Пример выполнения
Постановка
задачи.
Исследуются значения питающего напряжения некоторого устройства. Замер осуществляется с интервалом в 1 час. Выполнено 21 измерение напряжения в вольтах, в результате которых получена следующая выборка значений величины U(В)
(табл. 1).
Таблица 1.
12.2 12.3 12.9 13.0 13.2 11.8 11.9 11.3 11.5 10.8 11.1 12.0 12.1 12.1 11.6 12.0 11.9 12.5 12.6 12.5 11.9
Требуется: построить гистограмму выборки с помощью
Надстройки Пакет Анализа ЭТ MS Excel.
Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи в среде ЭТ MS Excel необходимо выполнить следующие действия:
1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в
Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.
2. Переименуйте Лист 2 в Исходные данные и наберите столбец исходных данных.
3. Вычислите величины U
max
, U
min
, R, n, N, N
округл.
, Δ и Δ
округл.
, используя встроенные функции ExcelМАКС, МИН, СЧЕТ, КОРЕНЬ и
ОКРУГЛ.
4. Сформируйте столбец интервалов группировки (карманов).
Если диапазон карманов не введен, то набор отрезков, равномерно распределенных между максимальным и минимальным значениями исходных данных, будут созданы Excel автоматически.
5. Наберите команду Данные → Анализ данных → Гистограмма и в появившемся диалоговом окне выполните нужные установки.
39 6. Отформатируйте полученную таблицу и построенную гистограмму выборки.
7. Сделайте выводы и сохраните работу в вашем каталоге.
40
Исходные данные для самостоятельного решения
Задание. Имеется выборка объема n = 26 (табл. 2).
Требуется: построить гистограмму выборки с помощью
Надстройки Пакет Анализа ЭТ MS Excel.
Таблица 2.
№
варианта
Выборка
1
3,13 9,56 7,03 9,18 7,85 5,59 6,85 11,3 7,90 6,00 6,68 5,66 8,64 8,87 4,58 11,3 5,02 4,33 9,31 10,3 5,89 6,98 5,83 8,75 7,73 9,16
2
3,48 7,87 4,04 8,81 4,08 3,46 4,37 6,66 1,46 5,59 3,78 8,73 5,57 8,62 3,25 3,38 4,20 2,49 6,11 4,54 6,53 5,20 3,84 5,35 9,72 4,63
3
4,21 5,68 3,45 6,79 3,39 2,99 3,88 3,77 1,43 5,96 4,94 6,65 5,92 4,20 4,25 5,64 5,58 5,87 5,05 3,55 7,95 4,45 5,85 6,68 1,24 7,09
4
11,7 9,83 5,49 7,43 9,92 3,41 6,83 8,22 8,30 8,14 9,29 9,47 7,83 7,61 3,46 7,72 12,1 6,06 10,6 6,76 8,81 9,86 8,13 9,04 4,75 9,33
5
4,89 9,25 7,94 9,10 6,37 6,77 3,47 8,84 6,48 4,92 6,98 10,1 6,32 6,36 5,16 7,92 12,0 7,46 7,01 13,0 7,34 6,71 5,48 9,95 11,9 8,89
6
6,13 8,56 9,77 9,17 8,89 6,19 7,70 6,96 6,72 6,08 4,41 5,52 9,59 9,42 6,22 4,86 6,33 6,48 8,60 7,38 7,84 7,24 6,85 6,50 8,28 4,98
7
6,82 9,27 7,91 5,77 8,02 3,07 2,22 5,76 11,6 6,62 7,07 12,5 1,65 10,5 3,67 7,62 4,94 5,39 3,64 4,62 8,88 6,75 5,77 6,38 10,3 5,74
8
8,48 9,56 6,06 5,85 6,78 5,60 10,8 7,70 6,44 8,64 6,95 5,66 4,84 4,98 4,62 5,57 6,47 5,97 8,42 3,66 9,24 4,13 6,58 7,41 5,67 7,89
9
10,2 9,23 8,77 10,4 9,44 9,69 6,30 9,42 6,62 9,69 8,59 8,68 7,97 8,64 6,45 5,29 5,00 8,42 8,84 8,26 6,46 6,96 6,51 6,72 6,00 5,36
10
7,83 9,62 9,77 9,17 8,89 6,19 7,71 6,96 6,72 6,08 4,41 5,52 9,59 8,66 6,26 4,86 6,33 6,28 8,60 7,38 7,84 7,24 6,85 6,50 8,28 4,98
41
Лабораторная работа №4 РАСЧЕТ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЫБОРКИ С ПОМОЩЬЮ ВСТРОЕННЫХ ФУНКЦИЙЭТ MSEXCEL Цель работы: овладеть навыками графического представления выборки с помощью Надстройки Пакет Анализа ЭТ MS Excel.
