математика. 14 задание. Производная функции

• Название: Производная функции
• Анкор: математика
• Дата: 22.05.2022
• Размер: 188.33 Kb.
• Имя файла: 14 задание.docx
• Тип: Документы; #543098

Производная функции — это понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции в данной точке. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производная и её применение:

Последовательность   все члены которой равны, называют стационарной. Аналогично примеру  можно доказать, что каждая стационарная последовательность  где  имеет предел, равный числу 

Понятие предела последовательности имеет простую геометрическую интерпретацию

Неравенство вида  равносильно неравенствам   то есть  .

Это означает, что если  то для любого  найдется номер  начиная с которого все члены последовательности принадлежат интервалу   Иными словами, каким бы малым не был интервал  члены последовательности, сходящейся к числу  рано или поздно попадут в этот интервал и уже никогда не выйдут за его границы, то есть вне указанного интервала может находиться только конечное количество членов последовательности 

Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Например, последовательность  заданная формулой   является расходящейся, так как любой интервал  содержит только конечное количество членов последовательности  (рис. 1.3).

Расходящейся является и последовательность заданная формулой  Действительно, предположим, что последовательность  является сходящейся и 

Тогда для  вне интервала  длина которого равна  должно находиться только конечное количество членов последовательности  Выписав несколько первых членов последовательности  видим, что ни при каком интервал   не может содержать числа одновременно (рис. 1.4). Это означает, что вне интервала  находится бесконечное количество членов последовательности: или или 

Обращаясь к геометрической интерпретации, промежуток вида  часто называют интервалом, а промежуток вида  отрезком.

Следовательно,  расходящаяся последовательность.

 Находить пределы числовых последовательностей помогает следующая теорема.

Теорема 1.1 (об арифметических действиях с пределами последовательностей). Если последовательности  сходящиеся, то последовательности  также являются сходящимися,причем

Пример:

Найдите 

Решение:

Имеем:

Последовательность с общим членом   представлена в виде суммы двух сходящихся последовательностей с общими членами   Тогда можно записать:

Пример №3

Вычислите предел 

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби  на 

В числителе и знаменателе полученной дроби записаны общие члены сходящихся последовательностей. Тогда:



Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе. Эти функции нашли широчайшее применение в самых разных областях науки. Впоследствии определение тригонометрических функций было расширено, их аргументом теперь может быть произвольное вещественное или даже комплексное число.

Тригонометрические функции представляют собой элементарные функции, аргументом которых является угол. С помощью тригонометрических функций описываются соотношения между сторонами и острыми углами в прямоугольном треугольнике. Области применения тригонометрических функций разнообразны.
Например, любые процессы можно представить в виде суммы тригонометрических функций. Данные функции появляются при решении дифференциальных и функциональных уравнений.

Геометрическое определение тригонометрических функций удобно ввести с помощью единичного круга. На рисунке изображен круг радиусом r = 1. На окружности обозначена точка M (x, y). Угол между радиус-вектором OM и направлением оси Ox равен a.


Синусом угла α называется отношение ординаты y точки M (x, y) к радиусу r: sin α = y/r. Поскольку r = 1, то синус равен ординате точки M (x ,y).
Косинусом угла α называется отношение абсциссы x точки M (x,y) к радиусу r: cos α = x/r = x.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты y точки
M (x, y) к ee абсциссе x: tg α = y/x, x ≠ 0.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы x точки
M (x, y) к ее ординате y: ctg α = x/y, y ≠ 0.
В единичном круге x, y точки M (x, y) и радиус r образуют прямоугольный треугольник, в котором x, y являются катетами, а r − гипотенузой. Поэтому, определения тригонометрических функций в приложении к прямоугольному треугольнику формулируются таким образом:
-Синусом угла α называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

-Косинусом угла α называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
-Тангенсом угла α называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

-Котангенсом угла α называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
К тригонометрическим функциям относятся, во-первых, прямые тригонометрические функции:
синус (sin x),

косинус (cos x);

во-вторых, противоположные им тригонометрические функции:
секанс (sec x)

косеканс (cosec x);

и, в-третьих, производные тригонометрические функции:
тангенс (tg x),

котангенс (ctg x).
Каждому действительному числу x соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки (1;0) на угол x радиан. Для этого угла определены sin x и cos x. Каждому действительному числу x поставлены в соответствие числа sin x и cos x, т.е. на множестве R всех действительных чисел определены функции y = sin x и y = cos x. Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.
Функция y = tg x определяется формулой y = tg x = sin x/cos x. Эта функция определена при тех значениях x, для которых cos x ≠ 0. Известно, что cos x = 0 при x = π/2 + πn, n Є Z. Следовательно, областью определения функции y = tg x является множество чисел x ≠ π/2 + πn, n Є Z. Так как уравнение tg x = a имеет корни при любом действительном значении a, то множеством значений функции y = tg x является множество R всех действительных чисел.

Пример 1:
Решим уравнение: a) sin x = 1/2


а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x1. По таблице тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда



Скажем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения:

где k ∈ Z.

Пример 2:
Найдем:



Учитывая обратные тригонометрические функции получим: