Лекция. Лекция. Планирование эксперимента (1). Применение методов математического планирования экспериментов
 Скачать 0.8 Mb.
|
|
Применение методов математического планирования экспериментов Современные тенденции развития, радиоэлектроники характеризуются усложнением функций, выполняемых радиоэлектронной аппаратурой (РЭА). Это приводит к естественному усложнению ее схем и конструкций, с одновременным повышением требований к качеству. Качество РЭА характеризуется в первую очередь такими ее свойствами, как эффективность выполнения поставленных задач, технологичность, функциональные, экономические, конструктивные характеристики. Каждое из них можно описать одним или несколькими количественными характеристиками - показателями качества. В результате задача обеспечения наилучшего качества РЭА оказывается многокритериальной и вследствие этого достаточно сложной. Она связана с решением экстремальных задач синтеза структуры разрабатываемого радиоэлектронного устройства (РЭУ), оптимизации его параметров, выбора наилучшего варианта конструкции и т.д. Кроме того, перед разработчиком РЭА очень остро стоит проблема сокращения сроков проектирования. Решение этих задач возможно только с помощью методов машинного проектирования, связанных в единую систему автоматизированного проектирования. Однако использование ЭВМ при разработке РЭУ теснейшим образом связано с наличием модели разрабатываемого устройства, к которой предъявляются два требования: точности и простоты. Кроме того, одним из важнейших условий, определяющих целесообразность применения машинных методов, является наличие сведений о численных значениях параметров модели, их разбросах и зависимостях от режима, температуры и т.д. Достоверность полученных результатов полностью определяется адекватностью применяемых математических моделей РЭУ их физическим прототипам. При использовании классических методов построения математических описаний в виде систем дифференциальных и алгебраических уравнений перечисленные требования кмодели часто оказываются противоречивыми. Повышение точности модели приводит к ее резкому усложнению и к совершенно неприемлемым затратам машинного времени. Значительно лучшие результаты дают полиномиальные модели, которые могут быть найдены с помощью экспериментально-статистических методов. Сейчас все большее число исследователей приходит к выводу о том, что на различных этапах разработки современных, весьма сложных РЭУ целесообразно сочетать методы машинного проектирования с экспериментом, проводимым на макете, а на заключительном этапе и на реальном устройстве. Разумное сочетание ЭВМ с экспериментальной отработкой, использование в системах автоматизированного проектирования математических моделей, полученных экспериментальным способом, позволяет наилучшим образом реализовать достоинства каждого из применяемых методов и по возможности нейтрализовать их недостатки. Для получения полиномиальных математических моделей РЭУ широко применяют методы планирования активного эксперимента (МПЭ), т.е. эксперимента, который проводится в строгом соответствии с определенным планом [3,4,5]. 1. Цели планирования экспериментов Для правильной организации модельного эксперимента исследователь (разработчик) должен располагать следующей информацией: Во-первых, исследователь и на этапе планирования эксперимента должен знать, к какому классу относится моделируемая система (статическая или динамическая, детерминированная или стохастическая и т.д.). Во-вторых, он должен определить, какой режим работы системы его интересует: стационарный (установившийся) или нестационарный. В-третьих, необходимо знать, в течение какого промежутка времени следует наблюдать за поведением (функционированием) системы. В-четвертых - знать какой объем испытаний (т.