Пространство геометрических векторов

• Название: Пространство геометрических векторов
• Дата: 14.01.2022
• Размер: 1.47 Mb.
• Имя файла: lect1_m1_vm1_vt_aig_230100.62_niy06.doc
• Тип: Глава; #331017
• страница: 3 из 4

Следствие 1. Пусть и не коллинеарны, тогда любой вектор плоскости можно представить в виде их линейной комбинации (см. доказательство достаточности, случай 3).

Следствие 2. Если три вектора , и не компланарны, они линейно независимы (допустим противоположное, тогда по теореме 4 , , компланарны, что противоречит условию).

Теорема 5. Любые четыре геометрических вектора линейно зависимы.

Доказательство. Пусть , , и – рассматриваемые векторы.

Случай 1. Какие-нибудь три из четырех векторов компланарны, тогда (см. теорему 4), эти три вектора линейно зависимы, следовательно (см. теорему 2), все четыре вектора линейно зависимы, так как содержат зависимую подсистему.

Случай 2. Среди четырех векторов , , и никакие три не компланарны.

Приведем векторы , , и к одному началу и проведем через конец вектора плоскости, соответственно параллельные плоскостям, определяемым парами векторов и , и , и .

Точки пересечения этих плоскостей с прямыми, на которых лежат , и , обозначим , и соответственно (рис. 1.15).



Из параллелограмма , аналогично из параллелограмма и, таким образом,

. (1.8)

Вектор коллинеарен , следовательно, найдется число такое, что

.

Вектор коллинеарен , следовательно, найдется число такое, что

.

Вектор коллинеарен , следовательно, найдется число такое, что

.

Подставив полученные результаты в (1.8), найдем

,

или

. (1.9)

Равенство (1.9) означает линейную зависимость векторов , , и : их линейная комбинация с коэффициентами, не равными нулю одновременно (коэффициент при равен и отличен от нуля), равна .

Следствие. Каковы бы ни были некомпланарные векторы , и , любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации

1.3. Понятие базиса. Координаты вектора

и их свойства

Определение 8. Три вектора , , называются базисом в , если:

1) , , линейно независимы;

2) любой вектор можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. найдутся числа , и такие, что .

Определение 9. Два вектора и называются базисом в плоскости, если:

1) и линейно независимы;

2) для любого вектора этой плоскости найдутся числа и такие, что можно представить в виде их линейной комбинации и , т.е. найдутся числа и такие, что .

Из результатов, полученных в 1.2, следует, что любые три некомпланарных вектора составляют базис в .

В самом деле, пусть , и не компланарны. Тогда согласно следствию 2 из теоремы 4 векторы , и линейно независимы. А в силу следствия из теоремы 5 любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации , и , и, таким образом, , и являются базисом в (в соответствии с определением 8).

Аналогично любые два неколлинеарных вектора образуют базис в плоскости.

Действительно, если и не коллинеарны, то согласно следствию из теоремы 3 и линейно независимы. А в силу следствия 1 из теоремы 4 любой вектор плоскости может быть представлен в виде их линейной комбинации и, следовательно, , - базис плоскости (в соответствии с определением 9).

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением базиса в пространстве.

Пусть , , – произвольный базис в , . Тогда

(1.10)

Правая часть равенства (1.10) называется разложением вектора по базису , , , а числа , , – координатами вектора относительно базиса , , .

Теорема 6. Пусть , , – базис в . Координаты любого вектора относительно базиса , , определяются однозначно.

Доказательство. Доказательство проведем от противного.

Допустим, существует другое разложение вектора по базису , , :



Противоположный вектор (см. замечание 4). К обеим частям равенства (1.10) прибавим вектор



и получим

. (1.11)

Равенство (1.11) означает, что линейная комбинация векторов , , равна , откуда в силу линейной независимости , и следует, что коэффициенты при , и равны нулю, а тогда , , .