Практикум для студентов технических специальностей очной и заочной форм обучения Тюмень
 Скачать 1.31 Mb.
|
|
1 + h 2 )/2. (11) 8. Рассчитайте расход воздуха в каждом эксперименте по формуле Q = ΔV/Δt. (12) 9. Для каждого эксперимента определите разность давлений на концах капилляра по формуле ΔР=ρ в g , (13) где в – плотность воды. 10. Рассчитайте коэффициент вязкости воздуха по формуле (8) для каждого измерения. Определите среднее значение 11. Вычислите по формуле (4) число Рейнольдса и сделайте вывод о характере течения воздуха в капилляре. Результаты всех расчетов занесите в таблицу №1. 12. По результатам эксперимента, указанным в табл. №1, постройте график зависимости Q=f( P). По графику определите угловой коэффициент А прямой и вычислите коэффициент вязкости воздуха по формуле (10). Сравните полученное значение вязкости с табличным значением. Оцените используемые методики обработки результатов эксперимента. Сделайте вывод. 13. Рассчитайте среднюю длину свободного пробега молекул воздуха по формуле (3). Для этого используйте вычисленное среднее значение вязкости. 14. Сравните найденное значение со значением, указанным в таблице физических величин (стр. Сделайте вывод. Таблица 1 Разность уровней манометра № п.п Время истечения жидкости, с h 1 , мм h 2 , мм мм Разность давлений Р, Па Расход воздуха, мс Вязкость воздуха η, 10 -6 Пас Число Рей- нольдса Характер течения воздуха 1 2 3 4 5 Таблица 2 Параметр Обозначение, единицы измерения Значение длина капилляра L, мм (79,1±0,1) радиус капилляра R k , мм (0,7±0,1) атмосферное давление Р атм , Па по барометру температура воздуха Т К по термометру КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ. В чем состоит принципиальное отличие ламинарного течения жидкости или газа от турбулентного Каковы условия перехода одного вида течения в другой 2. В чем заключается природа явления внутреннего трения в жидкостях и газах 3. Обоснование формулы Ньютона для силы внутреннего трения. Градиент скорости и его физический смысл. 4. Что такое средняя длина свободного пробега молекул газа и как она связана с коэффициентом вязкости 5. Показать, опираясь на формулу (2) и (3), как зависит вязкость газа от температуры. 6. Вывести формулу зависимости скорости движения газа (или жидкости) от радиуса капилляра. 7. Вывести формулу зависимости расхода газа от разности давлений на концах капилляра. 8. Объяснить методику определения режимов течения жидкости или газов по числу Рейнольдса. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.4 77 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ v p C C ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА Цель работы изучение термодинамических процессов и определение показателя адиабаты ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Согласно первому началу термодинамики энергия, переданная газу в форме теплоты Q, идет на увеличение её внутренней энергии dU и на совершение им работы А A dU Q (1) Здесь δQ С dU =νC v dT ; δA Р , (2) где P - давление газа, V – его объем, Т - абсолютная температура, R - универсальная газовая постоянная, ν = m/ - число молей газа, m – масса молекул газа, - молярная масса газа, С р - молярная теплоемкость при постоянном давлении, С- молярная теплоемкость при постоянном объеме. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева- Клапейрона: RT m PV (3) Часто в термодинамических процессах один из параметров остается постоянным, а остальные изменяются. Такие процессы называют изопроцессами. Из выражений (2) и (3) можно получить формулы для их описания 1. Для изохорического процесса V =const, dV=0. С учетом этого из (3) следует уравнение изохоры const T P . При этом А = 0, а Q = dU 2. В изобарическом процессе P=const и уравнение изобары имеет вид const T V . При этом PdV A , dT C Q p 3. Уравнение изотермического процесса (Т = const, dT=0) имеет вид PV = const. Т.