лекции теор. мех (копия). Предмет теоретической механики изучение механического движения и механического взаимодействия материальных тел
 Скачать 0.97 Mb.
|
 ; по модулю же  Вводя обозначение АВ=Ь и составляя для сил, действующих на балку, условия равновесия, получим:  Полагая в этих уравнениях  и решая их, найдем:  Из полученных результатов видно, что все реакции, кроме , имеют направления, показанные на рис. 63, реакция же YА фактически направлена вниз. При решении задач этим путем важно иметь в виду, что если давление какого-нибудь одного тела на другое изображено силой R или составляющими X и Y, то на основании закона о действии и противодействии давление второго тела на первое должно изображаться силой R', направленной противоположно R (причем по модулю R'=R) или составляющими X', Y', направленными противоположно X и Y (причем по модулю Х'=Х, Y'=Y). Статический расчет инженерных сооружений во многих случаях сводится к рассмотрению условий равновесия конструкции из системы тел, соединенных какими-нибудь связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, будем называть внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее не входящими (например, с опорами). Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела.  Однако могут встречаться такие инженерные конструкции, которые после отбрасывания внешних связей не остаются жесткими. Примером такой конструкции является трех-шарнирная арка (рис. 8.1). Если отбросить опоры А и В, то арка не будет жесткой: ее части могут поворачиваться вокруг шарнира С. На основании принципа отвердевания система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия твердого тела. Но эти условия, как указывалось, будучи необходимыми, не будут являться достаточными; поэтому из них нельзя определить все неизвестные величины. Для решения задачи необходимо дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции. Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на трех-шарнирную арку (рис.8.1), мы получим три уравнения с четырьмя неизвестными ХА, YA, XB, YB. Рассмотрев дополнительно условия равновесия левой (или правой) ее половины, получим еще три уравнения, содержащие два новых неизвестных Хс, Yc, на рис. 8.1 не показанных. Решая полученную систему шести уравнений, найдем все шесть неизвестных. Другой способ решения подобных задач состоит в том, что конструкцию сразу расчленяют на отдельные тела и составляют условия равновесия каждого из тел в отдельности. При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Для конструкции из п тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получится таким путем 3n уравнений, позволяющих найти 3n неизвестных (при других системах сил число уравнений соответственно изменится). Если для данной конструкции число всех реакций связей будет больше числа уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция будет статически неопределимой. Рассмотрим задачу о нахождении опорных реакций трехшарнирной арки, которая состоит из двух частей, М и N, имеющих шарнирные опоры А и В и соединенных между собой идеальным шарниром С (рис. 8.2, а). Если рассматривать эту систему тел как одно твердое тело (аксиома 5), то будем иметь три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными ХА, YА, Хв, YB (проекции опорных реакций в точках А и В). Тем не менее эта задача, статически определенная. Дело в том, что в равновесии находятся два тела М и N, соединенных между собой шарниром С, и можно рассматривать равновесие каждого тела в отдельности. Таким образом, число уравнений равновесия будет равно шести —по три уравнения для каждого тела. Действие тела N на тело М, передаваемое через идеальный шарнир, может быть заменено одной силой, а действие тела М на тело N может быть заменено такой же по модулю силой, но противоположно направленной (аксиома 4). Рассмотрим равновесие каждого тела в отдельности. На рие. 8.2, б указаны силы, приложенные к телам М и N, причем силы Хс и Yc представляют собой составляющие силы, заменяющие собой действие тела N на тело М, а Х’с, У’с — составляющие силы, заменяющие действие тела М на тело /V.  Рисунок 8.2. Трехшарнирная арка. Для каждого тела мы можем составить по три уравнения равновесия, т. е. всего шесть уравнений, неизвестных же тоже будет шесть, так как в силу аксиомы 4 Хс = — Хс, Yc =— Yc. Указанный путь решения задачи, конечно, не единственный. Можно, например, составить три уравнения равновесия для тела М, а остальные три — для системы тел М и N, принимая их за одно твердое тело, или составить уравнения равновесия для тела N и уравнения равновесия для системы тел М и N, как для одного твердого тела. Целесообразность применения того или иного способа решения задачи зависит от условий конкретной задачи. Задача. Рама состоит из двух жестких частей АС и ВС (рис. 8.3, а), соединенных шарниром С и прикрепленных к фундаменту шарнирными опорами А и В- Определить реакции в шарнирах А, В, С, если в точке D приложена вертикальная сила Р= 1 т. Задачу решить графически. Решение. Реакции шарниров А и В неизвестны по величине и направлению. Следовательно, если рассматривать равновесие всей системы АСВ, отбросив опоры А и В и заменив их действие реакциями, то число неизвестных будет равно