е. повторных экспериментов) сможет обеспечить требуемую точность оценок (в статистическом смысле) исследуемых характеристик системы. Можно пойти по такому пути: не особенно задумываясь над перечисленными вопросами, взять от модели все «по максимуму» — исследовать работу системы во всех режимах, для всех возможных сочетаний внешних и внутренних параметров и повторять каждый эксперимент по сотне раз. Однако польза от такого моделирования невелика, поскольку полученные данные будет очень сложно обработать и проанализировать, а еще труднее принять с их помощью какое-либо конкретное решение. Да и затраты времени на моделирование, даже с учетом быстродействия современных компьютеров, окажутся чрезмерными. Таким образом, планирование модельных экспериментов преследует две основные цели: • сокращение общего объема испытаний при соблюдении требований к достоверности и точности их результатов; • повышение информативности каждого из экспериментов в отдельности. 2. Основные понятия в планировании экспериментов Составление наиболее экономного, с точки зрения всех затрат, и информативного плана эксперимента, реализация и контроль эксперимента, анализ и интерпретация получаемых результатов - вот далеко неполный перечень задач, которые решаются с помощью математической теории планирования эксперимента (МПЭ). Для успешного применения МПЭ при исследовании РЭА необходимо не только использовать известные методы планирования, но и изучать специфику радиоэлектронных устройств как объектов эксперимента, творчески подходить к вопросам оптимального экспериментирования, учитывая конкретные особенности и сложности организаций эксперимента. Поиск плана эксперимента производится в так называемом факторном пространстве. Факторное пространство — это множество внешних и внутренних параметров модели, значения которых разработчик может контролировать в ходе подготовки и проведения модельного эксперимента. Во многих случаях факторы могут носить не только количественный, но и качественный характер. Например, при оценке пользовательского интерфейса такими факторами могут быть цветовая палитра, степень подготовленности пользователей и т.д. Поэтому значения факторов обычно называют уровнями. Если при проведении эксперимента разработчик может изменять уровни факторов, эксперимент называется активным, в противном случае — пассивным. Введем еще несколько терминов, используемых в теории планирования эксперимента. Каждый из факторов имеет верхний и нижний уровни, расположенные симметрично относительно некоторого нулевого уровня. Точка в факторном пространстве, соответствующая нулевым уровням всех факторов, называется центром плана. Интервалом варьирования фактора называется некоторое число J, прибавление которого к нулевому уровню дает верхний уровень, а вычитание — нижний. Как правило, план эксперимента строится относительно одного (основного) выходного скалярного параметра Y, который называется наблюдаемой переменной. Если моделирование используется как инструмент принятия решения, то в роли наблюдаемой переменной выступает показатель эффективности. При этом предполагается, что значение наблюдаемой переменной, полученное в ходе эксперимента, складывается из двух составляющих: y=f(x) + e(x), (3.1) где f(x) — функция отклика (неслучайная функция факторов); е(х) — ошибка эксперимента (случайная величина); х — точка в факторном пространстве (определенное сочетание уровней факторов). Очевидно, что у является случайной переменной, так как зависит от случайной величины е(х). Дисперсия Dy наблюдаемой переменной, которая характеризует точность измерений, равна дисперсии ошибки опыта: Dy = De. Dy называют дисперсией воспроизводимости эксперимента. Она характеризует качество эксперимента. Эксперимент называется идеальным при Dy = 0. Существует два основных варианта постановки задачи планирования имитационного эксперимента: 1. Из всех допустимых выбрать такой план, который позволил бы получить наиболее достоверное значение функции отклика f(x) при фиксированном числе опытов. 