математика практическое 6. Математика Практическое занятие 6. Программа среднего профессионального образования 44. 02. 01 Дошкольное образование Дисциплина Математика. Практическое занятие 6 Преподаватель
Скачать 1.2 Mb.
|
Задание 6. Решите предложенные тригонометрические уравнения и неравенства, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, отобразите графически на единичной окружности соответствующие точки и интервалы): Решение: Сделаем замену тригонометрической функции tg(x)=у: Получаем квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант (a=1,b=1,c=-2) Делаем обратную подстановку: tgx=2 => x1=arctg(-2)+ k tgx=-1=>x2= + k π Разложим вторую часть уравнения, согласно тригонометрическому тождеству и формуле двойного угла: Сделаем замену cosx=t Делаем обратную замену: cosx= Умножим обе части неравенства на 2: Используем формулу половинного аргумента: Чтобы решить это неравенство – надо сначала решить соответствующее уравнение: -это простейшее тригонометрическое уравнение, которое преобразуется в: Перенесём в правую часть уравнения с противоположным знаком: Разделим обе части уравнения на : Данные точки являются точками смены знака неравенства в решениях. Задание 7. Вычислите предложные производные функций, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, записывайте промежуточные результаты): Решение: Представим производную в виде суммы производных: Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n*xn-1 x′=1 (-7·x3) ′=-7·3·x3-1·x′=-21·x2 x′=1 При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1 (a)' = 0, Используем формулу: Найдем производную первого члена, используя формулу из таблицы производных: Производная от логарифма и под логарифмического выражения: Найдем производную второго члена, используя формулы из таблицы производных и свойство сложной функции: Производная от тригонометрической функции и производная с константой: Результат: Задание 8. Вам предложена функция: Проведите исследование, согласно схеме: 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения с осями. 3. Исследовать функцию на четность/нечетность. 4. Найти асимптоты. 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7. Найти дополнительные точки, уточняющие график. 8. Построить график. Решение: Найти область определения функции. Точки разрыва: Значит, область определения функции: ∞;-4) (-4;4) (4;+∞) Найти точки пересечения с осями. Приравняем к нулю. Пересечение с осью 0Y: x=0, y=0 Пересечение с осью 0X: y=0, тогда , х=0 Исследовать функцию на четность/нечетность: y(-x) = -y(x), нечетная функция Найти асимптоты: Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: Находим коэффициент k: Находим коэффициент b: Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: x1 = -2, x2 = 2 Находим переделы в точке x=-2 x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Находим переделы в точке x=2 x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную асимптоту при x → -∞: Находим коэффициент k: Находим коэффициент b: Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найти y = x^3/(x^2-4) Найдем точки разрыва функции: x1 = 2, x2 = -2 Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. экстремумы и интервалы монотонности функции: Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю x2·(x2-12) = 0 или x1 = 0,
В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. => точки перегиба: x1 = 0
Найти дополнительные точки, уточняющие график: Построить график. |