к. dT=0, то dU =0, а Q = A 4. В адиабатическом процессе отсутствует теплообмен с окружающей средой ( Q=0 ) либо вследствие хорошей теплоизоляции среды, либо из- за большой скорости протекания процесса, когда теплообмен не успевает произойти. Из (1) с учетом (2) следует, что при Q=0 A = dU , или PdV = νC v dT (4) Это означает, что газ может производить работу за счет убыли внутренней энергии. При этом, согласно (4), если dV>0, то dT<0, те. температура газа при его расширении уменьшается. При сжатии dV<0 температура газа увеличивается dT>0. Совместное решение уравнений (3) и (4) даёт уравнения для описания адиабатического процесса в координатах P,V и P,T: const PV , Т , (5) где v p С С - показатель адиабаты Подставим выражение (2) в (1), учитывая, что при Р = const элементарная работа A=νRdT . После преобразований получим следующую взаимосвязь между молярными теплоемкостями (уравнение Майера): С р = С + R, (6) которое является выражением первого начала термодинамики для одного моля газа при нагревании его на один градус. Из последнего уравнения видно, что С р С v . Это означает, что при прочих равных условиях в изобарическом процессе потребляется больше тепла, чем в изохорическом процессе на величину совершаемой газом работы. При этом, если процесс осуществляется для одного моля газа при нагревании его на один градус при постоянном давлении, то он сопровождается работой, численно равной R. В этом и заключается физический смысл универсальной газовой постоянной R. Из классической молекулярной физики известно, что R i C v 2 . Тогда из уравнения (6) получим, что R i R R i C p 2 2 2 . С учетом этого показатель адиабаты i i С С γ v p 2 , (7) где i - число степеней свободы молекул газа (i = 3; 5; 6 соответственно для одно, двух- и трехатомных молекул. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Установка для определения показателя адиабаты состоит из баллона (1) вместимостью несколько литров, жидкостного манометра (2), компрессора (3), крана К (4) и клапана К (5) (см. рис.1). Баллон соединен с образным водяным манометром (2) и компрессором (3). Через открытый кран (4) с помощью компрессора в баллон накачивают дополнительное количество воздуха и кран закрывают. Увеличение концентрации воздуха в баллоне будет сопровождаться ростом давления и температуры. Через несколько минут в результате теплообмена воздуха, находящегося в баллоне с окружающей средой наступит состояние равновесия, и температура воздуха в баллоне станет равной температуре воздуха в лаборатории. Обозначим эту температуру рис. 2). Давление воздуха в баллоне при этом равно 1 0 P P P , (8) где P 0 — атмосферное давление воздуха P'= 1 gh . избыточное давление, которое можно определить по показанию образного манометра h 1 – установившаяся разность уровней жидкости в правом и левом колене манометра в состоянии 1 (рис - плотность жидкости, g=9,8 м/с 2 Рис. 2 Выбрав мысленно в баллоне объем V вдали от клапана 5 (рис, будем считать, что число молекул в этом объеме неизменно, а начальное состояние воздуха в нем характеризуется параметрами P 1 , V 1 , Рис h 2 1 3 1 4 5 V P 1 ,V 1 ,T 1 P 3 ,V 3 =V 2 ,T 3 P 5 ,V 5 ,T 5 P 4 =P 0 ,V 4 ,T 4 P 0 ,V 2 ,T 2 Если на короткое время открыть клапан (5), то часть воздуха выйдет из баллона, давление упадет до атмосферного P 2 = P 0 , а объем выбранного элемента газа возрастет до значения V 2 . Изменение давления воздуха в баллоне происходит при этом столь быстро, что процесс расширения газа с достаточной степенью точности можно считать адиабатическим, так как теплообмен между воздухом в баллоне и окружающей средой не успеет осуществиться. Температура воздуха в результате его расширения понизится