Главная страница
Навигация по странице:

  • Результат

  • Находим интервалы возрастания и убывания

  • Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции

  • математика практическое 6. Математика Практическое занятие 6. Программа среднего профессионального образования 44. 02. 01 Дошкольное образование Дисциплина Математика. Практическое занятие 6 Преподаватель


    Скачать 1.2 Mb.
    НазваниеПрограмма среднего профессионального образования 44. 02. 01 Дошкольное образование Дисциплина Математика. Практическое занятие 6 Преподаватель
    Анкорматематика практическое 6
    Дата20.02.2023
    Размер1.2 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файлаМатематика Практическое занятие 6 .doc
    ТипПрограмма
    #946290
    страница2 из 3
    1   2   3

    Задание 6.

    Решите предложенные тригонометрические уравнения и неравенства, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, отобразите графически на единичной окружности соответствующие точки и интервалы):

     

    Решение:



    Сделаем замену тригонометрической функции tg(x)=у:



    Получаем квадратное уравнение. Решим его, используя дискриминант (a=1,b=1,c=-2)



    Делаем обратную подстановку:

    1. tgx=2 => x1=arctg(-2)+ k

    2. tgx=-1=>x2= + k



    π



    Разложим вторую часть уравнения, согласно тригонометрическому тождеству и формуле двойного угла:



    Сделаем замену cosx=t



    Делаем обратную замену:

    1. cosx=







    Умножим обе части неравенства на 2:



    Используем формулу половинного аргумента:









    Чтобы решить это неравенство – надо сначала решить соответствующее уравнение:

    -это простейшее тригонометрическое уравнение, которое преобразуется в:



    Перенесём в правую часть уравнения с противоположным знаком:



    Разделим обе части уравнения на :



    Данные точки являются точками смены знака неравенства в решениях.





    Задание 7.

    Вычислите предложные производные функций, подробно описывая ход решения (указывайте формулы, которыми пользуетесь, записывайте промежуточные результаты):



    Решение:



    Представим производную в виде суммы производных:



    Производную этого выражения находим по формуле: (xn)' = n*xn-1



    x=1

    (-7·x3)=-7·3·x3-1·x=-21·x2

    x=1





    При вычислении были использованы следующие правила дифференцирования: (xa)' = axa-1
    (a)' = 0,



    Используем формулу:

    Найдем производную первого члена, используя формулу из таблицы производных:



    Производная от логарифма и под логарифмического выражения:



    Найдем производную второго члена, используя формулы из таблицы производных и свойство сложной функции:



    Производная от тригонометрической функции и производная с константой:



    Результат:

    Задание 8.

     Вам предложена функция: 

    Проведите исследование, согласно схеме:

    1.    Найти область определения функции.

    2.    Найти точки пересечения с осями.

    3.    Исследовать функцию на четность/нечетность.

    4.    Найти асимптоты.

    5.    Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.

    6.    Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

    7.    Найти дополнительные точки, уточняющие график.

    8.    Построить график.

     Решение:

    1. Найти область определения функции.

    Точки разрыва:



    Значит, область определения функции:

    ∞;-4) (-4;4) (4;+∞)

    1. Найти точки пересечения с осями. Приравняем к нулю.

    Пересечение с осью 0Y: x=0, y=0

    Пересечение с осью 0X:

    y=0, тогда , х=0

    1. Исследовать функцию на четность/нечетность:



    y(-x) = -y(x), нечетная функция

    1. Найти асимптоты:

    Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:



    Находим коэффициент k:





    Находим коэффициент b:





    Получаем уравнение наклонной асимптоты:

    y = x
    Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:

    x1 = -2, x2 = 2
    Находим переделы в точке x=-2





    x1 = -2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.
    Находим переделы в точке x=2





    x2 = 2 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

    Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:



    Находим коэффициент k:





    Находим коэффициент b:





    Получаем уравнение наклонной асимптоты:

    y = x

    1. Найти y = x^3/(x^2-4)
      Найдем точки разрыва функции: x1 = 2, x2 = -2
      Поскольку f(-x)=-f(x), то функция является нечетной. экстремумы и интервалы монотонности функции:

    1. Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.



    Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю

    x2·(x2-12) = 0

    или


    x1 = 0,

    (-∞;-2 )

    (-2 ;-2)

    (-2;0)

    (0;2)

    (2;2 )

    (2 ;+∞)

    f'(x)> 0

    f'(x) <0

    f'(x) <0

    f'(x) <0

    f'(x) <0

    f'(x)> 0

    функция возрастает

    функция убывает

    функция убывает

    функция убывает

    функция убывает

    функция возрастает

    В окрестности точки x = -2 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -2 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума.

    1. Найдем интервалы выпуклости и вогнутости функции. Вторая производная.



    Находим корни уравнения. Для этого полученную функцию приравняем к нулю.

    => точки перегиба: x1 = 0

    (-∞ ;-2)

    (-2; 0)

    (0; 2)

    (2; +∞)

    f''(x) <0

    f''(x)> 0

    f''(x) <0

    f''(x)> 0

    функция выпукла

    функция вогнута

    функция выпукла

    функция вогнута



    1. Найти дополнительные точки, уточняющие график:









    1. Построить график.


    1   2   3


    написать администратору сайта