Пространство геометрических векторов
 Скачать 1.47 Mb.
|
|
Лекция 1 Глава 1 Пространство геометрических векторов
1.1. Понятие геометрического вектора. Линейные операции над векторами, их свойства Определение 1. Геометрическим вектором (или просто вектором) называется отрезок, концы которого рассматриваются в определенном порядке (т. е. указано, какая из его граничных точек является началом, а какая - концом). Е  сли за начало отрезка  принята точка  , вектор будем обозначать символом  (либо одной малой латинской буквой, например,  ), а точку называть точкой приложения вектора.На чертеже вектор будем изображать отрезком со стрелкой в конечной точке (рис. 1.1). Длиной вектора назовем длину отрезка и в записи используем знак абсолютной величины:  (либо  ).Вектор называется нулевым вектором, если его конечная точка  совпадает с начальной . Нулевой вектор в силу его определения не имеет направления, а длина его равна нулю. Векторы и  назовем коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 1.2; 1.3). Два вектора и называют равными, если они коллинеарны, имеют общее направление и равные длины (рис. 1.4). Из определения следует, что два вектора, порознь равные третьему, равны между собой. Именно поэтому в аналитической геометрии не различают равные векторы, имеющие разные точки приложения. Векторы, изучаемые в аналитической геометрии, называются свободными. О  пределение 2. Суммой векторов и называется вектор, идущий из начала первого вектора ( ) в конец второго ( ), при условии, что приложен к концу вектора (рис. 1.5).Обозначать сумму в тексте будем  (либо  , если  ,  ).Замечание 1. Из определения 2 следует так называемое «правило параллелограмма»: если векторы и  приложены к одной точке (одному началу), то сумма представляет собой диагональ параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах.Д  ействительно, в параллелограмме  (рис. 1.6) векторы  и  равны:  , а тогда по определению 2 диагональ  или  .Докажем два свойства операции сложения геометрических векторов: 1) для любых двух геометрических векторов и : ;2) для любых трех геометрических векторов , и  : .Д  оказательство свойства 1.Приложим векторы и к одному началу – произвольной точке  , концевые точки обозначим так, как показано на рис. 1.7 и рассмотрим треугольники  и  .Из вектор  , так как по определению равных векторов  . С другой стороны, из тот же самый вектор  , так как  .Таким образом, , и свойство 1 доказано.Доказательство свойства 2. П  риложим вектор к произвольной точке , к концу вектора приложим вектор , к концу - вектор . Концевые точки обозначим так, как показано на рис. 1.8, и рассмотрим вектор  , идущий из начала в конец вектора .Из имеем: , (1.1)но вектор  из  равен . (1.2)Из (1.1) и (1.2) получим  . (1.3)С другой стороны, тот же самый вектор из треугольника можно записать в виде  , (1.4)но из   . (1.5)Равенства (1.4) и (1.5) дают следующее:  .Сравнив последнее равенство с (1.3), получим ,и свойство 2 доказано. Замечание 2. Свойство 2 означает, что мы можем далее не различать векторы  и  , а рассматривать их как один и тот же вектор  .С  умма произвольного числа векторов  может быть получена по следующему правилу: к произвольной точке приложим вектор  , к его концу – вектор  и так далее, к концу вектора  приложим вектор  , тогда вектор, начало которого совпадет с началом , а конец – с концом , и будет вектором (рис. 1.9).Замечание 3. Существует такой вектор  , что для любого геометрического вектора справедливо равенство .Действительно, в качестве вектора можно взять введенный ранее нулевой вектор.Если – произвольный геометрический вектор, то по определению суммы вектор  имеет начало в начале , а конец – в конце второго слагаемого, т. е. , но у начало и конец совпадают и, таким образом, у вектора начало совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора и  .Аналогично устанавливаем, что  .Определение 3. Разностью векторов и называется такой вектор  , что  .Запись:  .И  з определения 3 следует, что если привести векторы и к одному началу, то изображается вектором, идущим из конца в конец (рис. 1.10).Определение 4. Произведением вектора на число  назовем вектор , удовлетворяющий следующим трем условиям: коллинеарен ; ;направление совпадает с направлением , если  , и противоположно ему, если .Под произведением вектора на  будем понимать нулевой вектор . Запись:  .З  амечание 4. Вектор  имеет длину такую же, как вектор ( ), и направление, противоположное направлению (так как число  ). Вектор  называется противоположным для вектора (рис. 1.11).Замечание 5. Для любых векторов и , если  ,  , равенство есть необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов и .В самом деле, пусть , и . Тогда в соответствии с определением 4 и коллинеарны.Обратно. Пусть и коллинеарны. Так как , , можно рассмотреть векторы  и  .В соответствии с определением 4  и коллинеарны, аналогично  и коллинеарны, но тогда и тоже коллинеарны.Имеем  и  . Таким образом,  , т.е.  , или  и оказывается равным вектору , умноженному на число  .Отметим следующие свойства умножения вектора на число: 3)  ;4)  ;5)  .Доказательство свойства 3. Приложим векторы и к общему началу – произвольной точке и построим на них как на сторонах параллелограмм (рис. 1.12).И  з подобия треугольников  и  найдем  , но  , а тогда  .С другой стороны,  , и свойство 3 доказано.Свойства 4 и 5 очевидны из наглядных геометрических соображений, и доказательство их опустим. Совокупность всех геометрических векторов с операциями сложения и умножения на число будем называть пространством геометрических векторов и обозначать  . |