Численные методы. Программная реализация решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом РунгеКутта 4го порядка

• Название: Программная реализация решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом РунгеКутта 4го порядка
• Дата: 03.05.2022
• Размер: 83.86 Kb.
• Имя файла: Численные методы.docx
• Тип: Курсовая; #509351

Абхазский государственный университет

Физико-математический факультет

КАФЕДРА «ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА»


Курсовая работа

На тему: «Программная реализация решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка»
Выполнил

студент III курса

Евдокимов Т. Д.

Научный руководитель

Зантария З. Л.
Сухум 2021

Оглавление

Введение 2

Глава 1. Теоретическая часть 4

1.1 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши 4

1.2 Суть метода Рунге-Кутта 4

1.3 Порядок вычислений по методу Рунге-Кутта 5

1.4 Свойства метода Рунге-Кутта 6

Глава 2. Практическая часть 6

2.1 Выбор среды разработки 6

2.2 Математическая реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка 7

2.3 Программная реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка 8

Заключение 9

Введение

При изучении самых разнообразных явлений окружающего мира, имеющих отношение как к точным, так и к гуманитарным наукам, исследователи сталкиваются в ряде случаев с тем, что функциональные зависимости между величинами находятся из уравнений, в которых присутствуют производные от искомых функций. Наиболее простыми среди них являются те, что содержат только производные первого порядка и могут быть записаны в виде



где у - искомая функция, х - независимая переменная, f(x,y) - непрерывная функция от х и у. Однако получить аналитическое решение этого уравнения для достаточно произвольной функции f не удается, и только для некоторых частных случаев, с которыми можно ознакомиться в справочной литературе.

В связи с быстрым развитием электронной вычислительной техники в последние десятилетия появилась возможность использовать приближенные математические методы для решения подобного рода задач. Один из таких подходов называется методом Рунге-Кутты и объединяет целую группу модификаций, связанных способом их получения.

Цель курсовой работы: изучить метод Рунге - Кутта 4-го порядка для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Постановка задачи: необходимо составить программу, позволяющую решать обыкновенные дифференциальные уравнения методом Рунге - Кутта 4-го порядка.

Глава 1. Теоретическая часть

1.1 Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши

Для простоты рассмотрим двумерное пространство переменных х и у и некоторое открытое множество G, принадлежащее ему. Пусть на этом открытом множестве определена непрерывно дифференцируемая функция f(х, у) и задано уравнение

(1)

Согласно теореме существования и единственности для любой точки (x₀,y₀) ∈G найдется решение у = у(х), определенное на некотором интервале (х₀ -δ, х₀ +δ), удовлетворяющее условию y(x₀) = y_0, такое, что точки (x,y(x)) ∈G и y‘_x ≡ f(x, y(x)), причем это решение будет единственным. Задача для уравнения (1) с начальным условием у(х₀) = y₀ (задача Коши) состоит в нахождении функции у(х), обращающей и уравнение (1), и начальное условие в тождество. Допустим, что значения, которые принимает независимое переменное х, принадлежат интервалу (Х₀, X_N ) и запишем задачу Коши:

(2)

Разобьём отрезок [Х₀, X_N ] на N частей так, что _,

n = 0, … ,N-1. В дальнейшем, не ограничивая общности, рассмотрим случай, когда разбиение равномерное, т.е. все , n = 0 ,… ,N-1.

1.2 Суть метода Рунге-Кутта

Методы Рунге-Кутта находят широкое применение при решении ДУ. Наибольшее применение нашел метод 4-го порядка.

При решении методом Рунге-Кутта дифференциального уравнения с начальными условиями через обозначают приближенное значение искомого решения в точке и вычисление приближенного значения в следующей точке производится по формулам





где

- параметр, который определяет значение функции вблизи точки области определения.

Общепринятый метод 4-го порядка:









Этот метод намного более точен, чем методы Эйлера, но требует и большего объема вычислений: положение точки определяется в результате 4-кратного вычисления значения функции С появлением ЭВМ этот недостаток перестал быть существенным и метод Рунге-Кутта 4-го порядка применяется на практике чрезвычайно широко.

1.3 Порядок вычислений по методу Рунге-Кутта

Порядок вычисление по методу Рунге-Кутта следующий:

1. 
   Выбираются
   
2. 
   Вычисляются Определяются
   
3. 
   Определяются
   
4. 
   Вычисляются
   
5. 
   Принимаются
   
6. 
   Вычисляются
   
7. 
   Определяются
   
8. 
   Вычисляются
   
9. 
   Суммируются делим на 6 и получаем
   

Затем все вычисления продолжаются в том же порядке, принимая за начальную точку и т.д.

Схема метода Рунге-Кутта показана ниже

1

1.4 Свойства метода Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта обладает следующими свойствами:

1. Метод является одноступенчатым (чтобы найти , нужна информация о предыдущей точке , )

. Не требует вычисления производных от , а требует вычисления самой функции

. Имеет небольшую погрешность

Глава 2. Практическая часть

2.1 Выбор среды разработки

Для выполнения поставленной задачи был выбран программный продукт DEV-C++ (или Microsoft Visual Studio). Так как является более простым в использовании и соответствует всем необходимым требованиям для создания консольного приложения.\

2.2 Математическая реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка

Решить задачу Коши:



на отрезке [0: 0,4]. Найти решение на равномерной сетке с шагом 0.1

Решение. Так как , то получаем

Решение:

Так как













Для значений

Полагая , последовательно находим:

1. 
   При i=1
   

2. 
   При i=2
   

0,06604295) = 0.1326385;

;

3. 
   При i=3
   

4. 
   При i=4
   

2.3 Программная реализация метода Рунге-Кутта 4-го порядка

DEV-C++



РЕЗУЛЬТАТ

Заключение

Методы Рунге — Кутты (в литературе встречается название методы Рунге — Кутта) — большой класс численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Первые методы данного класса были предложены около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

К классу методов Рунге — Кутты относятся явный метод Эйлера и модифицированный метод Эйлера с пересчётом, которые представляют собой соответственно методы первого и второго порядка точности. Существуют стандартные явные методы третьего порядка точности, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализован в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima) классический метод Рунге — Кутты, имеющий четвёртый порядок точности.

В ходе выполнения курсовой работы была реализована поставленная задача, а именно составлена программа, позволяющая решать обыкновенные дифференциальные уравнения методом Рунге - Кутта 4-го порядка.