практическая по математике. Прямая План

• Название: Прямая План
• Анкор: практическая по математике
• Дата: 16.03.2022
• Размер: 192.5 Kb.
• Имя файла: Matematika.doc
• Тип: Документы; #400147

Прямая

План:

Введение

• 
  1 Свойства прямой в евклидовой геометрии
  
• 
  2 Уравнения прямой на плоскости
  
  • 
    2.1 Общее уравнение прямой
    
  • 
    2.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
    
  • 
    2.3 Уравнение прямой в отрезках
    
  • 
    2.4 Нормальное уравнение прямой
    
  • 
    2.5 Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки
    
  • 
    2.6 Векторно-параметрическое уравнение прямой
    
  • 
    2.7 Параметрические уравнения прямой
    
  • 
    2.8 Каноническое уравнение прямой
    
  • 
    2.9 Уравнение прямой в полярных координатах
    
  • 
    2.10 Тангенциальное уравнение прямой
    
• 
  3 Уравнения прямой в пространстве
  
• 
  4 Взаимное расположение точек и прямых на плоскости
  
• 
  5 Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости
  

Введение

Изображение прямых в прямоугольной системе координат.

Прямая — одно из основных понятий геометрии.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Если основой построения геометрии служит понятие расстояния между двумя точками пространства, то прямую линию можно определить как линию, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками.

Аналитически прямая задаётся уравнением (в трёхмерном пространстве — системой уравнений) первой степени.

1. Свойства прямой в евклидовой геометрии

• 
  Через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую.
  
• 
  Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или являются параллельными.
  
• 
  В трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых:
  
  • 
    прямые пересекаются;
    
  • 
    прямые параллельны;
    
  • 
    прямые скрещиваются.
    
• 
  Прямая линия — алгебраическая линия первого порядка: в декартовой системе координат прямая линия задается на плоскости уравнением первой степени (линейное уравнение).
  

2. Уравнения прямой на плоскости

Способы задания прямой:
 или  .

2.1. Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:



где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :

2.2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Прямая линия, пересекающая ось Oy в точке   и образующая угол   с положительным направлением оси Ox:



Коэффициент k называется угловым коэффициентом прямой. В этом виде невозможно представить прямую, параллельную оси Oy.

2.3. Уравнение прямой в отрезках

Прямая линия, пересекающая ось Ox в точке   и ось Oy в точке  :



В этом виде невозможно представить прямую, проходящую через начало координат.

2.4. Нормальное уравнение прямой

где p — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а θ — угол (измеренный в положительном направлении) между положительным направлением оси Ox и направлением этого перпендикуляра. Если p = 0, то прямая проходит через начало координат, а угол   задаёт угол наклона прямой.

Вывод нормального уравнения прямой  

Пусть дана прямая L. Тогда   и  . Рассмотрим для этого перпендикуляра его орт  . Допустим что угол между   и осью X равен θ. Так как  , то можно записать:  . Теперь рассмотрим произвольную точку  . Проведем радиус-вектор   Теперь найдем проекцию   на вектор  .   следовательно:   Это и есть нормальное уравнение прямой ■

Если прямая задана общим уравнением Ax + By + C = 0, то отрезки a и b, отсекаемые ею на осях, угловой коэффициент k, расстояние прямой от начала координат p, cosθ и sinθ выражаются через коэффициенты A, B и C следующим образом:





Во избежание неопределённости знак перед радикалом выбирается так, чтобы соблюдалось условие p > 0. В этом случае cosθ и sinθ являются направляющими косинусами положительной нормали прямой — перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую. Если C = 0, то прямая проходит через начало координат и выбор положительного направления произволен.

2.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки   и 



или



или в общем виде

2.6. Векторно-параметрическое уравнение прямой

Векторно-параметрическое уравнение прямой задается вектором   конец которого лежит на прямой и направляющим вектором прямой  . Параметр t пробегает все действительные значения.

2.7. Параметрические уравнения прямой

Параметрические уравнения прямой могут быть записаны в виде:



где t — производный параметр, a_x, a_y — координаты x и y направляющего вектора прямой, при этом





Смысл параметра t аналогичен параметру в векторно-параметрическом уравнении.

2.8. Каноническое уравнение прямой

Каноническое уравнение получается из параметрическиx уравнений делением одного уравнения на другое:

Вывод  









где   — координаты   и   направляющего вектора прямой,   и   координаты точки, принадлежащей прямой.

2.9. Уравнение прямой в полярных координатах

Уравнение прямой в полярных координатах ρ и  :



или

2.10. Тангенциальное уравнение прямой

Тангенциальное уравнение прямой на плоскости:

ξx + ηy = 1.

Числа ξ и η называются её тангенциальными, линейными или плюккеровыми координатами.

3. Уравнения прямой в пространстве

Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:



где   — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой,   — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой,   — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:



где   — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:



где   — координаты некоторой фиксированной точки M₀, лежащей на прямой;   — координаты вектора, коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

 и 

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

4. Взаимное расположение точек и прямых на плоскости

Три точки  ,   и   лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется условие



Отклонение точки   от прямой Ax + By + C = 0 может быть найдено по формуле



где знак перед радикалом противоположен знаку C. Отклонение по модулю равно расстоянию между точкой и прямой; оно положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от прямой, и отрицательно, если по одну сторону.

В пространстве расстояние от точки   до прямой, заданной параметрическим уравнением



можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле

5. Взаимное расположение нескольких прямых на плоскости

Две прямые, заданные уравнениями



или



пересекаются в точке



Угол γ₁₂ между пересекающимися прямыми определяется формулой



При этом под γ₁₂ понимается угол, на который надо повернуть первую прямую (заданную параметрами A₁, B₁, C₁, k₁ и b₁) вокруг точки пересечения против часовой стрелки до первого совмещения со второй прямой.

Эти прямые параллельны, если A₁B₂ − A₂B₁ = 0 или k₁ = k₂, и перпендикулярны, если A₁A₂ + B₁B₂ = 0 или  .

Любую прямую, параллельную A₁x + B₁y + C₁ = 0, можно выразить уравнением A₁x + B₁y + C = 0. При этом расстояние между ними будет равно



Если знак перед радикалом противоположен C₁, то δ будет положительным, когда вторая прямая и начало координат лежат по разные стороны от первой прямой.

Для того, чтобы три прямые



пересекались в одной точке или были параллельны друг другу, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие



Если   и  , то прямые   и   перпендикулярны.