Моделирование химико-технологических процессов. Практическое занятие №1.. Практическое занятие Построение статических и динамических моделей. Построение эмпирических моделей. Линейный регрессионный анализ для построения эмпирических моделей

• Название: Практическое занятие Построение статических и динамических моделей. Построение эмпирических моделей. Линейный регрессионный анализ для построения эмпирических моделей
• Анкор: Моделирование химико-технологических процессов
• Дата: 27.01.2023
• Размер: 0.72 Mb.
• Имя файла: Практическое занятие №1..docx
• Тип: Занятие; #907768

Практическое занятие № 1.

Построение статических и динамических моделей. Построение эмпирических моделей. Линейный регрессионный анализ для построения эмпирических моделей.
Регрессионный анализ позволяет оценить степень связи между переменными, предлагая механизм вычисления предполагаемого значения переменной из нескольких уже известных значений. Используя регрессионный анализ, можно продлить линию тренда в диаграмме за пределы реальных данных для предсказания будущих значений.

Описание последовательности действий при моделировании:

Полученные в результате эксперимента данные зависимости между величинами х и у можно представить в виде таблицы 1.1:
Таблица 1.1-Экспериментальные данные

х	х1	х2	х3	…	хn
y	y1	y2	y3	…	yn

Необходимо найти эмпирическую формулу y = f(x), связывающую между собой соответствующие значения переменных так, чтобы значения этой функции при x = xi возможно мало отличались бы от yi, полученных из опыта.

Алгоритм работы:

1) построить математическую модель в виде эмпирической формулы;

2) сделать оценку параметров модели;

3) проверить модель на адекватность.

Методика выполнения работы

1. Оформить исходные данные в виде сводной таблицы Microsoft Excel.

2. С помощью Мастера диаграмм M. Excel построить график зависимости всего диапазона данных сводной таблицы.

3. Построить линию тренда.

4. Для полученных математических моделей сделать оценку параметров:

а) провести вычисление средней квадратичной ошибки δ;

б) сравнить δ с величиной достоверности аппроксимации – R.

5. Проверить модель на адекватность. Функция, которой соответствует минимальное значение δ и максимальное значение R, является математической моделью, наиболее близко описывающей исходные данные.

Выбор общего вида эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдений с типичными графиками формул. Такими графиками могут служить линии тренда, которые можно добавить на диаграмму Microsoft Excel.

Линия тренда – это графическое представление направления изменения ряда данных. Линии тренда используются для анализа ошибок предсказания.

Точность аппроксимации. Линия тренда в наибольшей степени приближается к представленной на диаграмме зависимости, если значение R-квадрат равно или близко к 1. При аппроксимации данных с помощью линии тренда значение R-квадрат рассчитывается автоматически. Полученный результат можно вывести на диаграмме.

При этом можно использовать следующие функциональные зависимости:

Линейная: Y = a + bx, где a –координата пересечения оси абсцисс и b –угол наклона константы;

Логарифмическая: Y = clnx + b, где c и b – константы, ln – функция натурального логарифма.

Экспоненциальная: Y = cе^bx, где c и b – константы, e – основание натурального логарифма.

Степенная: Y = cx^b, где c и b – константы;

Полиномиальная: Y = b + c1x +c2x2 + c3x3+ … + c6x6,где b и c1 … c6 – константы.

Величина достоверности аппроксимации – R. Число от 0 до 1, которое отражает близость значений линии тренда к фактическим данным. Линия тренда наиболее соответствует действительности, когда значение R в квадрате близко к 1. Оно также называется квадратом смешанной корреляции.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии
Y =a + bx основан на методе наименьших квадратов, который позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений Y результативного признака от расчетных (теоретических) f(х) будет минимальна:

ОШ= f(х)-Y^min,

ОШ_лин = (f_лин (xi)-yi)²; ОШ_эксп= (f_эксп (xi) -yi)²; ОШ_лог= (fлог (xi)-yi)².

т.е. из всего множества линий регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной.

Средняя квадратическая ошибка вычисляется по формуле:

(1.1)

Пример 1:

Построение статических и динамических моделей. Построение эмпирических моделей. Линейный регрессионный анализ для построения эмпирических моделей.

Цели работы:

1) построить математическую модель в виде эмпирической формулы;

2) сделать оценку параметров модели;

3) проверить модель на адекватность.

Таблица 1.2 - Зависимость щелочности и показателя активной кислотности pH от объёмной доли спирта

Объёмная доля спирта V1, мл	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
Объёмная доля воды V2, мл	85	80	75	70	65	60	55	50	45	40	35	30	25
pH Y1	7,34	7,32	7,42	7,92	7,84	7,86	7,92	7,98	8,03	8,25	8,29	8,4	8,6
Щелочность Y2	2,5	2,4	2,3	2,1	2	1,8	1,7	1,4	1	1,4	1,2	1,6	0,7

Решение задачи

1. Осуществим выбор прогнозной модели, позволяющей наиболее точно указать зависимость уровня pH водно-спиртовой смеси от объемной доли спирта. Для этого построим зависимость величины Y₁ от V₁ (рис.1.1).





