Радиоэлементы с фрактальным импедансом понятие фрактального импеданса
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
Разложение на непрерывные (цепные) дроби. Пусть имеется лестничная цепь, изображенная на рис. 10, в которой про- дольные сопротивления названы Z 1 , Z 3 , Z 5 , …, а поперечные проводимости – Y 2 , Y 4 , Y 6 , …. Найдем входную проводимость правой части схемы по отношению к за- (7) Рис. 8. Структура цепи, полученная раз- ложением функции Z(p) на простые дроби (первая форма Фостера) Z(p) → Y(p) → Рис. 4.9. Структура цепи, полученная разложением функции Y(p) на про- стые дроби (вторая форма Фостера) 11 жимам ab. Она равна 4 5 6 1 1/ Y Z Y + + . Входное сопро- тивление по отношению к тем же зажимам будет рав- но 4 5 6 1 1 1/ Y Z Y + + . Продолжая эту процедуру по на- правлению к зажимам ef, получим выражение для входного сопротивления в виде цепной дроби: 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 ef Z Z Y Z Y Z Y = + + + + + Для представления выражения (4) к виду цепной дроби можно придержи- ваться следующих правил: 1) расположить полиномы N(p) и M(p) по убывающим, либо по возрастающим сте- пеням р (см. п. 3, 4, 6); 2) делить многочлен на многочлен, следя за тем, чтобы в процессе деления получа- лись положительные слагаемые и чтобы они не содержали р в степени больше 1 или −1; 3) в том случае, если в процессе деления получаются отрицательные слагаемые или степени р больше 1 ( −1), можно на соответствующем шаге поменять порядок рас- положения степеней полинома; 4) деление, начиная со старших степеней, применяют к выражению Z(p), имеющему m = n; 5) если степень числителя Z(p) меньше степени знаменателя (m < n), то разлагают в цепную дробь ее обратную величину, т.е. Y(p); 6) деление, начиная с младших степеней, применяют к выражению Y(p), имеющему m = n. На основании вышеизложенного процесс последовательного определения элементов лестничной схемы можно представить в виде диаграммы, изображен- Z 1 Z 3 Z 5 a b c d e f Y 2 Y 4 Y 6 Рис. 4.10. Лестничная цепь 12 ной на рис. 11. При разложении в цепную дробь функции Z(р), в которой m = n, на первом шаге выделяется постоянная величина Z( ∞), реализуемая последовательным сопро- тивлением. Первый остаток будет иметь нуль при р = ∞; величина обратная остатку, имеет здесь полюс, ко- торый выделяется делением знаменателя остатка на числитель и реализуется параллельной емкостью и т.д. Полученная схема лестничной цепи при этом имеет вид, изображенный на рис. 12. Если в Z(р) m < n то необходимо разлагать в цепную дробь обратную величину, т.е. Y(р). Реа- лизующая схема будет отличаться от полученной (рис. 12) лишь отсутствием последовательного сопротивления R 1 При разложении в цепную дробь функции Y(р), в которой m = n, на первом шаге выделяется постоянная величина Y( ∞), реа- лизуемая параллельной проводимостью G 0 . Величина обратная остатку имеет по- люс р = ∞, выделение которого делением знаменателем остатка на числитель дает последовательную емкость и т.д. Схема лестничной цепи, получающаяся с помо- щью этой процедуры, имеет вид, изображенный на рис. 13. Если в Y(р) m < n, то необходимо разлагать в цепную дробь обратную величину, т.