Оценка и аргументация выводов на основе матем знаний_презентация. Программах по учебному предмету Математика
 Скачать 2.09 Mb.
|
|
Анализ требований ФГОС ООО к результатам обучения, оценке и аргументации выводов, их отражение в Примерных рабочих программах по учебному предмету «Математика» Школа современного учителя. Развитие математической грамотности Модуль «Развитие оценки и аргументации выводов на основе математических знаний» 2 1. Оценка и аргументация выводов как составляющая математической грамотности. 2. Требования ФГОС ООО к личностным, метапредметным и предметным результатам обучения оценке и аргументации выводов и их отражение в примерной рабочей программе по предмету «Математика». 3. Логические основы оценки и аргументации математических утверждений. 4. Применение математических знаний для аргументации оценки нематематических утверждений. Основные вопросы лекции 3 Оценка и аргументация выводов как составляющая математической грамотность Интерпретация и оценка выводов, полученных в результате применения методов математики, – завершающий этап математического моделирования, обеспечивающий адекватное использование результатов. Навыки получения оценочных суждений на основе подбора правильной аргументации – основа критического мышления, саморегуляции деятельности, рефлексии и коммуникации и др. Оценочные суждения и их аргументация – результаты этого этапа. 4 Оценка утверждений: возможные категории • Присвоение: согласен/не согласен • Аргументированность: убедительно/ не убедительно/голословно • Мнение или факт: верный всегда/иногда/никогда (неверно) 5 Задания ОГЭ № 19 на оценку математических утверждений Укажите номера верных утверждений 1) Существует квадрат, который не является прямоугольником Л Противоречит определению: «Квадратом называется прямоугольник, соседние стороны которого равны» 2) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны И Следует из признака и определения равнобедренного треугольника 3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны И Свойство параллельности прямых Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания 6 Задания ОГЭ № 24 на доказательство истинности математических утверждений В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC= ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник. 1. 𝐴𝐵𝐶𝐷 − параллелограмм свойства параллелограмма 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶; ∡𝐷𝐴𝐸 + ∡𝐴𝐵𝐶 = 180 ° ൡ 2. 𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 𝐴𝐸 = 𝐸𝐵 𝐷𝐸 = 𝐸𝐶 признак равенства треугольников ∆𝐷𝐴𝐸 = ∆𝐶𝐵𝐸 3. ∆𝐷𝐴𝐸 = ∆𝐶𝐵𝐸 свойство равных треугольников ∡𝐷𝐴𝐸 = ∡𝐴𝐵𝐶 4. ൠ ∡𝐷𝐴𝐸 = ∡𝐴𝐵𝐶 ∡𝐷𝐴𝐸 + ∡𝐴𝐵𝐶 = 180 ° решение системы уравнений ∡𝐷𝐴𝐸 = ∡𝐴𝐵𝐶 = 90 ° 5. ൠ 𝐴𝐵𝐶𝐷 − параллелограмм ∡𝐴𝐵𝐶 = 90 ° определение прямоугольника 𝐴𝐵𝐶𝐷 − прямоугольник 7 Задание PISA-2022 на оценку утверждений 8 Задание PISA-2022 на подбор аргументов https://pisa2022- maths.oecd.org/#Examples Иванов 2 монеты по 10 руб. Петров 1 монету 5 руб. Иванов 2 монеты по 10 руб. Петров 1 монету 100 руб. А=В=2 А=2 В=0 1 2 < 1 + 1 2 + 1 3 2 > 3 + 1 2 + 1 9 Изменения требований ФГОС ООО к результатам обучения оценке и аргументации суждений Уровни результатов обучения Редакция ФГОС ООО 17.12.2010 31.04.2021 Личностные Уважительное отношение к чужому мнению Формирование внутренней позиции личности с учетом права других людей на собственное мнение Метапредметные Формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение Оценивать достоверность и надежность информации, находить сходные аргументы (подтверждающие и опровергающие одну и туже идею) Предметные (математика) Проводить логическое обоснование и доказательство математических утверждений Распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и контрпримеры, приводить доказательства* 10 Отражение требований ФГОС ООО в примерной рабочей программе по математике «Сформулированное в Федеральном государственном образовательном стандарте основного общего образования требование «…уметь распознавать истинные и ложные высказывания, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания и отрицания высказываний» относится ко всем курсам, а формирование логических умений распределяется по всем годам обучения на уровне основного общего образования» (С.7) https://edsoo.ru/Primernie_rabochie_progra.htm - ссылка на перечень примерных рабочих программ 11 Этапы развития навыков оценки и аргументации утверждений в примерной рабочей программе Применять понятие множества при оценке истинности математических и нематематических утверждений P(𝒙) → 𝑸(𝒙) 𝐏(𝒙) ∧ 𝑸(𝒙) 𝑷(𝒙) ∨ 𝐐(𝒙) Проверять корректность утверждений, сходных с определениями. Оперировать понятием множество P → 𝑸 𝐏 ∧ 𝑸 𝑷 ∨ 𝐐 Доказывать сложные математические утверждения общего характера. Обсуждать предлагаемые алгоритмы и способы решения задач ∃𝒙: 𝑷 𝒙 ∀𝒙: 𝑷 𝒙 Обосновывать частные утверждения об изучаемых объектах подведением под общие утверждения. Использовать контрпримеры для опровержения неверных утверждений. Конструировать предложения, использующие связки «если…, то…», «и», «или» Распознавать истинные и ложные высказывания об изучаемых математических объектах, приводить примеры и контрпримеры, строить высказывания с