2. Выбрать такой допустимый план, при котором статистическая оценка функции отклика может быть получена с заданной точностью при минимальном объеме испытаний. Решение задачи планирования в первой постановке называется стратегическим планированием эксперимента, во второй — тактическим планированием. 3. Процесс построения стратегического плана математических моделей Содержит следующие этапы: подготовка исходных данных; анализ РЭУ как объекта активного эксперимента; выбор общей структуры эксперимента и используемых планов; отсеивание несущественных параметров; построение плана основного эксперимента; проведение эксперимента; обработка результатов эксперимента и построение функциональной зависимости y j =φ(x i ). В качестве исходных данных необходимо иметь: принципиальную электрическую схему и полный перечень выходных и первичных параметров исследуемого устройства. На основе предварительного анализа исходных данных необходимо определить, какие первичные параметры целесообразно (и возможно технически) варьировать в ходе эксперимента, а какие фиксировать на определенном уровне. Совокупность фиксированных уровней первичных параметров определяет условия эксперимента. Следует помнить, что получаемая математическая модель справедлива только для этих условий. Кроме того, необходимо на начальном этапе исследования выбрать начальную точку эксперимента по всем факторам (x i0 ), их шаги варьирования (λі) и обосновать требования к точности искомой модели (допустимые уровни случайной и систематической ошибок). В качестве начальной точки эксперимента обычно используют данные предварительных расчетов РЭУ, а шаги варьирования выбираются равными 10-50% от x i0. Цель методов стратегического планирования имитационных экспериментов — получение максимального объема информации об исследуемой системе в каждом эксперименте (наблюдении). Другими словами, стратегическое планирование позволяет ответить на вопрос, при каком сочетании уровней внешних и внутренних факторов может быть получена наиболее полная и достоверная информация о поведении системы. При стратегическом планировании эксперимента должны быть решены две основные задачи: 1. Идентификация факторов. 2. Выбор уровней факторов. Под идентификацией факторов понимается их ранжирование по степени влияния на значение наблюдаемой переменной (показателя эффективности). По итогам идентификации разделяют все факторы на две группы — первичные и вторичные. Первичные — это те факторы, в исследовании влияния которых экспериментатор заинтересован непосредственно. Вторичные — факторы, которые не являются предметом исследования, но влиянием которых нельзя пренебречь. Выбор уровней факторовпроизводится с учетом двух противоречивых требований: • уровни фактора должны перекрывать (заполнять) весь возможный диапазон его изменения; • общее количество уровней по всем факторам не должно приводить к чрезмерному объему моделирования. Отыскание компромиссного решения, удовлетворяющего этим требованиям, и является задачей стратегического планирования эксперимента. 4. Построение плана эксперимента и матрицы планирования Активный эксперимент проводится в строгом соответствии с определенным планом. План формулирует правила целенаправленного изменения факторов в ходе эксперимента, т.е. задает условия проведения каждого опыта. Эти условия, а также результаты опытов сводятся в таблицу, которая называется матрицей планирования. Строки таблицы соответствуют отдельным опытам, а столбцы - факторам. Кроме того, для удобства расчетов в матрицу планирования включаются столбцы, соответствующие взаимодействиям факторов и фиктивным переменным. Обычно вместо нормированных значений факторов, равных "+1" и "-1", в таблицу записываются только знаки "+" и "-". Данные о значениях факторов, отличных от единицы, заносятся в таблицу полностью (число и знак). Для получения математических моделей РЭУ применяются следующие планы эксперимента: полный факторный эксперимент (ПФЭ), дробный факторный эксперимент (ДФЭ), латинский план, рандомизированный план, серия одно- и двухфакторных опытов, ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП), ортогональный план третьего порядка, комбинированные планы. 