е. Z(р). При этом в реализующей схеме (рис. 13) не будет первой параллельной проводимости G 0 Рис. 11. Диаграмма опреде- ления элементов цепной дроби R 1 R 3 R m C 2 C 4 C m Рис. 12. Лестничная цепь, получен- ная разложением Z(p) в цепную дробь C 1 C 3 C m G 0 G 4 G m +1 G 2 Рис. 13. Лестничная цепь, получен- ная разложением Y(p) в цепную дробь 13 4. Рациональная аппроксимация фрактальных импедансов Для реализации фрактального импеданса с помощью RC-цепей, рассмот- ренных выше, необходимо представить иррациональную функцию входного им- педанса (иммитанса) (2) в виде дробно-рациональной функции вида (4). Известно, что для реализации этой функции пассивными элементами достаточно соблюде- ния следующих условий: функция является вещественной при вещественном р; функция имеет на комплексной плоскости особенности, расположенные на отрицательной вещественной полуоси; первым от начала координат расположен соответственно полюс функции – для входного импеданса Z(p), нуль функции – для входного иммитанса Y(p). Заметим, что при ограниченном числе элементов цепи, реализация фрак- тального импеданса возможна лишь в ограниченной полосе частот. Существует множество способов решения этой задачи. Здесь рассмотрим два способа, используемые на практике для реализации фрактальных импедансов для ПИД-регуляторов дробного порядка. Метод Оусталупа (А. Oustaloup). Пусть требуется реализовать фрактальный импеданс вещественного поряд- ка вида (2) в диапазоне частот от ω b до ω h . При этом частоту ω с выберем из усло- вия c b h ω ω ω = . Тогда выражение для нормированного фрактального импеданса можно записать как 1 ( ) 1 c b b h p Z p p α α ω ω ω ω − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Идея синтеза такой цепи основывается на интуитивном представлении, что фрактальные свойства цепи определяются рекурсивностью, т.е., используя рекур- сивное распределение вещественных нулей и полюсов можно получить искомую аппроксимацию в виде ( ) lim ( ) N N Z p Z p →∞ = , (8) (9) 14 где 1 ( ) 1 N c k N k N h k p Z p p α ω ω ω ω − =− ⎛ ⎞ ′ + = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∏ Введем обозначение μ = ω h / ω b . Тогда аппроксимирующую функцию можно записать в виде: ( ) N k N k N k p Z p C p ω ω =− ′ + = ⋅ + ∏ , где ( ) 2 N k k N k C α ω μ ω − =− = ⋅ ′ ∏ Пояснение идеи рекурсивного распределения вещественных нулей k ω ′ и по- люсов k ω , а также формирования ЛАЧХ и ФЧХ фрактального импеданса, проил- люстрированы на рис. 14 (частотный масштаб – логарифмический). Рис. 14. Иллюстрация метода Оусталупа Количество нулей и полюсов аппроксимирующей функции равно 2N+1, где ( ) ( ) 0 lg lg N N ω ω ξη = Рекурсивное расположение нулей и полюсов определяется так называемы- ми рекурсивными коэффициентами k k ω ξ ω = ′ и 1 k k ω η ω + ′ = (10) (11) (12) (13) 15 Результат сглаживания ступенек асимптотической ЛАЧХ ( ) N Z p (сплошная линия на рис. 14) на интервале между b ω и h ω можно представить в виде прямой линии, которая на этом участке совпадает с асимптотой для ЛАЧХ ( ) Z p (пунк- тирная линия). Крутизна наклона асимптотической кривой ЛАЧХ на участке СД, соответ- ствующему переходу от нуля к полюсу функции ( ) N Z p , может быть найдена как дБ дБ 6 окт lg ξ Δ − = С другой стороны крутизна наклона сглаживающей прямой на участке АВ может быть записана как дБ дБ 6 окт lg lg α ξ η Δ − = + Отсюда можно выразить дробный порядок α через значения рекурсивных коэффициентов ξ и η : ( ) lg lg ξ α ξη = Из рис. 14 видно, что асимптота для ( ) Z p в диапазоне частот между b ω и h ω пересекает середины горизонтальных участков асимптотической кривой для ( ) N Z p , длины которых равны η lg . Следовательно, учитывая логарифмический масштаб, частоты N ω − ′ и N ω можно выразить через b ω и h ω как N b ω ω η − ′ = и N h ω ω η = Анализируя ФЧХ аппроксимирующей функции (сплошная линия), можно заметить, что сглаживающая ФЧХ, соответствующая функции ( ) Z p , может быть представлена прямой линией с постоянной фазой (пунктирная линия), величина которой также может быть выражена через рекурсивные коэффициенты. Так, если