будет его стоимость. Если цена одного килограмма конфет стоит 35руб., то за 2 кг необходимо заплатить 70 руб., за 3 кг –105руб. и т. д. Вы знаете, что такую зависимость можно наглядно отобразить на диаграмме. Но на диаграмме тяжело определить, сколько стоит 2,5 кг конфет или другое их количество. Изобразим данные про стоимость конфет не столбиками, а вертикальными отрезками в системе координат. Так как величина «масса конфет» и «стоимость покупки « будут прямо пропорциональными, то верхние концы столбиков диаграммы можно соединить отрезками. Прямая показывает, как изменяется стоимость покупки в зависимости от массы конфет. Такую линию называют графиком зависимости величины «стоимость покупки» от величины «масса конфет». 58 2) Между пристанями А и В, расположенными на разных берегах озера, курсирует паром. На рисунке изображён график движения парома во время движения двух первых рейсов от А до В и назад. С какой скоростью двигался паром вторым рейсом от А до В Из графика видно, что расстояние от пристани А до пристани В равно 8 км. Первым рейсом паром проплыл от пристани А до пристани В за 40 мин, затем стоял у пристани В 40 мин, после чего через 40 мин вернулся к пристани А. Вторым рейсом паром из А до В проплыл за (240 – 160 = 80) мин. Значит скорость его была 8 км: 80мин= 0,1км/мин или 0,1км/мин×60 мин=6 км/час Выполните задание и ответьте на вопросы: 1. На рисунке изображён график движения туриста. Рассматривая график, определите на каком расстоянии от дома турист был через четыре часа? а) 16км; б) 20 км; в) 17 км; г) 18 км 2. На рисунке изображён график движения велосипедиста (синяя прямая) и пешехода (зелёная прямая). Во сколько раз путь, который проехал велосипедист за 1 час, больше пути, пройденного пешеходом за тоже время? 59 а) в 1,5 раза; б) в 3 раза; в) в 2,5раза; г) в 2раза 3. На рисунке изображён график изменения температуры раствора во время химической реакции. За какое время температура раствора выросла с 30 0 до 45 0 ? а) 30 мин; б) 20 мин; в) 35 мин; г) 15 мин. 4. Найдите общую математическую характеристику в представленных графиках. 5. Определите в каждом графике отношение между двумя величинами пропорционально. 6. Запишите найденные зависимости в виде таблицы. 7. Установите коэффициент линейной зависимости и обоснуйте вывод и дайте определение прямо пропорциональным отношениям. Задание 3. Текстовые задачи, решаемые арифметическим способом: части, проценты, пропорция, движение, работа Тексты для изучения С глубокой древности люди используют математический аппарат в повседневной жизни. Одним из них является пропорция. Она используется, начиная с приготовления 60 пищи и заканчивая произведениями искусства, такими как скульптура, живопись, архитектура, а также в живой природе. Термин «пропорция» происходит от латинского слова proportio, означающего соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Пропорции используют с древности при решении разных задач в математике. Ещё в древней Греции математики использовали такой аппарат, как ПРОПОРЦИЯ. Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин. В Вавилоне с помощью пропорций рисовали планы древних городов. На рисунке изображен найденный при раскопках план древнего вавилонского города Ниппура. Когда ученые сравнили результаты раскопок города с этим планом, оказалось, что он сделан с большой точностью. Математика применяется практически во всех сферах жизни человека. И в повседневной жизни мы используем математические навыки, в том числе и пропорцию. Архитектура При постройке храма в честь богини Дианы римляне взяли пропорцию, которой отличаются стройные женщины: толщина колоны составила лишь 1/8 ее высоты. Благодаря этому колонны казалась выше, чем она была на самом деле, как раз за счет уменьшения толщины. В архитектуру вошли оба вида колонн, сохраняющие одна мужскую, другая женскую пропорции в отношениях между основанием и высотой. Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему. 61 Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Задания: 1. На строительство дома идет 4 тыс. штук кирпича. Сколько тысяч штук кирпича необходимо для строительства 15 таких же домов? 