Пространство геометрических векторов
 Скачать 1.47 Mb.
|
|
Теорема 7. Пусть  ,  ,  – базис в  . При сложении любых двух векторов их соответствующие координаты складываются, при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число.Доказательство. Пусть  ,  . Привлекая свойства 1 и 2 операции сложения, получим  .Далее свойство 4 операции умножения на число дает  .В силу теоремы 6 о единственности разложения вектора по базису числа  ,  ,  и являются координатами вектора  .Пусть  – произвольное вещественное число,  – вектор, введенный выше. Рассмотрим вектор  . Имеем  . Используя свойство 3, а затем 5 умножения вектора на число, получим  .Используя теорему 6 о единственности разложения вектора по базису, придем к тому, что числа   и  – координаты вектора относительно базиса , , . Теорема доказана. 1.4. Проекция вектора на ось Осью назовем прямую с указанным на ней направлением. Определение 10. Пусть  - произвольный вектор,  - ось. Проведем через начало и конец вектора плоскости, перпендикулярные оси , пусть точки пересечения этих плоскостей с осью –  и  . Рис. 1.16 поясняет определение 10.  Определение 11. Углом наклона вектора к оси называется наименьший угол между двумя выходящими из произвольной точки  лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением оси , другой – направление, совпадающее с направлением вектора .На рис. 1.17, поясняющем определение 11, угол наклона к оси , который в дальнейшем будем обозначать  , отмечен двумя дугами. Теорема 8. Пусть – произвольная ось,  . Тогда  .Доказательство. Обозначим через  – ось, проходящую через точку  , начало вектора , и имеющую направление оси . Тогда углом наклона вектора к оси будет согласно определению 11, угол  (рис. 1.18). Случай 1. Направление  совпадает с направлением оси (а следовательно, и ). Тогда  .Случай 2. Направление противоположно направлению оси (т.е. и тоже). Тогда  . Теорема 8 доказана. 1.5. Декартов базис и декартовы координаты Определение 12. Углом между векторами и будем называть наименьший из двух углов, образованных выходящими из произвольной точки лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением , другой – направление, совпадающее с направлением .Если векторы коллинеарны, угол считаем равным нулю, если их направления совпадают, и равным  , если направления и противоположны.Рис. 1.20 поясняет определение 12. У  гол между векторами и в дальнейшем будем обозначать  , на рис. 1.20 угол отмечен двумя дугами.Определение 13. Базис , , называется декартовым прямоугольным базисом, если:1)  ,  и  ;2)  .Обычно в литературе векторы декартова базиса обозначают через  , , и слово «прямоугольный» опускают.Пусть , , – некоторый декартов базис,  . Тогда найдутся числа  такие, что  . (1.12)Числа называют декартовыми прямоугольными координатами вектора  . Будем использовать в дальнейшем запись  , равносильную записи (1.12) в виде разложения вектора по базису.Декартова система координат определяется в пространстве заданием декартова базиса , , и некоторой точки – точки приложения векторов базиса. Точка называется началом координат.Определение 14. Пусть задана декартова система координат. Декартовыми координатами произвольной точки  называются координаты вектора  относительно базиса , , .По доказанной теореме 6 координаты вектора относительно базиса , , определяются однозначно, поэтому, если задана система координат (точка – начало координат и декартов базис , , ), то каждой точке пространства однозначно соответствует тройка декартовых координат .Отметим, что свойства базиса и декартовых координат точки на плоскости и прямой аналогичны случаю пространства. Геометрический смысл декартовых координат вектора устанавливается следующей теоремой. Теорема 9. Пусть , , – декартов прямоугольный базис, . Тогда  ,  ,  .Доказательство. Приведем векторы , , и к одному началу, некоторой точке , и через конец вектора проведем плоскости, соответственно параллельные парам векторов: и , и , и , получим прямоугольный параллелепипед  , в котором диагональ  (рис. 1.21). В силу теоремы 6 о единственности разложения по базису  . (1.13)Имеем  (1.14)В соответствии с определением 10  (1.15)Если направление  совпадает с направлением , то в (1.13) по определению произведения вектора на число  . Тогда в (1.14)  , и в (1.15)  .Если направление противоположно направлению , то в (1.13)  . Следовательно, в (1.14)  , а в (1.15)  .Таким образом, в обоих случаях .Аналогично,  ,  .Теорема 9 доказана. Пусть задана произвольная декартова система координат (точка – начало координат и декартов базис , , ). Обозначим через  ,  ,  – оси, направление которых совпадает с направлением векторов , , соответственно. Пусть , обозначим через  , , – углы наклона вектора к осям , , соответственно.Числа  , , называются направляющими косинусами вектора .Пусть . Имеем ,  ,  . (1.16)Было доказано (см. теорему 6), что вектор однозначно определяется заданием своих координат. Равенства (1.16) означают, что однозначно определяется заданием длины и трех направляющих косинусов.Получим еще некоторые полезные при решении задач соотношения. Так как параллелепипед на рис. 1.21 прямоугольный, то  .Тогда имеем,   , , ,откуда  (сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице).Теорема 10 (линейные свойства проекции). Проекция суммы любых двух векторов на произвольную ось равна сумме проекций; при умножении вектора на число проекция умножается на это число. Доказательство. Пусть – произвольная ось, и  – произвольные векторы.Рассмотрим декартов прямоугольный базис такой, что ось совпадает с осью вектора . Пусть  ,  . Имеем  .  . (1.17)С другой стороны,  ,  . (1.18) Сравнив (1.17) и (1.18) заключаем  .Аналогично, если – произвольное действительное число, то  ,  , а, значит,  . |