Рисунок 1.1 - График зависимости pH от объемной доли спирта (X - объемная доля спирта, Y - уровень pH): а - без линии тренда, б - с линией линейного тренда

Добавим к построенному графику линию тренда, которая позволяет однозначно определить характер наблюдаемой динамики (рис. 1.2, 1.3)



Рисунок 1.2 - Логарифмический тренд



Рисунок 1.3 - Степенной тренд

Итак, по значению коэффициента детерминации R² (квадрата корреляции) наиболее значимой оказывается линейная линия тренда (R² = 0,9261, наибольшее значение). Получаем математические модели:

f_лин(x) = 0,0197x + 7,0495;

f_степ(xi) = 5,5613x0,0957

f_лог(xi) = 0,753ln(x) + 5,1483

2. Для полученных моделей оценим параметры: а) проведем вычисление средней квадратичной ошибки δ:


Для модели f_лин(x) = 0,0197x + 7,0495:

x	15	20			25		30			35			40		45			50		55		60			65			70			75
y	7,345	7,444			7,542		7,641			7,739			7,838		7,936			8,035		8,133		8,232		8,33			8,429			8,527
δ	0,1041
ОШлин	0,1409
R2	0,9261

Для модели f_степ(xi) = 5,5613x^0,0957:

x	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
y	7,207	7,408	7,568	7,701	7,815	7,916	8,006	8,087	8,161	8,229	8,292	8,351	8,407
δ	0,116
ОШстеп	0,1751
R2	0,9078

Для модели fлог(xi) = 0,753ln(x) + 5,1483:

x	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
y	7,187	7,404	7,572	7,709	7,825	7,926	8,015	8,094	8,166	8,231	8,292	8,347	8,399
δ	0,1197
ОШлог	0,1862
R2	0,9024

3. Сравним значения δ полученных формул и величины достоверности аппроксимации - R.

Вывод: наилучшим образом исходные данные описывает линейная регрессионая модель (δ=0,1409; R²=0,9261).

4. Осуществим выбор прогнозной модели, позволяющей наиболее точно указать зависимость щелочности водно-спиртовой смеси от объемной доли спирта. Для этого построим зависимость величины Y₂ от V₂ (рис.1.4)





Рисунок 1.4 - График зависимости щелочности от объемной доли спирта (X - объемная доля спирта, Y - щелочность): а - без линии тренда, б - с линией линейного тренда

Добавим к построенному графику линию тренда, которая позволяет однозначно определить характер наблюдаемой динамики (рис. 1.5, 1.6)


Рисунок 1.5 - Логарифмический тренд



Рисунок 1.6 - Степенной тренд

По значению коэффициента детерминации R² (квадрата корреляции) наиболее значимой оказывается линейная линия тренда (R² = 0,9261, наибольшее значение). Получаем математические модели:

f_лин(x) = 0,026x + 0,2676;

f_степ(xi) = 0,0603x0,8324

f_лог(xi) = 1,2669ln(x) - 3,2944

5. Для полученных моделей оценим параметры: а) проведем вычисление средней квадратичной ошибки δ:


Для модели f_лин(x) = 0,026x + 0,2676:

x	85	80	75	70	65		60		55		50		45		40		35		30		25
y	2,4776	2,348	2,218	2,088	1,958		1,828		1,698		1,568		1,438		1,308		1,178		1,048		0,918
δ	0,2137
ОШлин	0,5939
R2	0,8386

Для модели f_степ(xi) = 0,0603x^0,8324:

x	85		80	75	70	65	60		55		50		45		40		35		30		25
y	2,434	2,314		2,193	2,071	1,947	1,822		1,694		1,565		1,434		1,300		1,163		1,023		0,879
δ	0,2182
ОШстеп	0,6188
R2	0,7554

Для модели f_лог(xi) = 1,2669ln(x) - 3,2944:

x	85		80	75		70		65		60		55		50		45		40		35		30		25
y	2,334	2,257			2,175		2,088		1,994		1,893		1,782		1,662		1,528		1,379		1,210		1,015		0,784
δ	0,2445
ОШлог	0,7769
R2	0,7889

6. Сравним значения δ полученных формул и величины достоверности аппроксимации - R.

Вывод: наилучшим образом исходные данные описывает линейная регрессионная модель (δ=0,2137; R²=0,8386).

Статистические модели множественной регрессии

Статистические модели множественной регрессии широко используются в химической технологии. Достаточно сказать, что в виде таких моделей представлены все критериальные уравнения, применяемые для расчетов процессов тепло- и массообмена. Задача составления статистической модели множественной регрессии формулируется следующим образом. Пусть имеются экспериментальные точки, представляющие собой зависимость выходного параметра  от независимых факторов x1 ,x2 ,...,xn . Этот набор экспериментальных точек получен без какой либо системы проведения опытов. Он может содержать в себе результаты, полученные по методу планирования эксперимента, пассивный промышленный эксперимент, а также литературные данные других исследователей. Пусть в результате эксперимента получена таблица значений ряда факторов и соответствующие значения функции отклика.

