математическая грамотность. РП_Математическая грамотность5-9. Пояснительная записка Понятие функциональной грамотности сравнительно молодо появилось в конце 60х годов прошлого века в документах юнеско и позднее вошло в обиход исследователей.
 Скачать 2.99 Mb.
|
|
НОМЕР МАЛЬЧИКА 1 2 3 Число яблок в конце 8 8 8 Число яблок до передачи их третьим 8:2=4 8:2=4 8+4+4=16 мальчиком Число яблок до передачи их вторым 4:2=2 4+2+8=14 16:2=8 мальчиком Число яблок первоначально 2+4+7=13 14:2=7 8:2=4 Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4. Таким образом, при решении сюжетных задач, решаемых с конца, необходимо использовать следующий алгоритм: 1. Определить конечный результат условия задачи. 2. Определить порядок развития сюжета. 3. Осуществить порядок действий в соответствии с развитием сюжета. 4. Решить задачу с использованием математических операций, взаимообратных указанным в условии задачи. Задания 1. Решите задачу, используя предложенный порядок действий. Сколько математических операций необходимо выполнить для её решения? Магия чисел. Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал? 2. Выберите из предложенных задач сюжетные задачи, решаемые «с конца» и их решите: а) Это старинная задача. Крестьянка пришла на базар продавать яйца. Первая покупательница купила у нее половину всех яиц и еще половину яйца. Вторая покупательница приобрела половину оставшихся яиц и еще половину яйца. Третья купила всего одно яйцо. После этого у крестьянки не осталось ничего. Сколько яиц она принесла на базар? 21 б) Задача из книги «Арифметика» Леонтия Магницкого. Отец решил отдать сына в учебу и спросил учителя: «Скажи, сколько учеников у тебя в классе?» Учитель ответил: «Если придет еще учеников столько же, сколько имею, и полстолько, и четвертая часть, и твой сын, тогда будет у меня сто учеников". Сколько же учеников было в классе?» в) Я задумал число, отнял 57, разделил на 2 и получил 27. Какое число я задумал? 3. Составьте синквейн на тему «Задача», «Сюжет» 4. Приведите примеры использования метода решения задачи «с конца» в личностном контексте. 5. Дай совет своему другу, где он может воспользоваться понятием «Сюжетная задача». Занятие 3.Задачи на переливание (задача Пуассона) и взвешивание Математические задачи на переливание и взвешивания известны с древности. Сейчас их можно встретить в олимпиадных задачах или в компьютерных играх – головоломках. Классическая задача о фальшивых монетах в последнее время нашла применение в теории кодирования и информации – для обнаружения ошибки в коде. Текст для изучения: Задача на переливание Эту задачу связывают с именем знаменитого французского математика, механика и физика Сименона Денни Пуассона. Когда Пуассон был еще очень молод и колебался в выборе жизненного пути, приятель показал ему тексты нескольких задач, с которыми никак не мог справиться сам. Пуассон менее чем за час решил их все до одной. Но особенно ему понравилась задача про два сосуда. «Эта задача определила мою судьбу, - говорил он впоследствии. – Я решил, что непременно буду математиком. Рассмотрите задачу Пуассона. Некто имеет 12 пинт вина и хочет подарить из него половину. Но у него нет сосуда в 6 пинт. У него 2 сосуда. Один в 8, другой в 5 пинт. Спрашивается, каким образом налить 6 пинт в сосуд в 8 пинт? Заполним таблицу. № 0 1 2 3 4 5 6 7 переливаний 12 л 12 4 4 9 9 1 1 6 5 л 0 0 5 0 3 3 5 0 8 л 0 8 3 3 0 8 6 6 Получаем 7 переливаний. 22 Замечание, если налить сначала в сосуд в 5 пинт, то потребуется 18 переливаний. Рассмотрите общее описание задачи на переливание: имея несколько сосудов разного объема, один из которых наполнен жидкостью, требуется разделить ее в каком- либо отношении или отлить какую-либо ее часть при помощи других сосудов за наименьшее число переливаний. В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Чаще всего используются словесный способ решения (т.е. описание последовательности действий) и способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем — результат очередного переливания. Таким образом, количество столбцов (кроме первого) показывает количество необходимых переливаний. Вопросы для обсуждения: - Что такое задача на переливание? Опишите её. - Какими основными методами она решается? - Зачем нам знать такие задачи и уметь их решать? - Где и когда мы сможем воспользоваться этими знаниями? Задание: 1. Найдите в научной литературе еще способы, которым можно решать такие задачи 7 7 Например, метод математического бильярда, Я.И. Перельман в своей книге «Занимательная геометрия» предложил решать задачи на переливание с помощью «умного» шарика. Текст для чтения: Метод бильярда. Всем известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами.Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма Демонстрация учителем решения задачи. Имеются два сосуда—трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду. Решение. В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3- литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (рис.1) 23 Текст для чтения: Задачи на взвешивание –это тип задач,в которых требуется установить тот или иной факт (выделить фальшивую монету среди настоящих, отсортировать набор грузов по возрастанию веса и т. п.) посредством взвешивания на рычажных весах без циферблата. Чаще всего в качестве взвешиваемых объектов используются монеты. Реже имеется также набор гирек известной массы. Очень часто используется постановка задачи, требующая определить либо минимальное число взвешиваний, потребное для установления определённого факта, либо привести алгоритм определения этого факта за определенное количество взвешиваний. Реже встречается постановка, требующая ответить на вопрос, возможно ли установление определённого факта за некоторое количество взвешиваний. Часто такая постановка является не очень удачной, так как при положительном ответе на вопрос задача чаще всего сводится к построению алгоритма, а отрицательный почти не встречается. Поиск решения осуществляется путем операций сравнения, причем, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой. Задачи данного типа чаще всего решаются методом рассуждений или блок-схем. Метод блок-схем.Суть этого метода состоит в следующем.Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов. Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны в точке А. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке В, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд. Прослеживая дальнейший путь шара и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице. 24 командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок- схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов. Разветвляющиеся алгоритмы Алгоритм ветвления содержит условие,в зависимости от которого выполняется та или иная последовательность действий 8 Из девяти монет, уплаченных купцу за товар, одна оказалась фальшивой (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету. При выполнении решения данного задания используется логическая схема, в которой объекты, входящие в рассматриваемое явление или процесс, обозначаются словами, которые, как правило, заключаются в рамку, а связи между этими объектами обозначаются стрелками или линиями. Однако следует отметить, что при данном методе решения схема может быть как графически обозначенной, так и выраженной в речи, в рассуждении. 8 Учитель комментирует решение данной задачи, представленное в виде блок-схемы. Учащиеся делятся на две группы и проверяют данное решение практическим способом, выявляя фальшивую монету из полученного набора монет. 25 Задания: 1. Сформулируйте задачу на взвешивание. 2. Объясните, в чем состоит суть метода блок-схемы решения задач по математике и информатике. 3. Выполните решение данного задания методом рассуждений и составьте алгоритм решения: У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 4 взвешивания она может взвесить 700 г крупы? 9 4. Решите следующие задачи на переливание: № 1. «Бэтмен и Человек-Паук» Бэтмен и Человек-Паук никак не могли определить, кто из них самый главный супергерой. Что только они не делали: отжимались, бегали 100-метровку, подтягивались – то один победит, то другой. Так и не разрешив свой спор, отправились они к мудрецу. Мудрец подумал и сказал: «Самый главный супергерой – это не тот, кто сильнее, а тот, 9 ˗.Взвесить 100 грамм. ˗ .Переложить 100 грамм к гире, взвесить ещё 200 грамм, уже взвесили 100+200=300. - .Переложить 200 грамм к гире и 100 граммам, взвесить ещё 400 грамм. Итого 300+400=700. 26 кто сообразительнее! Вот, кто решит первым задачу, тот и будет самым-самым! Слушайте: имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из источника 7 л живой воды?» Помогите вашему любимому герою решить эту задачу 10 №2. «Молоко из Простоквашино» Дядя Федор собрался ехать к родителям в гости и попросил у кота Матроскина 4 л простоквашинского молока. А у Матроскина только 2 пустых бидона: трехлитровый и пятилитровый. И восьмилитровое ведро, наполненное молоком. Как Матроскину отлить 4 литра молока с помощью имеющихся сосудов? 11 №3. «Том Сойер» Тому Сойеру нужно покрасить забор. Он имеет 12 л краски и хочет отлить из этого количества половину, но у него нет сосуда вместимостью в 6 л. У него 2 сосуда: один – вместимостью в 8 л, а другой – вместимостью в 5 л. Каким образом налить 6 л краски в сосуд на 8 л? Какое наименьшее число переливаний необходимо при этом сделать? №4. «Белоснежка» У Белоснежки есть полное восьмилитровое ведро компота. Как ей отлить 4 л с помощью пустых трехлитровой банки и пятилитрового бидона? 10 Решение: Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8 литровый перелить из 5 литрового 5 литров, потом еще три. Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8 л - 5 5 8 - 2 7 5 л 5 - 5 2 2 5 - 11 Решение задачи показано в таблице: Ходы 1 2 3 4 5 6 7 8 8 л 8 3 3 6 6 1 1 4 3 л - - 3 - 2 2 3 - 5 л - 5 2 2 - 5 4 4 Переливаем из восьмилитрового ведра 5 литров молока в пятилитровое. Переливаем из пятилитрового бидона 3 литра в трёхлитровый бидон. Переливаем их теперь в восьмилитровое ведро. Итак, теперь трёхлитровое ведро пусто, в восьмилитровом 6 литров молока, а в пятилитровом - 2 литра молока. Переливаем 2 литра молока из пятилитрового бидона в трёхлитровый, а потом наливаем 5 литров из восьмилитрового ведра в пятилитровый бидон. Теперь в восьмилитровом 1 литр молока, в пятилитровом - 5, а в трёхлитровом - 2 литра молока. Доливаем дополна трёхлитровый бидон из пятилитрового и переливаем эти 3 литра в восьмилитровое ведро. В восьмилитровом ведре стало 4 литра, так же, как и в пятилитровом бидоне. 27 Задачи на взвешивание. №5. «Буратино и Кот Базилио» У Буратино есть 27 золотых монет. Но известно, что Кот Базилио заменил одну монету на фальшивую, а она по весу тяжелее настоящих. Как за три взвешивания на чашечных весах без гирь Буратино определить фальшивую монету? 12 №6. «Фальшивая монета» Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется. 13 №7. «Дядюшка Скрудж» Дядюшке Скруджу принесли 8 одинаковых по виду монет, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Помогите Скруджу определить фальшивую монету. Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется? 14 Занятие № 4. Логические задачи: задачи о «мудрецах», о лжецах и тех, кто всегда говорит правду Текст для чтения: Среди задач на сообразительность особый интерес представляют логические задачи. Если для решения задачи требуется лишь логически мыслить и совсем не нужно 12 Решение Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена. 13 Решение Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая. 1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там: а) Левая кучка тяжелее = фальшивая монета тяжелее; б) Левая кучка легче = фальшивая монета легче. 2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: а) Вес кучек одинаковый = фальшивая монета легче; б) Вес кучек неодинаковый = фальшивая монета тяжелее. 14 Решение Разделим монеты на кучки по 3, 3, 2 монеты. Положим на чаши весов кучки по 3 монеты – по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка. Если весы покажут равенство, то фальшивая монета в третьей кучке. Тогда кладем на чаши весов монеты из третьей кучки. Фальшивкой будет та, которая легче. Если весы покажут неравенство. Тогда кладем на чаши весов по монете из более легкой кучки; если установилось равенство, то фальшивкой является третья монета из этой кучки; если неравенство – то более легкая монета и есть фальшивка. Следовательно, Скруджу потребуется минимум два взвешивания. 28 производить арифметические выкладки, то такую задачу обычно называют логической. При решении подобных задач решающую роль играет правильное построение цепочки точных, иногда очень точных рассуждений. На первом этапе целесообразно рассмотреть три широко распространенных типа логических задач: 1. Задачи, в которых на основании серии посылок, сообщающих те или иные сведения о действующих лицах, требуется сделать определенные выводы. 2. Задачи о «мудрецах». 3. Задачи о лжецах и тех, кто всегда говорит правду. Задание: Четверо ребят–Алеша,Ваня,Боря,Гриша соревновались в беге.После соревнования каждого спросили, какое он место занял. Ребята выдали следующие ответы: Алеша: «Я не был ни первым, ни последним». Боря: «Я не был первым». Ваня: «Я был первым». Гриша: « Я был последним». Три из этих ответов правильны, а один неверный. Кто сказал неправду? Кто был первым? Вопросы для обсуждения: - Сколько нужно рассмотреть вариантов решения задачи? 15 - Как легче всего оформить вариантов решения задачи? Каким средством целесообразно воспользоваться? 16 - Как будем рассуждать? 17 Задания: 1.Оформите результаты логических рассуждений в таблице 18 : 15 Четыре варианта, так как в задаче идет речь о четырех мальчиках 16 При разработке вариантов решения необходимо использовать таблицы. Пусть в каждой из таблиц один из мальчиков будет неправ, так как один из ответов данных участников неверен 17 Предположим, что, неправду сказал Алеша, а все остальные сказали правду. Тогда призовые места не распределятся между участниками: если Алеша занимает первое место, то Ваня остается вообще без места, а если Алеша занимает четвертое место, то тогда без места остается Гриша. Следовательно, Алеша не мог соврать 18 1 случай Правда Ложь Призовое место Алеша 0 1 1или 4 Боря 1 0 2 или 3 или 4 Ваня 1 0 1 Гриша 1 0 4 29 2. Предположите, что, неправду сказал Боря, а все остальные сказали правду. Постройте цепочку логических рассуждений. Что получится? 19 Представьте данные в таблице: 3.Предположите, что, неправду сказал Ваня, а все остальные сказали правду. Постройте цепочку логических рассуждений. Что получится? 20 . Представьте данные в таблице: 4.Предположите, что, неправду сказал Гриша, а все остальные сказали правду. Постройте цепочку логических рассуждений. Что получится? 21 . Представьте данные в таблице. 5.Сделайте вывод 22 |