4.1. Полный факторный эксперимент Полным факторным называется эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней варьирования факторов. ПФЭ используется для получения моделей в виде неполного квадратичного полинома вида n i i i x b b y 1 0 - линейный (3.2) или 2 1 0 n l l i l i il n i i i x x b x b b y - неполный квадратичный (3.3) если число факторов n≤5. Для получения таких моделей достаточно варьировать каждый фактор на двух уровнях: верхнем x i = +1 и нижнем x i = -1. Объем эксперимента N равен 2 n , где n- число факторов. Для быстрого перебора всех возможных сочетаний уровней варьирования факторов при составлении матрицы планирования используется правило чередования знаков: для x 1 знаки "+" и "-" меняются через один, для x 2 они чередуются через два, для x 3 - через четыре и так далее. Таким образом, длина интервала (т.е. число опытов), в котором знак постоянен, равна 2 i-1 , где i-номер фактора. Матрица планирования ПФЭ 2 n для трех факторов (n =3) приведена в таблице 3.1. Таблица 3.1. Матрица планирования ПФЭ 2 3 № x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 y 1 + - - - + + + y 1 2 + + - - - - + y 2 3 + - + - - + - y 3 4 + + + - + - - y 4 5 + - - + + - - y 5 6 + + - + - + - y 6 7 + - + + - - + y 7 8 + + + + + + + y 8 Рис. 3.1. Реализация матрицы планирования ПФЭ 2 3 в среде Ms Excel План ПФЭ обладает следующими свойствами: 1) симметричность относительно центра эксперимента: N j ij x 1 0 2) выполняется так называемое условие нормировки: N j ij N x 1 3) ортогональность матрицы планирования: N j lj ij x x 1 0 4) рототабельность плана: S 2 {y}=const при ρ=const (дисперсия модели одинакова на равных расстояниях ρ от центра эксперимента и не зависит от направления). Свойство ортогональности позволяет получить несмешанные оценки для линейных эффектов b i и эффектов парных взаимодействий b il, что, важно для дальнейшего использования модели. Свойство нормировки позволяет упростить соотношения для вычисления математических ожиданий и дисперсий коэффициентов модели: N y x b m N j j ij i bi 1 ; N y x x b mb N j j lj ij il l i 1 ; S 2 {b i }= S 2 {b il }= N S y 2 . (3.4) Отсюда следует, что все коэффициенты модели имеют одинаковые дисперсии. Недостаток ПФЭ — большие временные затраты на подготовку и проведение. Например, если в модели отражены 3 фактора, влияющие на значение выбранного показателя эффективности, каждый из которых имеет 4 возможных уровня (значения), то план проведения ПФЭ будет включать 64 эксперимента (N = 4 3 ). Если при этом каждый из них длится хотя бы одну минуту (с учетом времени на изменение значений факторов), то на однократную реализацию ПФЭ потребуется более часа. Поэтому использование ПФЭ целесообразно только в том случае, если в ходе имитационного эксперимента исследуется взаимное влияние всех факторов, фигурирующих в модели. Если такие взаимодействия считают отсутствующими или их эффектом пренебрегают, проводят частичный факторный эксперимент (ЧФЭ). Известны и применяются на практике различные варианты построения планов ЧФЭ. Мы рассмотрим только некоторые из них. 4.2. Рандомизированный план— предполагает выбор сочетания уровней для каждого прогона случайным образом. При использовании этого метода отправной точкой в формировании плана является число экспериментов, которые считает возможным (или необходимым) провести исследователь. 