практическая по математике. Прямая План
![]()
|
Прямая![]() План:Введение 1 Свойства прямой в евклидовой геометрии 2 Уравнения прямой на плоскости 2.1 Общее уравнение прямой 2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом 2.3 Уравнение прямой в отрезках 2.4 Нормальное уравнение прямой 2.5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки 2.6 Векторно-параметрическое уравнение прямой 2.7 Параметрические уравнения прямой 2.8 Каноническое уравнение прямой 2.9 Уравнение прямой в полярных координатах 2.10 Тангенциальное уравнение прямой 3 Уравнения прямой в пространстве 4 Взаимное расположение точек и прямых на плоскости 5 Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости Введение![]() Изображение прямых в прямоугольной системе координат. Прямая — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии. Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками. Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени. 1. Свойства прямой в евклидовой геометрииЧерез любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую. Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными. В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются. Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение). 2. Уравнения прямой на плоскости![]() Способы задания прямой: ![]() ![]() 2.1. Общее уравнение прямойОбщее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах: ![]() где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором. При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде : ![]() 2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентомУравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке ![]() ![]() ![]() Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy. 2.3. Уравнение прямой в отрезкахПрямая линия, пересекающая ось Ox в точке ![]() ![]() ![]() В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат. 2.4. Нормальное уравнение прямой![]() где p — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а θ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра. Если p = 0, то прямая проходит через начало координат, а угол ![]() Вывод нормального уравнения прямой Пусть дана прямая L. Тогда ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, то отрезки a и b, отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент k, расстояние прямой от начала координат p, cosθ и sinθ выражаются через коэффициенты A, B и C следующим образом: ![]() ![]() Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие p > 0. В этом случае cosθ и sinθ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если C = 0, то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен. 2.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точкиУравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки ![]() ![]() ![]() или ![]() или в общем виде ![]() 2.6. Векторно-параметрическое уравнение прямойВекторно-параметрическое уравнение прямой задается вектором ![]() ![]() ![]() 2.7. Параметрические уравнения прямойПараметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде: ![]() где t — производный параметр, ax, ay — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом ![]() ![]() Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении. 2.8. Каноническое уравнение прямойКаноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое: Вывод ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.9. Уравнение прямой в полярных координатахУравнение прямой в полярных координатах ρ и ![]() ![]() или ![]() 2.10. Тангенциальное уравнение прямойТангенциальное уравнение прямой на плоскости: ξx + ηy = 1. Числа ξ и η называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами. 3. Уравнения прямой в пространствеВекторное параметрическое уравнение прямой в пространстве: ![]() где ![]() ![]() ![]() Параметрическое уравнение прямой в пространстве: ![]() где ![]() ![]() Каноническое уравнение прямой в пространстве: ![]() где ![]() ![]() Общее векторное уравнение прямой в пространстве: Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями: ![]() ![]() то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений: ![]() 4. Взаимное расположение точек и прямых на плоскостиТри точки ![]() ![]() ![]() ![]() Отклонение точки ![]() ![]() где знак перед радикалом противоположен знаку C. Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону. В пространстве расстояние от точки ![]() ![]() можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле ![]() 5. Взаимное расположение нескольких прямых на плоскостиДве прямые, заданные уравнениями ![]() или ![]() пересекаются в точке ![]() Угол γ12 между пересекающимися прямыми определяется формулой ![]() При этом под γ12 понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A1, B1, C1, k1 и b1) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой. Эти прямые параллельны, если A1B2 − A2B1 = 0 или k1 = k2, и перпендикулярны, если A1A2 + B1B2 = 0 или ![]() Любую прямую, параллельную A1x + B1y + C1 = 0, можно выразить уравнением A1x + B1y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно ![]() Если знак перед радикалом противоположен C1, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой. Для того, чтобы три прямые ![]() пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ![]() Если ![]() ![]() ![]() ![]() |