Функция Грина для шара. Примеры. Пусть r радиус шара, р любая точка на сфере, а во внутренней точке Р0 помещен единичный заряд
 Скачать 170.01 Kb.
|
|
Примеры. Пусть R – радиус шара, Р – любая точка на сфере, а во внутренней точке Р0 помещен единичный заряд 1. Функция Грина для шара Пусть R – радиус шара, Р – любая точка на сфере, а во внутренней точке Р0 помещен единичный заряд.  На проводящей сфере индуцируется заряд, потенциал которого равен потенциалу некоторого точечного заряда, помещенного в инверсионном образе N точки Р0, относительно сферы так, что выполнено равенство: Треугольники ОРР0 и ОРN подобны (общий угол и стороны пропорциональны). Поэтому  Пусть  Тогда (10)Действительно,  Очевидно гармонична по Р в замкнутом шаре. Если же точка Р лежит на сфере, то Как видно из (10) функция Грина для шара есть потенциал электростатического поля, созданный двумя точечными зарядами. 2. Функция Грина для полупространства В качестве области ω берем часть, где  Граница S имеет уравнение  В точке  помещаем единичный заряд, который создает поле с потенциалом  . Внесение проводящей поверхности  приводит к индуцированию зарядов, потенциал которых можно заменить потенциалом отрицательного единичного заряда, помещенного в точку  Суммарный потенциал  Рассмотрим задачу Дирихле для полупространства  . .Ее решение:     или  3) Функции Грина для полушара.  где  Тема 6. Метод Фурье. Лекция 1. Разделение переменных. Рассматриваемые вопросы. 1. Решение основных краевых задач методом Фурье. 2. Интеграл Пуассона. 3. Внешняя и внутренняя задачи Дирихле. Пусть ω – круг радиуса R с центром в начале координат, а S – окружность (граница области ω. Рассмотрим задачу Дирихле  (1)Перейдем к полярным координатам по формулам   Оператор Лапласа в полярных координатах  и задача (1) эквивалентна задаче  (2)Будем искать решение  в виде:  Подставим в уравнение Лапласа  или  Следовательно, и левая и правая части этого равенства суть const (можно показать, что эта постоянная положительна)  Угловая функция Ф(φ) должна быть периодической. Учитывая это, получим задачу Штурма-Лиувилля.  (3)Равенство (3) возможно лишь в случае  Для искомой функции R(r) получаем уравнение  Будем искать решение этого уравнения в виде  , тогда  Если же n=0, то  . Как нетрудно проверить имеет своими решениями  и lnr. Таким образом, мы получаем набор функций, гармонических в круге Если предположить, что ряд  (4)можно дифференцировать почленно, то его сумма также будет гармонической функцией.Подберем коэффициенты этого ряда так, чтобы  Отсюда с учетом формул для коэффициентов Фурье следует:  Замечание. Ряд (4) очевидно дает общий вид гармонической функции для круга r  и  при этом не использовались, так как они при  разрывны. Вместе с тем, если рассматривать область r>a (внешняя сторона круга), то общий вид гармонической функции для этой области будет задаваться рядом: (5)И, наконец, для кольца   (6)Преобразуем теперь найденные решения к более удобному представлению  Перестановка операций суммирования и интегрирования законна, так как ряд  сходится равномерно по φ и t нутрии круга r  Поэтому  (7)Представление (7) известно как интеграл Пуассона. Замечание. Среди двумерных областей, для которых задача Дирихле для уравнений Лапласа решается эффективно методом разделения переменных в декартовых координатах, можно отметить прямоугольник со сторонами параллельными осям координат и в, частности, полуполосу. Тема 7. Теория потенциала. Лекция 1. Теория потенциала. Рассматриваемые вопросы. 1.Объемный и логарифмический потенциалы. 2. Поверхностные потенциалы. 3. Решение основных краевых задач методом потенциала. Некоторые сведения из теории потенциала. 1. Объемный потенциал и его свойства. Предположим, что в области  распределен электрический заряд с плотностью  Для нахождения потенциала такого электростатического поля разобьем область ω на элементарные части  не имеющие общих внутренних точек. Допустим, что действие заряженной области  равносильно действию точечного заряда  Тогда потенциал электростатического поля в точке наблюдения  можно найти по формуле: При  очевидно (1)Функцию (1) называют объмным или ньютоновским потенциалом. Свойство 1. Объемный потенциал есть гармоническая функция по координатам точки во внешней области .Если  то (1) есть обычный тройной интеграл, функция  имеет непрерывные производные любого порядка, интеграл  поэтому производные по  можно вычислять дифференцированием под знаком интеграла. В частности так как  если  Свойство 2. Объемный потенциал есть непрерывная функция по координатам точки во всем пространстве  Действительно, непрерывности в внешности вытекает из ее гармоничности. Пусть теперь точка  а  есть шар радиуса   с центром в точке такой, что  Рассмотрим разность  где точка     Для  аналогично получаем Будем считать, что δ фиксировано так, что  Оценим теперь  Если  то выбирая Р1 достаточно близко к Р0 получим с помощью которого  А значит  Непрерывность во внутренних точках области ω объемного потенциала доказана. Пусть теперь точка  – границе области ω. Рассмотрим более широкую область  и положим  Тогда  и точка Р0 будет внутренней по отношению к  Следовательно, потенциал в точке Р0 непрерывен.Свойство 3. Объемный потенциал имеет непрерывные производные первого порядка в Доказательство аналогично доказательству свойства 2.Свойство 4. Если плотность  имеет непрерывные производные первого порядка, то объемный потенциал имеет производные второго порядка в области ω и удовлетворяет уравнению Пуассона (без доказательства). Замечание 1. С помощью объемного потенциала решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона может быть сведено к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Замечание 2. В двумерном случае роль объемного потенциала играет так называемый логарифмический потенциал  Поверхностные интегралы простого и двойного слоя. Пусть на некоторой достаточно гладкой поверхности S распределен заряд с плотностью  Тогда потенциал электростатического поля в точке  представляется в виде: (2)Функцию (2) называют потенциалом простого слоя. Перечислим некоторые свойства этого потенциала. 1). Потенциал простого слоя есть гармоническая вне S функция. 2). Потенциал простого слоя есть непрерывная во всем пространстве  функция.3). Нормальная производная потенциала простого слоя терпит разрыв при переходе через поверхность S. Потенциалом двойного слоя называется выражение  где ν(Р) – есть плотность распределения дипольного момента, а  – внутренняя нормаль к S.4). Потенциал двойного слоя есть гармоническая вне S функция. 5). Потенциал двойного слоя терпит разрыв при переходе через поверхность S. 6). Потенциал двойного слоя может быть представлен в виде:  Аналогично могут быть введены криволинейные интегралы простого и двойного слоя с аналогичными свойствами. Замечание. С помощью потенциала двойного слоя решение задачи Дирихле можно свести к решению уравнения Фредгольма второго рода относительно неизвестной функции  |