4.3. Латинский план(или «латинский квадрат») — используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичными. Суть такого планирования состоит в следующем. Если первичный фактор А имеет l уровней, то для каждого вторичного фактора также выбирается l уровней. Выбор комбинации уровней факторов выполняется на основе специальной процедуры, которую мы рассмотрим на примере. Пусть в эксперименте используется первичный фактор А и два вторичных фактора — В и С, число уровней факторов l равно 4. Соответствующий план можно представить в виде квадратной матрицы размером l x l (4 x 4) относительно уровней фактора А. При этом матрица строится таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце данный уровень фактора А встречался только один раз: В результате имеем план, требующий 4 x 4 = 16 прогонов, в отличие от ПФЭ, для которого нужно 4 3 = 64 прогона (таблица 3.2). Таблица 3.2. Матрица латинского плана Значение фактора В Значение фактора С С1 С2 С3 С4 В1 А1 А2 А3 А4 В2 А2 А3 А4 А1 В3 А3 А4 А1 А2 В4 А4 А1 А2 А3 4.4. Эксперимент с изменением факторов по одномуСуть его состоит в том, что один из факторов «пробегает» все l уровней, а остальные n-1 факторов поддерживаются постоянными. Такой план обеспечивает исследование эффектов каждого фактора в отдельности. Он требует всего N = l 1 + l 2 +…+ l n прогонов (l i ,— число уровней i-го фактора). Для рассмотренного выше примера (3 фактора, имеющие по 4 уровня) N = 4 + 4 + 4 = 1 2 . Еще раз подчеркнем, что такой план применим (как и любой ЧФЭ) только при отсутствии взаимодействия между факторами. 4.5. Дробный факторный эксперимент Основным недостатком ПФЭ является его большой объем. Уже при числе факторов n =7-8 эксперимент становится трудноосуществимым. Для сокращения объема экспериментальных исследований используется дробный факторный эксперимент (ДФЭ). ДФЭ представляет собой систематическую выборку из плана ПФЭ 2 n и обозначается так: ДФЭ 2 n-p , где р - степень дробности. План ДФЭ 2 n-p обладает перечисленными выше свойствами ПФЭ 2 n Для построения матрицы планирования ДФЭ 2 n-p следует: разделить все факторы на p зависимых и (n-p) свободных; построить для свободного фактора матрицу ПФЭ 2 n-p ; задать p генерирующих соотношений, которые формулируют правило преобразования матрицы ПФЭ 2 n-p в матрицу ДФЭ 2 n-p . Матрица планирования ДФЭ 2 n-p для пяти факторов (n=5, p=1) приведена в таблице 1.2. Таблица 3.3. Матрица планирования ДФЭ 2 5-1 № x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 1 + - - - - - y 1 2 + + - - - + y 2 3 + - + - - + y 3 4 + + + - - - y 4 5 + - - + - + y 5 6 + + - + - - y 6 7 + - + + - - y 7 8 + + + + - + y 8 № x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y 9 + - - - + - y 9 10 + + - - + + y 10 11 + - + - + + y 11 12 + + + - + - y 12 13 + - - + + + y 13 14 + + - + + - y 14 15 + - + + + - y 15 16 + + + + + + y 16 Рис. 3.2. Реализация матрицы планирования ДФЭ 2 5-1 в среде Ms Excel Для сокращения записи в таблице 3.3. не включены столбцы, соответствующие взаимодействиям факторов. При составлении матрицы планирования ДФЭ 2 5-1 был выделен один (p=1), зависимый фактор x 5, а факторы x 1 -x 4 отнесены к числу свободных. Использовано генерирующее соотношение x 5= x 1 x 2 x 3. При выборе структуры генерирующего соотношения следует использовать априорные данные о незначимости эффектов взаимодействий свободных факторов (в приведенном примере должен быть незначим эффект взаимодействия трех факторов: x 1 x 2 x 3 ). Вычисление коэффициентов искомой модели и их дисперсий проводится по формулам, приведенным для ПФЭ. 4.6. Серия одно- и двухфакторных опытов Эксперимент используется для получения модели в виде неполного квадратичного полинома (3.2., 3.3) План эксперимента предусматривает проведение опыта в центральной точке, затем поочередно одностороннее варьирование каждого фактора и далее попарное варьирование факторов. Таким образом, факторы варьируются на двух уровнях: «0» и «1» или «0» и «-1». Объем эксперимента равен: N=1+n+ 2 n С (3.4) где n- линейные оценки; 2 n С - оценки парных взаимодействий . Матрица планирования для трех факторов (n=3, N=1=3+3=7) приведена в таблице 3.4. Таблица 3.4. Матрица планирования одно- и двухфакторных опытов № x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 y 1 + 0 0 0 0 0 0 y 0 2 + + 0 0 0 0 0 y 1 № x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 