Краткая теория Первый шаг к осмыслению скрытых в выборке закономерностей − это ее графическое представление, то есть построение гистограммы, полигона частот и эмпирической функции распределения. Однако выборки, имеющие похожие графические изображения, могут различаться своими числовыми характеристиками.
Числовые характеристики вариационных рядов вычисляют по данным, полученным в результате наблюдений (статистическим данным), поэтому их называют также статистическими характеристиками или оценками.
Выборочные характеристики являются оценками соответствующих характеристик генеральной совокупности. Эти оценки должны удовлетворять определенным требованиям. В соответствии с важнейшими требованиями, оценки должны быть:
несмещенными, то есть стремиться к истинному значению характеристики генеральной совокупности при неограниченном увеличении количества испытаний;
состоятельными, то есть с ростом размера выборки оценка должна стремиться к значению соответствующего
параметра генеральной совокупности с вероятностью, приближающейся к 1;
эффективными, то есть для выборок равного объема используемая оценка должна иметь минимальную дисперсию.
Выборка может характеризоваться следующими числовыми характеристиками.
1.
Характеристики положения.
Самой известной и наиболее употребляемой характеристикой любого вариационного ряда является его средняя арифметическая, называемая также
выборочным средним. Средняя арифметическая характеризует значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения, т.е. центральную тенденцию распределения. При
42 статистическом анализе выборки,кроме средней арифметической, широко применяют структурные, или порядковые, средние, к которым относятся медиана и мода.
Выборочное среднее рассчитывается по формуле
n
x
x
n
i
i
1
Если же анализируемые данные представлены в виде вариационного ряда, то для вычисления выборочного среднего применяется одно из следующих соотношений:
для дискретного вариационного ряда
N
i
i
i
n
n
x
x
x
N
i
i
i
1
)
(
1
)
(
;
для интервального вариационного ряда
m
i
i
i
n
n
x
x
x
N
i
i
i
1
*
1
*
, где
i
– частность (относительная частота), соответствующая i-й варианте или i-му частичному интервалу;
*
i
x
– середина i-го частичного интервала группировки.
В программе MS Excel среднее значение находится с помощью функцией СРЗНАЧ .
Синтаксис функции:
СРЗНАЧ(число1; число2; ...).
43
Число1, число2, .. − это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее.
Аргументы
должны быть либо числами, либо именами, массивами или ссылками, содержащими числа.
Достоинство
медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть большее ее.
Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми. Особенность
моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она также не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.
Выборочная медиана разбивает выборку пополам: слева и справа от нее оказывается одинаковое число элементов выборки. Если число элементов выборки четно,
n = 2.k , то выборочную медиану определяют по формуле
Me = (xk + xk+1)/2, где
xk и
xk+1 ‒k-е и (
k +1) -е выборочные значения из вариационного ряда.
При нечетном n = 2
k + 1объеме выборки медиану находят по формуле
Me = xk+1, т.е. за значение медианы принимают величину
xk+1Синтаксис функции:
44
МЕДИАНА (диапазон).
Так, например, если в диапазоне записаны значения 1, 2, 3, 4, 5, то функция МЕДИАНА вернет значение, равное 3, а если диапазон 1, 2, 3,
4,, то найденное значение 2,5.
Мода Мо используется для нахождения наиболее часто встречающегося в выборке значения.
Синтаксис функции:
МОДА.ОДН (диапазон).
При поиске игнорируются пустые ячейки, текстовые и логические значения.
Если использовать функцию для нахождения Мо выборки 1, 2, 3, 4,
4, то функция даст 4. Если значения в выборке не повторяются, то
45 функция выдаст сообщение об ошибке #Н/Д.
2.
Характеристики рассеяния. Для получения полного представления о вариационном ряде
(определив центральную тенденцию распределения с помощью характеристик положения) далее оценивают рассеяние (вариацию, изменчивость) исследуемого признака вокруг этих величин.
Простейшим и, весьма приближенным показателем вариации
(изменчивости), является вариационный
размах. Размах вариации наиболее полезен, если нужен быстрый и общий взгляд на изменчивость при сравнении большого количества выборок.
Размах выборки вычисляется по формуле
R = xmax ‒ xminНо наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической. К таким оценкам относятся
выборочная дисперсия и
среднее квадратичное отклонение.