Таблица 1.3 -Значения ряда факторов и функций отклика

№	Первый фактор	Второй фактор	…	j-фактор	…	k-фактор	Функция отклика
1	x1,1	x2,1		xj,1		xk,1
2	x1,2	x2,2		xj,2		xk,2
I	x1,i	x2,i		xj,i		xk,i
N	x1,N	x2,N		xj,N		xk,N

В этом случае уравнение регрессии примет вид:  так чтобы  . На первом этапе определяется степень влияния каждого фактора на Y. Для этого строится матрица R_j,k. Элементы матрицы представляют собой коэффициенты корреляции r_j,k между факторами j и k.



Затем определяются коэффициенты частной корреляции



Где  - частные коэффициенты корреляции оценивающие влияние i-фактора на Y при условии, что влияние других факторов на Y исключено;

 – алгебраическое дополнение, которое получается из матрицы R_i,y путём вычёркивания i-ой строки и столбца Y;

 – алгебраическое дополнение, которое получается из матрицы R_i,y путём вычёркивания i- ой строки и i-ого столбца;

– символ определителя.

Таким образом, можно расположить все факторы в порядке их наибольшего влияния на Y.

Далее подбирается зависимость  от первого влияющего фактора, так чтобы 

Потом вычисляется  и подбирается зависимость

 от второго влияющего фактора, так чтобы

 . Эти действия повторяются, пока не будут перебраны все факторы.

Таким образом, можно по заданным экспериментальным данным построить мультипликативную модель по методу Брандона. Для этого сначала находят степень влияния каждого фактора на функцию отклика. Расчет производится с помощью Mathcad.

Задание экспериментальных данных:



Расчет коэффициентов корреляции:

  

  

 

  



  

 

 

Результаты расчета:





Из приведённых расчётов следует, что влияние второго фактора на функцию отклика, сильнее влияния первого фактора. Поэтому необходимо найти:

 в виде 

Находят U₁ и ищут

 в виде 

Исходные данные и результаты вычислений сведены в таблицу.

x1	x2	Y	f2(x2)	U1=Y/ f2(x2)	f1(x1)	YP	ɛ, отн.%
0.15	95	10.3	8.006	1.286528	1.17	9.3615	9.11
0.18	97	9.6	8.145	1.178642	1.12	9.1374	4.82
0.19	94	8.9	7.936	1.121416	1.11	8.7946	1.18
0.44	61	4.7	5.553	0.846342	0.92	5.0845	-8.2
0.35	60	6.3	5.478	1.150048	0.96	5.2834	16.1
0.28	65	5.4	5.852	0.922709	1.01	5.9381	-10
0.23	57	6.5	5.251	1.237893	1.06	5.5714	14.3
0.36	58	5.1	5.327	0.957421	0.96	5.1048	-0.1
0.42	60	6.2	5.478	1.131793	0.93	5.0689	18.2
0.26	65	5.3	5.852	0.905622	1.03	6.0389	-14
0.23	53	5.8	4.945	1.172979	1.06	5.2465	9.54
0.37	65	5	5.852	0.854361	0.95	5.5736	-11
0.57	50	5.1	4.712	1.082252	0.86	4.0681	20.2
0.37	55	4.3	5.098	0.843426	0.95	4.8554	-13
0.28	55	4.6	5.098	0.90227	1.01	5.173	-12
0.24	75	6.3	6.586	0.95652	1.05	6.9212	-9.9
0.28	80	7.7	6.947	1.108409	1.01	7.0487	8.46

Отчет о проделанной работе должен содержать:

Название практического занятия

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Цель и задачи

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Алгоритм работы

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Исходные данные

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Расчет, графики

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Результаты расчета и выводы по работе

_______________________________________________________________________________________________________________________________

Ответы на контрольные вопросы

____________________________________________________________________________________________________________________________________
Контрольные вопросы

1. 
   Что такое моделирование?
   
2. 
   Какие виды моделирования вам известны?
   
3. 
   Как подразделяются параметры, влияющие на параметры объекта моделирования?
   
4. 
   Какие величины называются входными?
   
5. 
   Какие величины называются управляющими?
   
6. 
   Какие величины называются возмущающими?
   
7. 
   Что такое входные величины?
   
8. 
   В чем заключается составление математического описания?
   
9. 
   Какой принцип используется при составлении математического описания?
   
10. 
    Какие задачи решаются на втором этапе построения моделей?
    
11. 
    Каким образом производится проверка модели на адекватность объекту?
    
12. 
    Что такое физическое моделирование?
    
13. 
    В чем заключается математическое моделирование?
    
14. 
    Какой принцип лежит в основе физического моделирования?
    
15. 
    Какие достоинства и недостатки физического моделирования вам известны?
    
16. 
    Дайте определение математической модели?
    
17. 
    Какие уравнения входят в структуру математической модели?
    
18. 
    Перечислите типы уравнений, которые могут входить в математическую модель?