до значения T 2 < T 1 . В момент закрытия клапана 5, состояние выбранного объема характеризуется параметрами P 2 =P 0 , T 2 , V 2 . Считая переход из состояния 1 в состояние 2 адиабатическим процессом, получим 2 0 1 1 V P V P (9) После закрытия клапана (5) происходит изохорический процесс (V = const) теплообмена воздуха в баллоне с окружающей средой, в результате которого охладившийся при расширении газ в баллоне через некоторое время нагревается. По окончании этого процесса температура воздуха в баллоне становится равной температуре воздуха в лаборатории Т, давление воздуха 3 0 P P P , (10) где избыточное давление P =ρgh 2 определяется по манометру в состоянии 3 (рис. Параметры воздуха после изохорного процесса P 3 , T 1 , V 3 = Так как температура воздуха в первом и третьем состояниях одинакова ( 3 1 T T ) и число молекул в выбранном нами объеме постоянно, то для состояний 1 и 3 можно применить закон Бойля-Мариотта: P 1 V 1 = P 3 V 2 (11) Решая систему уравнений (9) и (11), получаем 1 0 1 3 P P P P , или, используя соотношения (8) и (10): 1 0 0 1 0 Логарифмирование обеих частей последнего уравнения, и решение относительно , даёт следующий результат 81 ) ln( ) ln( ln ) ln( 2 0 1 0 0 1 0 gh P gh P P gh P (12) Так как давления 2 0 1 0 0 , , gh P gh P P мало отличаются друг от друга, то разности логарифмов давлений можно считать пропорциональными разностям самих давлений 2 1 1 h h h (13) Отметим, что значение h 2 соответствует условию, что клапан 5 закрыли точно в момент окончания адиабатического процесса. Время протекания этого процесса неизвестно, поэтому значение разности уровней h 2 следует определять косвенным графическим методом. Пусть клапан 5 остается открытым в течение некоторого времени. В этом случае процессы, происходящие в объеме V, можно условно изобразить графически, как это сделано на рис. 2. Здесь 1 – 2 — адиабатический процесс 2 – 4 — изобарический процесс, протекающий в баллоне, если клапан 5 остался открытым после завершения адиабатного расширения 4 – 5 — изохорический процесс нагрева газа после закрытия клапана 5. Точки 1, 3, 5 лежат на изотерме, соответствующей температуре Очевидно, что с увеличением времени открытия клапана 5 (τ) разность уровней жидкости в манометре h 2 , пропорциональная (P 5 – P 4 ), будет уменьшаться. Измеряя h 2 при разных значениях и строя график зависимости ln (h 2 ) τ = f( ), можно найти истинное значение (h 2 ) 0 экстраполяцией экспериментальной прямой (рис. 3). Рис. 3 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ ln (h 2 ) τ ln (h 2 ) 0 τ 82 1. Перед началом работы убедитесь в том, что уровни воды в коленах U- манометра совпадают. 2. Откройте кран К повернув ручку против часовой стрелки на 90 из вертикального положения в горизонтальное. 3. Включите электропитание компрессора (тумблер компрессор переведите в верхнее положение. При этом должна загореться индикаторная лампочка. 4. Накачивайте в баллон воздух, пока разность уровней воды в манометре не станет равной 250-300 мм. В дальнейших опытах начальную разность уровней поддерживать постоянной. 5. Закройте кран К, отключите компрессор, выжидайте 2-3 минуты, до тех пор, пока малозаметное уменьшение разности уровней воды в манометре прекратится, и температура воздуха в баллоне станет равной температуре окружающей среды. 6. Произведите отсчёт установившейся разности уровней воды манометра h 1 , занесите в таблицу результатов измерений. Резко нажмите на клапан К, соединив баллон с атмосферой. Одновременно включите секундомер. Удерживайте клапан К 2 открытым в течение τ 1 = с. 8. Дождитесь, чтобы уровни воды в манометре стабилизирровались (через минуты после закрытия клапана К определите разность между ними h 2 и запишите в таблицу. 