y 3 + 0 + 0 0 0 0 y 2 4 + 0 0 + 0 0 0 y 3 5 + + + 0 + 0 0 y 12 6 + + 0 + 0 + 0 y 13 7 + 0 + + 0 0 + y 23 Рис. 3.3. Реализация матрицы планирования в среде Ms Excel Коэффициенты модели и их дисперсии определяются по формулам: b 0 =y 0 ; b i =y i -y 0; b il =y il +y 0 -y i -y l; S 2 {b 0 }= 2 y S ; S 2 {b i }=2 2 y S ; S 2 {b il }=4 2 y S 4.7. Ортогональный центральный композиционный план Ортогональный центральный композиционный план (ОЦКП) используется при получении моделей в виде полных квадратичных полиномов вида: n i i ii l l l i i l i n i i i x b x x b x b b y n 1 2 1 0 2 (3.5) где i, l – текущие номера первичных параметров. План состоит из ядра, в качестве которого применяется ПФЭ 2 n или ДФЭ 2 n-p , 2n , так называемых звездных точек с нормированными координатами (0; 0; … α … 0) и центральной точки (0; 0; … 0). Объем эксперимента N равен: N=Nя+2n+1, (3.6) где Nя – объем ядра плана, равный 2 n или 2 n-p Величина α, определяющая координаты звездных точек, зависит от числа факторов n. Эта зависимость приведена в таблице 3.5. Таблица 3.5. Зависимость величины α от числа факторов n n 2 3 4 5 6 α 1 1,215 1,414 1,52 1,63 Для упрощения обработки результатов эксперимента (ортогонализация столбцов матрицы планирования) в матрицу планирования вводятся фиктивные переменные 2 i x , величины которых рассчитываются по формуле: 2 i x = 2 2 1 2 2 i i N j ij i x x N x x (3.7) Матрица планирования ОЦКП для трех факторов (n=3) приведена в таблице 3.6. Таблица 3.6. Матрица планирования ОЦКП для n=3 № x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 2 1 x 2 2 x 2 3 x y 1 + - - - + + + 0.27 0.27 0.27 y 1 2 + + - - - - + 0.27 0.27 0.27 y 2 3 + - + - - + - 0.27 0.27 0.27 y 3 4 + + + - + - - 0.27 0.27 0.27 y 4 5 + - - + + - - 0.27 0.27 0.27 y 5 № x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3 2 1 x 2 2 x 2 3 x y 6 + + - + - + - 0.27 0.27 0.27 y 6 7 + - + + - + + 0.27 0.27 0.27 y 7 8 + + + + + + + 0.27 0.27 0.27 y 8 9 + -1.215 0 0 0 0 0 0.75 -0.73 -0.73 y 9 10 + 1.215 0 0 0 0 0 -0.75 -0.73 -0.73 y 10 11 + 0 -1.215 0 0 0 0 -0.73 0.75 -0.73 y 11 12 0 0 1.215 0 0 0 0 -0.73 0.75 -0.73 y 12 13 + 0 0 -1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.75 y 13 14 + 0 0 1.215 0 0 0 -0.73 -0.73 0.75 y 14 15 + 0 0 0 0 0 0 -0.73 -0.73 -0.73 y 15 В рассматриваемом случае в качестве ядра плана использован ПФЭ 2 3 : N = 2 n + 2n + 1 = 2 3 + 6 + 1 = 15; α = 1,215; 2 i x = 73 , 0 15 2 ) 215 , 1 ( 8 1 2 2 4.8. Ортогональный план третьего порядка План применяется при построении моделей в виде полиномов третьего порядка: n i n i i iii k k l i k l i ilk i ii l l l i i l i n i i i x b x x x b x b x x b x b b y n n 1 1 3 2 1 0 3 2 , (3.8) где i, l, k – текущие номера первичных параметров. Ортогональный план третьего порядка содержит два ядра, в качестве которых используются два ПФЭ 2 n с различными уровнями варьирования факторов (х i1 = ± α, х i2 = ± c), 2 n звездных точек с координатами (0, 0, …±α i …0) и центральную точку. Объем эксперимента, поставленного по такому плану, равен N = 2 * 2 n + 2n + 1 = 2 n+1 + 2n + 1. Для упрощения обработки результатов эксперимента в матрицу планирования вводятся фиктивные переменные: χ i 2 = X i 2 -η, χ i 3 = X i * (X i 2 -ξ), Параметры плана а, с, α, η, ξ для n = 2 … 5 приведены в таблице 3.7. Таблица 3.7. Параметры ортогонального плана третьего порядка n a c α η ξ 2 1 2 2,196 2,287 3,636 3 1 2 2,822 2,430 3,581 4 1,4 2 3,060 2,784 4,301 5 1,6 2 3,372 3,388 4,438 5. Проведение эксперимента С целью исключения систематических ошибок матрица планирования рандомизируется, т.