четырем, а уравнений равновесия будет три. Рассмотрим поэтому отдельно равновесие левой части рамы (рис. 8.3 б). К этому твердому телу никаких активных сил не приложено. Применяя закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно шарниры Л и С и заменим их действие реакциями. Часть рамы АС находится в равновесии под действием двух сил: RA и Rc. Согласно второму закону статики эти силы должны быть равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны. Так как одна сила приложена в точке А, а другая — в точке С, то общей линией действия этих сил будет АС. Рассмотрим, далее, равновесие правой части ВС рамы. К ней приложена одна активная сила Р. Освобождаясь мысленно от двух связей: шарниров В и С, заменяем их действие реакциями. Реакция R'c на основании закона равенства действия и противодействия равна по неличине Rc и направлена в противоположную сторону по АС (рис. 8.3, в).  Направление реакции RH может быть определено на основании теоремы о трех непараллельных силах. Действительно, часть ВС находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости. Линии действия двух сил известны- они пересекаются в точке О. Согласно теореме линия действия третьей силы реакции RВ должна также проходить через точку О. Три силы Р, R'c, RВ, линии действия которых пересекаются в точке О, находятся в равновесии. Следовательно, они должны образовать замкнутый треугольник. Откладываем из произвольной точки (рис. г) силу Р, известную по неличное и направлению. Из конца силы Р проводим линию, параллельную АС, т. е. линии действия силы R'c. Из начала силы Р проводим линию, параллельную ОВ, т. е. линии действия силы RB. Получаем замкнутый силовой треугольник, стороны которого и определяют п принятом для силы Р масштабе величины искомых реакций: R'c и RВ. Согласно ранее доказанному реакция шарнира А равна R'c- Решение задачи об определении реакций шарниров трехшарнирной арки осложняется, если среди активных сил, действующих на трехшарнирную арку, имеется одна сила, приложенная к шарниру С. Рассмотрим в этом случае трехшарнирную арку как составленную из трех тел: двух полуарок и шарнирного болта. Полуарки не соприкасаются друг с другом. Шарнирный болт соприкасается с каждой из них. Рассмотрим три возможных варианта задачи. В первом варианте (рис. д) активная сила Р приложена к шарнирному болту, а к полуаркам никаких задаваемых сил не приложено. В этом случае на левую полуарку, находящуюся в равновесии, действуют две равные силы RA и Rc (рис. б), направленные по прямой АС в противоположные стороны. Совершенно аналогично па правую полуарку действуют две взаимно уравновешивающиеся силы RВ и Rc1, направленные по прямой ВС. Рассмотрим равновесие шарнирного болта С, к которому приложены три силы: сила Р, реакции левой и правой полуарок — Rc, — RC1 (рис. е), причем сила Р известна по величине и направлению, а у реакций полуарок известны только линии действия. Строя замкнутый треугольник (рис. ж), находим величины реакций Rс, RC1 и, следовательно, равные им величины RA, RВ. Во втором варианте (рис. з) активные силы, кроме шарнирною болта С, приложены только к одной правой полуарке (сила Q). Рассмотрим равновесие левой полуарки (рис. б). Направление реакций Rc и RA совпадает с прямой АС. Далее, присоединяем шарнирный болт С вместе с приложенной к нему активной силой Р к правой полуарке и рассматриваем ее равновесие (рис. и) под действием сил: Р, Q, — Rc и реакции RВ, которую раскладываем па две составляющие RВx, RВy. Замечая, что —Rc образует угол 45° с горизонталью, составляем три уравнения равновесия: ∑ Fkх = Rc cos 45° - Q + RBX = О, ∑ Fky = Rc sin 450 - P + RBy = 0, ∑ mB(Fk) = RC a√2 – P ∙ a – Q ∙ b = 0, откуда и определяются все три неизвестные. В третьем варианте (рис. к) активные силы приложены, кроме шарнирного болта, и к обеим полуаркам. В этом случае сначала определяем реакции шарниров А и В. Для этого рассмотрим равновесие всей арки, отбросив мысленно шарниры А и В и заменив их действие реакциями (рис. л). Три уравнения равновесия будут: ∑ Fkх = T + RAX + RBX – Q = О, ∑ Fky = RAy - P + RBy = 0, ∑ mA(Fk) = RBy ∙2a –- T ∙ a - P ∙ a – Q = 0, В этих трех уравнениях четыре неизвестных: RAx, RAy, RBx, RBy. Чтобы составить четвертое недостающее уравнение равновесия, рассмотрим равновесие любой полуарки (например, левой), присоединив к ней шарнирный болт с приложенной к нему силой Р (рис. м). При этом составляем уравнение равновесия, в которое бы не входила реакция правой полуарки па болт. Таким уравнением равновесия будет равенство нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирного болта С ∑ mC(Fk) = RAx ∙a –- RAy ∙a = 0, Из этой системы четырех уравнений определяются RAx, RAy, RВх, RВv. Далее, составляя остальные уравнения равновесия для левой полуарки, находим RCx, RCy — составляющие реакции правой полуарки на болт. Для определения реакции левой полуарки па болт (она в этом случае не равна реакции на болт правой полуарки) необходимо рассмотреть отдельно равновесие правой полуарки. 1 Иногда активные силы называют задаваемыми. 2 Методы решения статически неопределимых задач выходят за рамки теоретической механики и относятся к курсу сопротивления материалов и строительной механики. |