использованием слов «некоторый», «любой» 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс Математика Алгебра, геометрия, вероятность и статистика Р 𝒙 𝒅𝒆𝒇 𝑷 𝟎 𝒙 ∧ 𝑸 𝒙 12 Особенности математических утверждений Р 𝑎 − основная логическая структура любого утверждения 𝑎 − объект, о котором идет речь в утверждении Р − предикат - это, то что утверждается об 𝑎 Объект Пример Вид Число «Число 178024 делится на 11 и на 8», "0 ≥ 0" Сложное единичное высказывание Геометрическая фигура «Параллелограмм, изображенный на рисунке, – прямоугольник» Простое (атомарное) единичное высказывание Переменная, термин, обозначение понятия «Квадратное уравнение имеет корни» «Параллелограмм АВСD – прямоугольник» Предикат (утверждение, не являющееся высказыванием, так как содержит свободные переменные) Предикат «Уравнение 𝑥 2 + 3𝑥 − 11 = 0 имеет корни» Единичное высказывание Множество «Всякий прямоугольник – параллелограмм» «Существует натуральное число, оканчивающееся на 4, которое делится на 11» Высказывание о тождественной истинности предиката (общее) Высказывание о выполнимости предиката (частное) 13 Категории и способы оценки Допустить (аксиома) Подтвердить примером (высказывание о выполнимости) Доказать (единичное высказывание, высказывание о тождественности) Обнаружить контрпример (высказывание о тождественности) Истинно Да Нет Доказать (высказывание о невыполнимости, единичное высказывание) Подтвердить контрпримером, ОИ ⊂ ОЗ Доказательство высказывания невыполнимост и предиката, 𝑂И = ∅ Тождест- венно истинно Выполнимость Нет Да Да Нет высказываний предикатов Подтвердить примером, 𝑂И ≠ ∅ Доказательство, ОИ = ОЗ высказывания о тождественности предиката Истинный всегда Истинный иногда Истинный никогда Тождественно ложно 14 Оценка утверждений, сходных с определениями школьного курса математики ∀𝑥: Р 𝑥 𝑑𝑒𝑓 𝑃 0 𝑥 ∧ 𝑄 𝑥 𝑃 𝑥 = "𝑥 будем называть правильным многоугольником" 𝑃 0 𝑥 = "𝑥 является выпуклым многоугольником" 𝑄 𝑥 = "у 𝑥 равны все углы и все стороны" Термин понятия Родовое понятие Видовое отличие • Только первичные понятия математики не имеют определения. Их свойства раскрываются во взаимосвязи, через систему аксиом. • Понятие не может быть определено через понятие, которое не было определено ранее (если оно не является первичным), а также через само себя. • Каждое понятие должно иметь не более одного определения. Допускается наличие нескольких определений, если доказана их эквивалентность. • Определение включает указание на ближайшее родовое понятие и перечень свойств, необходимый и достаточный для задания множества, на элементы которого распространяется термин (объема понятия). • Термин не может быть использован для определения других понятий и подбирается так, чтобы его смысл указывал на этимологически исходное свойство понятия. 15 Категория По крайней мере 47 покупателей интернет– магазина поставили 5 звезд наушникам Рейтинг наушников может повыситься до 5 Покупатель, поставивший 1 звезду, недоволен поздней доставкой товара Всегда истинно Иногда истинно Всегда ложно Невозможно установить 0,29 ∙ 163 = 47,27 ⇒процент указан с точностью до целых. 163 ∙ 0,285 ≤ 𝑥 ≤ 163 ∙ 0,294 46 < 𝑥 < 48 «Всегда» – понимается как вне зависимости от того, каким было точное значение процентного отношения до округления. Пример использования математических знаний для оценки нематематических утверждений 16 Категория По крайней мере 47 покупателей интернет – магазина поставили 5 звезд наушникам Рейтинг наушников может повыситься до 5 Покупатель, поставивший 1 звезду, недоволен поздней доставкой товара Всегда истинно Иногда истинно Всегда ложно Невозможно установить 5 = 1 ∙ (13 + 𝑥 1 ) + 2 ∙ (28 + 𝑥 2 ) + 3 ∙ (34 + 𝑥 3 ) + 4 ∙ (41 + 𝑥 4 ) + 5 ∙ (47 + 𝑥 5 ) 163 + 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 + 𝑥 5 ⇒ 4𝑥 1 + 3𝑥 2 + 2𝑥 3 + 𝑥 4 = −245 «Всегда» - понимается как при любом развитии событий в будущем. 17 Категория По крайней мере 47 покупателей интернет – магазина поставили 5 звезд наушникам Рейтинг наушников может повыситься до 5 Покупатель, поставивший 1 звезду, недоволен поздней доставкой товара Всегда истинно Иногда истинно Всегда ложно Невозможно установить Количество человек, поставивших 1 звезду - 13 Количество человек, аргументировавших свою оценку поздней доставкой наушников - 13 Но данных о соответствии нет! «Всегда» - понимается как при любом характере связи множеств 18 Подведем итоги 1. Данных может быть недостаточно для проведения аргументированной оценки 2. Смысл терминов в критериях может варьироваться в зависимости от ситуации: «всегда» – при любой погрешности; при любом развитии событий в будущем; при любом характере связи множеств; для всех элементов множества и т.п. Математическая грамотность нужна для оценки и аргументации: Нематематических утверждений методами математики Математических утверждений, сходных с аксиомами, теоремами и определениями 1. Математические высказывания оцениваются в категориях: истина-ложь 2 . Математические предикаты оцениваются в категориях: выполнимы, тожественно истины, тождественно ложны 3. Математические определения оцениваются в категориях: корректны–не корректны Оценка и аргументация опираются на знания математики и логики |