4 Предел функции. Предел функции
 Скачать 455.58 Kb.
|
Предел функцииРазличают – предел функции в точке и предел функции на бесконечности. Рассмотрим функции, графики которых изображены на следующих рисунках: Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, но все же изображают они три разные функции, отличающиеся друг от друга своим поведением в точке . Рассмотрим каждый из этих графиков подробнее: Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение , не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение , существует, но оно отличное от, казалось бы, естественного значения точка как бы выколота. Для функции график которой изображен на этом рисунке, значение , существует и оно вполне естественное. Для всех трех случаев используется одна и та же запись: которую читают: «предел функции при стремлении к равен ». Содержательный смысл этой фразы следующий: если значения аргумента выбирать все ближе и ближе к значению , то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Или можно сказать так: в достаточно малой окрестности точки справедливо приближенное равенство: При этом сама точка исключается из рассмотрения. Прежде чем перейти к разбору решений примеров заметим, что если предел функции при стремлении к равен значению функции в точке , то в таком случае функцию называют непрерывной. График такой функции представляет собой сплошную линию, без «проколов» и «скачков». Функцию называют непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка. Примерами непрерывных функций на всей числовой прямой являются: Функция непрерывна на луче а функция непрерывна на промежутках Предел функции в точкеЧисло В называется пределом функции в точке а, если для всех значений х , достаточно близких к а и отличных от а, значение функции f (x) сколь угодно мало отличается от В. Теорема.Если функция f (x) имеет предел в точке х0, то этот предел единственный.Бесконечно малая функция и бесконечно большая функция.
Графическая иллюстрация
Таким образом, величина, обратная бесконечно малой, есть бесконечно большая, и наоборот. Теорема 1. Предел суммы (разности) 2-х функций равен сумме (разности) их пределов, если последние существуют: Теорема 2. Предел константы равен самой этой константе. Теорема 3. Предел произведения 2-х функций равен произведению их пределов, если последние существуют: Теорема 4. Предел отношения 2-х функций равен отношению их пределов, если последние существуют и предел знаменателя отличен от 0: Теорема 5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела Теорема 6. Предел степени переменного равен той же степени предела основания: Вычисление пределовВычисление предела: начинают с подстановки предельного значения x0 в функцию f(x). Если при этом получается конечное число, то предел равен этому числу. Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида: то предел будет равен: Вычислить пределы:Примеры Вычисление пределовЧасто при подстановке предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения следующих видов: Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов в этом случае называется раскрытие неопределенности. Методы вычисления пределов на неопределенностьРаскрыть соответствующую неопределенность - это значит найти предел (если он существует) соответствующего выражения, что, однако не всегда просто
числитель и знаменатель дроби разделить на множители, и затем сократить на множитель, приводящий к неопределенности.Правило № 1 Пример №1: Разложим числитель и знаменатель на множители: Пример № 2:
Правило № 2 Раскрытие неопределенностейРаскрытие неопределенности Если f(x) – дробно – рациональная функция, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби Если f(x) – иррациональная дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю. Упражнения:Домашнее задание: |