2. Для перевозки песка при строительстве потребовалось 14 автомашин грузоподъемностью 4,5 т. Сколько потребуется автомашин грузоподъемностью 7 т для перевозки этого же песка? Кулинария Понятие пропорции используется в кулинарии. Когда мы готовим какое-либо блюдо, мы стараемся использовать то количество продуктов, которое указано в поварской книге. Это делается для того, чтобы не испортить блюдо. Если мы возьмём больше соли, то пересолим, а если меньше, то будет не вкусно. Ещё пропорция позволяет рассчитать количество продуктов для приготовления одного и того же блюда для разного числа гостей. Задания: 3. Для приготовления варенья из 2 кг крыжовника необходимо 3 кг сахара. Сколько кг сахара необходимо для приготовления варенья из 4,4 кг крыжовника. 4. При сушке масса яблок изменилась с 20 кг до 18,2 кг. На сколько % уменьшилась масса яблок при сушке? Медицина 62 В медицинской практике врачи следят за тем, сколько и когда надо давать лекарства больному. В правильных дозах лекарство даёт лечебный эффект, в меньших – оно бесполезно, а в больших – приносит вред. При изготовлении лекарств тоже соблюдаются пропорции. Здесь необходима точность, так как при нарушении пропорций, составляющих лекарство ингредиентов, может получиться не лекарство, а яд. Отношения и пропорции используется также в аптеках при изготовлении лекарств и лечебных напитков. Чтобы изготовить лекарственный препарат надо точно знать, сколько частей приходится на какую-либо часть Задания: 5. Для лекарственного отвара ромашки на 100 г кипятка необходимо 20 г сухой ромашки. Сколько г ромашки необходимо для 500г отвара. 6. Больному прописан курс лекарства, которое нужно принимать по 250 мг два раза в день в течение 7 дней. В одной упаковке лекарства содержится 10 таблеток по 125 мг. Какое наименьшее количество упаковок понадобится на весь курс лечения. Химия Заслуженное место заняла теория пропорций при решении задач по химии. Например. Какова процентная концентрация раствора, полученного растворением 5 г поваренной соли в 45 г воды? Задания: 7. В 2,4 л воды растворили 100 г соли. Какова концентрация полученного раствора? 8. Имеется 90 г 80% уксусной эссенции. Какое наибольшее количество 9% столового уксуса из нее можно получить? Технология 63 На уроках технологии мы также используем пропорцию. Когда мы хотим сшить какую-либо вещь меньшего или большего размера, мы уменьшаем или увеличиваем выкройку до нужного нам размера. Например, выкройка фартука на себя и на куклу. Размеры элементов кукольного фартука отличаются от соответствующих размеров моего фартука в одно и тоже число раз Задания: 9. Краеобметочная машина 0,6 м ткани обрабатывает за 2,16 мин. Сколько метров можно обметать за 1,44 мин? 10. На изготовление детского платья идет 1,2 м. Сколько необходимо ткани на платье для взрослых, если расход на него на 40 % больше? Физика С глубокой древности люди пользовались различными рычагами. Весло, лом, весы, ножницы, качели, тачка и т.д. – примеры рычагов. Выигрыш, который дает рычаг в прилагаемом усилии, определяется пропорцией, где M и m – массы грузов, а L и l – «плечи» рычага. Задания: 11. По правилу рычага найдите М, если l=2 м, L=8 м, m=4 кг. 12. В городе Жуковском на авиа-шоу МАКС проходят показательные полёты самолётов. Такому самолёту-истребителю, как МИГ-29 на 3 часа полётов требуется около 7,5 тонн керосина. Сколько тонн керосина потребуется МИГ-29 на 7 часов полётов? Моделирование. Пропорция применяется при моделировании. Все пропорции сохранены Уменьшенная модель Задания: 13. Длина модели автомашины 42см. Какова длина автомобиля, если размеры его уменьшены в 10000 раз. 64 14. На модель парусника идет 60 см ткани. Сколько м ткани необходимо для изготовления трех таких же парусника. География В географии также применяют пропорцию – масштаб.Масштабом называют отношение длины отрезка на карте или плане к длине соответствующего отрезка на местности. Масштаб показывает во сколько раз расстояние на плане меньше, чем указанное расстояние на самом деле. Задания: 15. Найдите расстояние от Москвы до Северного полюса, если на карте это расстояние – 3,5 см, а М 1:100000000. 16. Найти расстояние на карте между городами Ростов –на –Дону и Москвой, если расстояние между ними 1200 км, а М 1:50000000. 17. Подумайте и приведите примеры использования пропорции в изобразительном искусстве, биологии, музыке и литературе (работа в паре или команде). 18. Заполнить кластер на тему: «Применение пропорции» на основе информации, полученной из предложенных текстов. Вопросы для обсуждения: Что называют отношением двух чисел? Что показывает отношение двух чисел? Что такое пропорция? Как называются члены этой пропорции? Каким основным свойством обладают члены пропорции? 65 |