9. Повторите эксперимент 5-7 раз для разных значений времени нажатия на клапан К τ=5,10, 15,20,25 секунд. 10. Рассчитайте значения lnh для всех значений τ. 11. Построите график lnh = f( ) (см. рис. 3). 12. Аппроксимируйте полученную зависимость прямой линией, экстраполируйте ее до пересечения с осью ординат. Точка пересечения имеет координату ln (h 2 ) 0 13. Определите значение. По формуле (13), с использованием среднего значения h 1 и определённого (h 2 ) 0 , рассчитайте значение и сравните его с теоретическим (см. формулу (7)). 15. Оцените абсолютную и относительную ошибки в определении методом средних. Запишите окончательный результат. 16. Опишите термодинамические процессы, происходящие с газом при выполнении 4,5,6,7,8 этапов работы. Таблица № с h 1 , мм h 2 , мм ln (h 2 ) P 0 =… 83 1 2 3 4 5 6 3 5 10 15 20 25 T K =… =1000 кг/м 3 g=9,8 м/с 2 (h 2 ) 0 = КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Сформулировать первое начало термодинамики. 2. Что называется молярной, удельной теплоемкостью 3. Какой физический смысл имеют С р и С Как они связаны 4. Что такое ? Как она связана с теплоемкостями C p и C v ? 5. Записать уравнение Менделеева - Клапейрона. 6. Физический смысл универсальной газовой постоянной. 7. Записать уравнения изохорического и адиабатического процессов. 8. Какой процесс называется адиабатическим Выведите уравнение адиабаты в любых параметрах. Что происходит с внутренней энергией и температурой при адиабатическом расширении или сжатии газа 9. Вывести расчетную формулу (13). ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.5 84 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА И ПОКАЗАТЕЛЯ АДИАБАТЫ v p С С ДЛЯ ВОЗДУХА Цель работы измерение скорости звука в воздухе методом стоячей волны и определение показателя адиабаты для воздуха. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Одним из наиболее точных методов определения показателя адиабаты является метод, основанный на измерении скорости распространения звуковых волн в ограниченной газовой среде. Скорость продольных волн в упругой среде определяется по формуле ρ E υ , (1) где Е - модуль упругости (модуль Юнга, - плотность упругой среды. По закону Гука модуль упругости характеризует упругость cреды и прямо пропорционален напряжению (F/S), равному избыточному давлению P, создаваемому продольной волной, и обратно пропорционален относительной продольной деформации столба газа вдоль направления распространения волны. Ее можно заменить объемной деформацией V/V (здесь V - изменение объема, вызванное изменением давления P). Тогда для модуля упругости газа получим выражение dV dP V V P V V V P S F E . (2) Здесь F - сила, приложенная к площади S. В волновом процессе одни участки газа быстро сжимаются, другие - расширяются. В результате в одних участках происходит адиабатическое увеличение температуры, в других - уменьшение. Этому способствует и низкая теплопроводность газа, затрудняющая теплообмен. Поэтому для описания состояния газа нужно использовать уравнение адиабатического процесса (уравнение Пуассона const PV , (3) где - коэффициент Пуассона. Продифференцируем уравнение (3) по объему V: 0 Отсюда следует, что V P γ dV dP . Подставив это выражение в (2), получим для модуля упругости следующую формулу E= P , (4) где Р - давление в невозмущенном газе. Выражение для плотности газа найдём из уравнения Менделеева - Клапейрона 85 RT P V m , (5) где m - масса газа в объеме V, Т - абсолютная температура газа, - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная. Подставляя (4) ив, получим RT , откуда RT 2 . (6) С другой стороны, согласно молекулярно-кинетической теории, i i С С γ v p 2 , (7) где С, С – молярные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно, i - число степеней свободы, которое для двухатомного газа равно 5. В настоящей работе изучаются звуковые волны, распространяющиеся в воздушной однородной среде. Определение основных параметров этих волн ( , ) производят на основе изучения конечного результата интерференции когерентных бегущих волн – стоячих волн. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от различного рода преград. При этом падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну. Уравнение падающей волны имеет вид x λ π t ω sin A ξ 2 1 . (8) Пренебрегая потерями энергии волны при отражении, уравнение отраженной волны можно записать в виде π x λ π t ω sin A ξ 2 2 . (9) Здесь 1 и 2 - смещения от положения равновесия частиц среды, имеющих координату х, А - амплитуда этого смещения. Длина волны =T = /ν где ν - частота колебаний частиц среды, связанная с периодом Т, ν Т, =2 ν - циклическая частота. Выражение аргумента синуса называется фазой колебаний. Изменение фазы колебаний на противоположную при отражении волны от более плотной среды например, от микрофона) учтено в уравнении (9) добавлением к фазе слагаемого . Суммарное смещение частицы под действием падающей и отраженной волн находится сложением уравнений (8) и (9). В результате получаем уравнение стоячей волны 86 .t ω cos x A t ω cos λ x π sin A π x λ π t ω sin x λ π t ω sin A ξ ξ ξ 2 2 2 2 2 1 (10) Амплитуда волны согласно (10) меняется с координатой по закону x λ π sin A x A 2 2 , (11) ив заданной точке х остается неизменной, поэтому такая волна называется стоячей. Рассмотрим два частных случая 1. Пусть 0 2 sin x Это верно, если k x 2 (k=0, 1, 2, ...), тогда 2 k = x . (12) В точках, удовлетворяющих условию (12), амплитуда колебаний равна нулю. Такие точки называются УЗЛАМИ стоячей волны. В них падающая и отраженная волны встречаются в противоположных фазах. Расстояние между соседними узлами равно /2. Действительно, x (k+1) x (k) = (k+1) /2k/2 = /2. Пусть 1 2 sin x . Это будет при 2 1 2 2 k x , (k=0, 1, 2, ...). Отсюда 4 кВ этих точках амплитуда колебаний имеет максимум, равный согласно (11), удвоенной амплитуде смещения. Они называются ПУЧНОСТЯМИ стоячей волны. В них падающая и отраженная волны приходят в одинаковой фазе. Расстояние между соседними узлами и пучностями равно /2. Подчеркнем, что пучность, как и узел, представляет собой не одну точку, а геометрическое место точек, те. плоскость, перпендикулярную оси х, пересекающую эту ось в точке, определяемой формулой (13) для пучностей и (12) для узлов. График зависимости амплитуды колебаний молекул в стоячей волне в данном опыте, согласно формулам (11, 12, 13), имеет вид, представленный на риса. В тоже время распределение концентрации частиц газа n 0 и давления P =n 0 kT в волне будет изменяться так, как показано на рис. б. Видно, что наибольшее давление наблюдается там, где имеется наименьшее перемещение, те. в узлах. Таким образом, в замкнутой трубе (рис. 2) устанавливается стоячая волна, имеющая узлы на закрытых концах трубы х, х, если на длине трубы уложится целое число полуволн: k =2L/ . Так как длина волны равна расстоянию, на которое распространится волновой фронт за один период, двигаясь с фазовой скоростью (скорость звука ), легко установить ее связь с частотой Т. Учитывая, что k L λ 2 (из (12)), найдём частоты, при которых для трубы длиной L будет устанавливаться стоячая волна. k L k 2 , (k=0, 1, 2, ..). (14) Рис. 1 x A 0 x L 0 L P /2 пучности узлы а) б) Эти частоты называются СОБСТВЕННЫМИ или резонансными частотами колебаний воздушного столба. Из формулы (14) можно вывести два способа подбора условий резонанса 1) L=const; при увеличении частоты, начиная с нуля, находят те ее значения ν k , при которых будут наблюдаться первый, второй и т.д. максимумы 2) ν=const; увеличивая L, находят значения, при которых будет наблюдаться первый, второй и т.