математика практическое 6. Математика Практическое занятие 6. Программа среднего профессионального образования 44. 02. 01 Дошкольное образование Дисциплина Математика. Практическое занятие 6 Преподаватель
![]()
|
Задание 6. Решите предложенные тригонометрические уравнения и неравенства, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, отобразите графически на единичной окружности соответствующие точки и интервалы): ![]() Решение: ![]() Сделаем замену тригонометрической функции tg(x)=у: ![]() Получаем квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант (a=1,b=1,c=-2) ![]() Делаем обратную подстановку: tgx=2 => x1=arctg(-2)+ ![]() tgx=-1=>x2= ![]() ![]() ![]() π ![]() Разложим вторую часть уравнения, согласно тригонометрическому тождеству и формуле двойного угла: ![]() ![]() Сделаем замену cosx=t ![]() Делаем обратную замену: cosx= ![]() ![]() ![]() ![]() Умножим обе части неравенства на 2: ![]() Используем формулу половинного аргумента: ![]() ![]() ![]() ![]() Чтобы решить это неравенство – надо сначала решить соответствующее уравнение: ![]() ![]() Перенесём ![]() ![]() Разделим обе части уравнения на ![]() ![]() Данные точки являются точками смены знака неравенства в решениях. ![]() ![]() Задание 7. Вычислите предложные производные функций, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, записывайте промежуточные результаты): ![]() Решение: ![]() Представим производную в виде суммы производных: ![]() Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n*xn-1 ![]() x′=1 (-7·x3) ′=-7·3·x3-1·x′=-21·x2 x′=1 ![]() ![]() При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1 (a)' = 0, ![]() ![]() Используем формулу: ![]() Найдем производную первого члена, используя формулу из таблицы производных: ![]() Производная от логарифма и под логарифмического выражения: ![]() Найдем производную второго члена, используя формулы из таблицы производных и свойство сложной функции: ![]() Производная от тригонометрической функции и производная с константой: ![]() Результат: ![]() Задание 8. Вам предложена функция: ![]() Проведите исследование, согласно схеме: 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения с осями. 3. Исследовать функцию на четность/нечетность. 4. Найти асимптоты. 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба. 7. Найти дополнительные точки, уточняющие график. 8. Построить график. Решение: Найти область определения функции. Точки разрыва: ![]() Значит, область определения функции: ![]() ![]() ![]() Найти точки пересечения с осями. Приравняем к нулю. Пересечение с осью 0Y: x=0, y=0 Пересечение с осью 0X: y=0, тогда ![]() Исследовать функцию на четность/нечетность: ![]() y(-x) = -y(x), нечетная функция Найти асимптоты: Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты: ![]() Находим коэффициент k: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Находим коэффициент b: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва: x1 = -2, x2 = 2 Находим переделы в точке x=-2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Находим переделы в точке x=2 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой. Найдем наклонную асимптоту при x → -∞: ![]() Находим коэффициент k: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Находим коэффициент b: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Получаем уравнение наклонной асимптоты: y = x Найти y = x^3/(x^2-4) Найдем точки разрыва функции: x1 = 2, x2 = -2 Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. экстремумы и интервалы монотонности функции: Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная. ![]() Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю x2·(x2-12) = 0 ![]() ![]() ![]() x1 = 0, ![]()
В окрестности точки x = -2 ![]() ![]() ![]() ![]() Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная. ![]() Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю. ![]()
Найти дополнительные точки, уточняющие график: ![]() ![]() ![]() ![]() Построить график. ![]() |