е. с помощью таблицы случайных чисел определяется случайная последовательность реализации строк матрицы, и эксперимент проводится в соответствии с рандомизированной матрицей планирования. Затем проверяется воспроизводимость эксперимента. С этой целью для К случайно выбранных строк матрицы планирования (первых по порядку реализации) проводится по γ = 4 - 6 параллельных опытов. Вычисляются оценки построчных дисперсий значений выходного параметра у i : 1 ) ˆ ( 1 2 l j jl j y y S , (3.9) где S j 2 - статистическая оценка построчной дисперсии в j-ом опыте; γ – число параллельных опытов; l – номер параллельного опыта; у jl – значение выходного параметра при l –ой реализации j-ого опыта; уˆ jl - среднее значение выходного параметра в j-ом опыте. Проверяется однородность полученных оценок с помощью критерия Кơхрена. Для этого формируется отношение: K j j j S S G 1 2 max 2 , (3.10) где S j 2 max – максимальная из полученных оценок построчных дисперсий; G - критерий Кơхрена. Находится значение G табл для выбранного уровня значимости q (обычно q выбирается равным 0,01 или 0,05) и соответствующих используемому критерию чисел степеней свободы f 1 = γ - 1 и f 2 = K. Проводится сравнение вычисленного значения критерия Кохрена G с табличным G табл Если G < G табл - эксперимент воспроизводим и величину K S S K j j y 1 2 2 (3.11) можно считать оценкой генеральной дисперсии воспроизводимости. Величина S у 2 называется дисперсией шума опыта. Ей соответствует число степеней свободы f 3 =K*( γ - 1). Если G > G табл - эксперимент невоспроизводим. В этом случае необходимо повысить точность оценки S у 2 , увеличив число параллельных опытов, или стабилизировать условия проведения эксперимента. 6. Обработка результатов эксперимента Обработка результатов эксперимента и построение математических моделей включает в себя: - определение коэффициентов модели, - оценку их значимости, - проверку адекватности полученной модели результатам эксперимента. Для ортогональных планов математическое ожидание и дисперсия коэффициентов модели в общем случае определяется по формулам: N j ij N j ij j i x x y b 1 2 1 , (3.12) где b i – математическое ожидание коэффициента модели β i , x ij - нормированное значение i-го фактора в j-ом опыте; N j ij y i x S b S 1 2 2 2 } { , (3.13) (S y 2 - дисперсия шума опыта). Оценка значимости коэффициентов модели на фоне шума опыта проводится с помощью критерия Стьюдента. Для каждого коэффициента вычисляется отношение: } { i i i b S b t (3.14) и сравнивается с t табл , найденным для f 3 =K*( γ - 1) и выбранного уровня значимости q. При t i > t табл коэффициент признается значимым. В тех случаях, когда все коэффициенты модели определяются с одинаковыми дисперсиями (ПФЭ), (ДФЭ), целесообразно найти нижний уровень значимости b min = S y t табл и сравнивать b i с b min . При b i ≥ b min коэффициенты значимы, в противном случае - незначимы. В математическую модель включаются только факторы, имеющие значимые коэффициенты. Статистическая незначимость коэффициента модели может быть обусловлена следующими причинами: 1. вследствие отсутствия функциональной связи между данным первичным и выходным параметром с точностью измерений; 2. из-за малого шага варьирования фактора λ i в условиях большого шума опыта; 3. вследствие нахождения основной, начальной точки плана в точке частного экстремума первого или второго порядка функции связи y = φ(x i ) . При проверке адекватности полученной модели результатам эксперимента используется критерий Фишера. Он формируется как отношение так называемой дисперсии адекватности S ад 2 и дисперсии шума опыта S y 2 : 2 2 y ад S S F , (3.15) 2 1 2 ) ˆ ( 1 N j j i ад y y d N S , где S ад 2 – дисперсия адекватности; d - число значимых членов полученной модели; ŷ j – значение выходного параметра в j-ом опыте, вычисленное по найденной модели. S ад 2 соответствует число степеней свободы f 4 = N-d. Вычисленное значение F сравнивается с F табл , найденным для f 3 =K*( γ - 1), f 4 = N-d и q. При F < F табл модель признается адекватной исследуемому электронному устройству. Когда же проверка гипотезы адекватности приводит к отрицательному результату, то необходимо либо увеличить число факторов, либо перейти к планированию эксперимента для получения полиномиальной модели РЭУ более высокого порядка. |