д. максимумы. СХЕМА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ Экспериментальная установка, предназначенная для изучения стоячих звуковых волн в закрытой трубе, представлена на рис. 2. Измерительный модуль содержит трубу 4 с поршнем 5 на линейке 6. Левый торец трубы закрыт стенкой 3. Через малые отверстия объем воздуха связан с одинаковыми динамиками 1 – источник звуковых колебаний, 2 – приемник (микрофон. Первый динамик подключен к генератору низкой частоты, а второй – к осциллографу. Для стабилизации сигнала в модуль встроен микрофонный усилитель, питание которого осуществляется от сигнала генератора. Индикатор выходного напряжения усилителя 8 и ручка регулировки усиления 9 расположены на лицевой панели модуля. Координата поршня определяется по шкале линейки с помощью риски 7. Если установить определенное значение частоты звуковой волны, то, перемещая поршень, можно изменять длину активной части трубы L и при фиксированной частоте наблюдать на экране осциллографа семейство набор) стоячих волн. Если длина L не изменяется, то получение семейства стоячих волн производится путем изменения частоты сигнала. Резонанс, соответствующий получению устойчивой стоячей волны, регистрируют по максимумам сигнала приемника. При этом установление резонанса определяется по максимуму свечения индикатора или по максимуму высоты тона микрофона. Для точного определения положения резонанса, после первоначальной фиксации сигнала, уменьшают свечение 2 1 3 4 5 8 9 7 6 к ГНЧ к осциллографу Рис. 2 индикатора и уточняют положение резонанса вблизи первоначально определенной точки. Разность координат положения поршня 2 и, соответствующих соседним максимумам сигнала, равна половине длины звуковой волны 2 2 1 1 2 . (15) Зная частоту и длину волны можно рассчитать скорость звука по формуле , (16) где - частота звукового генератора. Упражнение 1. Определение длины волны и скорости звука при фиксированной частоте звукового генератора. 1. Переместите поршень в крайнее левое положение. 2. Включите генератор. Дайте ему прогреться в течение 2-3 минут. 3. Поворачивая плавно рукоятку Амплитуда, установите амплитуду выходного сигнала генератора на уровне 4 В. 4. Нажмите кнопку множителя “10” и “100” на внешней панели генератора. Затем установите на генераторе частоту 1000 Гц, поворачивая рукоятки частота – грубо, ” частота – плавно. 5. Рукоятку интенсивности свечения индикаторной лампы установите в среднее положение между позициями “0” и “max”. 6. Увеличивая длину воздушной трубы перемещением поршня вправо, зафиксируйте координаты 2 и двух ближайших максимумов стоячей волны по наибольшей высоте тона звукового сигнала и яркости свечения индикатора. Можно считать 2 и серединой отрезка воздушной трубы, соответствующего началу и окончанию свечения индикатора (звукового сигнала) генератора. 7. По формулами) вычислите длину волны и скорость звука. Полученные результаты занесите в таблицу. 8. Увеличьте частоту на 200 Гц. Повторите пункты 5, 6 и 7 меняя частоту до 2000 Гц. Результаты измерений и расчетов занесите в таблицу №1. 9. Постройте график зависимости от 1/ν. 10. Определите угловой коэффициент прямой, соответствующий скорости звука в воздухе =/(1/ν). 11. Рассчитайте среднее значение скорости звука по результатам измерения для шести различных значений частоты. Вычислите абсолютную погрешность каждого измерения. 12. Оцените среднюю абсолютную погрешность υ 90 13. Окончательный результат представить в виде Определите относительную погрешность 14. Сравните полученное экспериментальное значение скорости звука в воздухе с табличным. Сделать вывод. Таблица 1 Частота генератора , Гц 1200 1400 1600 1800 2000 1 , мм, мм, мс , мс Упражнение 2. Определение длины волны и скорости звука при фиксированной длине L активной части трубы. |