Дисперсия выборки ‒ это параметр, характеризующий степень разброса элементов выборки относительно среднего значения
x. Чем больше дисперсия, тем дальше отклоняются значения элементов выборки от среднего значения.
Выборочная дисперсия находится по формуле
nxxDnii
1 2
)
(
Для вычисления выборочной дисперсии с помощью ЭТ MSExcel используется функция
ДИСП.В.
Синтаксис функции:
46
ДИСП.В(число1; число2; …; число255). где
число1; число2; …; число255– числа или адреса ячеек, содержащих числовые данные. Ячейки,
содержащие текстовые, логические данные или пустые, при вычислении выборочной дисперсии игнорируются.
Для вычисления дисперсии генеральной совокупности в ЭТ Excel используется функция
ДИСП.Г.
Синтаксис функции:
ДИСП.Г(число1; число2; …; число255).
Если данные представлены в виде вариационного ряда, то целесообразно для вычисления
D вместо приведенной выше формулы использовать соотношения:
для дискретного вариационного ряда
47
N
i
i
i
n
n
x
x
x
x
D
N
i
i
i
1 2
)
(
)
(
)
(
1 2
)
(
;
для интервального вариационного ряда
N
i
i
i
n
n
x
x
x
x
D
N
i
i
i
1 2
*
)
(
)
(
1 2
*
Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины, то, согласно определению, дисперсия выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, если использовать в качестве меры вариации признака среднее квадратичное отклонениеS
√ .
При малых объемах выборки дисперсия является смещенной оценкой, поэтому при объемах n
30 используют исправленную
дисперсию и исправленное среднее квадратичное отклонение.
Среднее квадратичное отклонение S
,
полученное при выборке
n<30, носит название смещенного и его среднее значение занижено по сравнению со средним квадратичным отклонением для генеральной совокупности.
При числе испытаний n < 30 1
)
(
1 2
n
x
x
S
n
i
i
При числе испытаний 30≤n<50
,
)
(
1 2
1
n
x
x
S
n
i
i
k
1
S= M S
, где М
к
– коэффициент, зависящий от числа испытаний.
Значения М
к
приведены в табл. 1 дляК=n-1
48
Таблица 1
К 2 3 4 9 19 30 50 60
М
к
1,128 1,085 1,064 1,028 1,013 1,008 1,005 1,004
При n > 60 значение коэффициентаМ
к
1.
Для вычислений среднего квадратичного отклонения выборки применяется функция СТАНДОТКЛОН.В.
Синтаксис функции:
СТАНДОТКЛОН.В(число1; число2; ...).
Число1, число2,... −от 1 до 255 числовых аргументов, соответствующих выборке из генеральной совокупности. Вместо аргументов, разделенных точкой с запятой, можно также использовать массив или ссылку на массив.
Функция СТАНДОТКЛОН.В оценивает среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение) по выборке. Стандартное отклонение − это мера того, насколько широко разбросаны точки данных относительно их среднего.
СТАНДОТКЛОН.В предполагает, что аргументы являются только выборкой из генеральной совокупности.
Если данные представляют всю генеральную совокупность, то стандартное отклонение следует вычислять с помощью функции
СТАНДОТКЛОН.Г.
49
Стандартное отклонение вычисляется с использованием
«несмещенного» или «n ‒ 1» метода.
3. Характеристики формы.
К характеристикам формы относят коэффициент асимметрии и эксцесс. Выборочный эксцесс характеризует островершинность эмпирического распределения относительно стандартного нормального.
Эксцесс стандартного нормального распределения равен трем. Если эксцесс положителен (e k
> 0), то полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине.
Если эксцесс отрицателен (e k
< 0), то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от минимального до максимального значения. Чем больше абсолютная величина эксцесса, тем существеннее распределение отличается от нормального, смотри рисунок.
50
Выборочный эксцесс может быть найден по формуле
3, где
n
i
i
x
x
1 4
)
(
Для вычислений выборочного эксцесса выборки применяется функцияMS ExcelЭКСЦЕСС.
Синтаксис функции:
ЭКСЦЕСС (число1; число2; ...).
Коэффициент
асимметрии
характеризует симметрию распределения выборочных данных около центра выборки
х
, для стандартного нормального распределения коэффициент асимметрии равен 0 (а
S
=0).
Если распределение асимметрично, одна из ветвей построенного полигона частот имеет более пологий спуск, чем другая.
Если правая ветвь графика более пологая то это означает
51 преимущественное появление в распределении более высоких значений признака, при этом коэффициент асимметрии а
S
>0.В противном случае а
S
< 0, при этом в распределении чаще встречаются более низкие значения (смотри рисунок).
Чем больше значение коэффициента асимметрии, тем более асимметрично распределение (до 0,25 асимметрия незначительная; от
0,25 до 0,5 умеренная; свыше 0,5 – существенная).
Коэффициент асимметрии вычисляется по формуле
, где
)
(
1 3
3
n
i
i
x
x
Для вычисления коэффициента асимметрии выборки применяется функция СКОС.
Синтаксис функции:
СКОС(число1; число2; ...).
52
Пример выполнения
Постановка задачи. Приведены размеры месячных зарплат (в тыс. руб.) 27швей-мотористок, работающих по сдельно-премиальной системе оплаты труда (табл. 1).
Таблица 1.
18,8 20,2 19,3 19,9 23,2 22,5 17,4 21,8 19,2 19,4 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 19,4 18,7 16,3 20,5 20,6 19,4 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 17,8
Требуется: найти числовые характеристики выборки с помощью встроенных функций ЭТ MS Excel.
Решение задачи в среде ЭТ MS Excel. Для решения задачи в среде ЭТ MS Excel необходимо выполнить следующие действия:
1. Идентифицируйте свою работу, переименовав Лист1 в
Титульный лист и записав номер лабораторной работы, ее название, кто выполнил и проверил.
2. Переименуйте Лист 2 в Исходные данные и наберите таблицу исходных данных.
3. Постройте гистограмму выборки с помощью Надстройки Пакет анализа, не указывая интервалы группировки выборки.
53 4. Отформатируйте таблицу и график гистограммы.
5. Найдите числовые характеристики выборки с помощью встроенных функций ЭТ MS Excel, рассмотренных выше.
54 6. Сделайте выводы и сохраните работу в вашем каталоге.
Исходные данные для самостоятельного решения
Задание. Имеется выборка объема n = 24 (табл. 2).
Требуется: найти числовые характеристики выборки с помощью встроенных функций ЭТ MS Excel.
Таблица 2.
№ варианта
Выборка
1 18,8 20,2 19,3 19,7 23,2 22,5 17,4 21,8 19,4 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 19,4 18,7 20,5 20,7 19,4 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 2
19,9 23,2 22,5 17,4 21,8 18,8 20,2 19,3 18,4 19,3 18,7 19,4 18,7 19,4 18,7 16,3 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 20,5 20,6 19,4 3
19,3 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 19,4 18,7 20,7 20,6 19,4 18,7 16,3 18,7 19,3 18,8 19,9 23,2 22,7 17,4 21,8 18,8 20,2 19,3 4
16,3 18,4 19,3 18,3 19,4 18,7 21,8 18,8 19,7 17,7 16,3 18,4 19,3 18,8 18,7 19,4 22,5 17,4 21,8 17,7 20,2 19,3 18,8 20,5 5
16,5 18,7 19,3 18,8 19,4 18,7 19,3 18,8 18,8 16,3 18,4 19,3 18,8 20,5 20,6 19,4 19,7 18,7 16,3 18,4 19,3 18,8 19,4 18,7
55 6
16,3 20,6 19,4 18,7 16,3 18,7 19,3 18,8 21,8 23,2 22,7 17,4 21,8 18,8 20,2 19,3 19,4 18,4 19,3 18,1 19,4 19,7 21,8 18,8 7
19,3 18,7 16,7 17,4 19,3 18,8 18,7 19,4 20,2 17,4 21,8 18,8 20,2 19,3 17,8 20,5 19,4 18,7 19,3 18,3 19,4 18,7 19,3 18,8 8
19,7 18,7 16,3 18,7 19,3 18,8 19,3 18,8 16,3 17,4 21,8 18,8 20,2 19,3 18,4 19,3 21,8 18,1 19,4 19,7 21,8 18,8 18,7 16,3 9
19,4 17,4 19,3 18,8 18,7 19,4 17,4 21,8 19,3 18,8 20,2 19,3 17,8 20,5 18,1 19,4 20,2 18,3 19,4 18,7 19,3 18,8 17,4 19,3 10 19,3 20,6 19,4 18,7 16,3 18,7 18,8 20,2 20,2 23,2 22,7 17,4 21,8 18,8 18,3 19,4 19,4 18,4 19,3 18,1 19,4 19,7 19,7 21,8
Скачать 1.78 Mb.