ФЧХ аппроксимирующей функции ассоциировать с периодиче- ской импульсной последовательностью c периодом lg( ξη ), длительностью им- пульса lg( ξ ) и амплитудой π /2, то усреднение этой последовательности за период можно выразить как (14) (15) 16 lg 2 lg( ) c π ξ ϕ ξη = Отсюда с учетом (14) получим 2 c π ϕ α = Из анализа рис. 14 следует, что отношение граничных частот также можно выразить через рекурсивные коэффициенты: ( ) 2 1 N h b ω μ ξη ω + = = Отсюда можно выразить произведение рекурсивных коэффициентов ξ и η в виде 1 2 1 N h b ω ξη ω + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , которое физически представляет собой отношение частот соседних нулей или по- люсов аппроксимирующей функции, т.е. 1 1 k k k k ω ω ξη ω ω + + ′ = = ′ Выразим рекурсивный коэффициент ξ из выражения (4.14) как функцию произведения ξη . Получим ( ) α ξ ξη = Тогда рекурсивный коэффициент η можно получить из очевидного соотно- шения ( ) 1 η ξη ξ − = в виде ( ) 1 α η ξη − = Следовательно, используя (19), рекурсивные коэффициенты ξ и η можно выразить как 2 1 N h b α ω ξ ω + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и 1 2 1 N h b α ω η ω − + ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) 17 откуда видно, что рекурсивные коэффициенты ξ и η зависят только от N при за- данных значениях α и μ Учитывая, что индексы переходных частот меняются от − N до N, на основа- нии рис. 14.можно записать выражение для k-го нуля в виде lg lg ( )lg( ) k N k N ω ω ξη − ′ ′ = + + или ( ) k N k N ω ξη ω + − ′ ′ = С учетом (15) это выражение можно представить в виде ( ) 1 2 k N k b ω ξη η ω + ′ = Окончательно, используя (19)-(23), выражение для частоты k-го нуля ап- проксимирующей функции можно записать как ( ) ( ) 0,5(1 ) 2 1 k N N k b α ω μ ω + + − + ′ = Аналогичным образом найдем выражение для частоты k-го полюса. С уче- том (24) можно записать ( ) 1 2 k N k b ω ξ ξη η ω + = , и с учетом (19)-(23) выражение (4.26) для k-го полюса аппроксимирующей функ- ции получить в виде ( ) ( ) 0,5(1 ) 2 1 k N N k b α ω μ ω + + + + = Переходные частоты, определённые таким образом, в совокупности с (11) полностью определяют аппроксимирующую дробно-рациональную функцию ( ) N Z p Формулы, полученные из рис. 14, справедливы в целом для 0 < | α | < 1. При этом необходимо учесть следующее: • если α положительно, то ξ > 1 и распределение нулей и полюсов начи- нается с нуля; • если α отрицательно, то 0 < ξ < 1 и распределение нулей и полюсов на- чинается с полюса. (24) (25) (26) (27) 18 Рассмотрим пример синтеза, используя программу Матлаб. Пример 1 . Спроектировать на основе методов, рассмотренных в данном разделе, электрическую цепь пятого порядка, обладающую фрактальным импе- дансом порядка 0,3 в диапазоне частот от 0,001 рад/с до 1000 рад/с. Используя формулы (11), (25) и (27) создадим функцию вычисления дроб- но-рациональной аппроксимирующей функции фрактального импеданса. Эта функция имеет вид: function G=ousta_fod(r, N, w_L, w_H) % r: дробный порядок α \ [-1,1] % N: пределы суммирования % w_L: нижняя граница рабочего диапазона частот % w_H: верхняя граница рабочего диапазона частот % G: вид функции, аппроксимирующей фрактальный импеданс вида p α mu=w_H/w_L; k=-N:N; w_kp=(mu).^((k+N+0.5-0.5*r)/(2*N+1) )*w_L; w_k=(mu).^((k+N+0.5+0.5*r)/(2*N+1) )*w_L; С=(mu)^(-r/2)*prod(w_k./w_kp); G=tf(zpk(-w_kp', -w_k', С)) В результате выполнения команд: N=2; w1=1e-3; w2=1e3; gl=ousta_fod(-0.3, N, w1, w2) ; формируется в символьном виде аппроксимирующая функция 0.1259 s^5 + 51.09 s^4 + 1230 s^3 + 1862 s^2 + 177.1 s + 1 ------------------------------------------------------------------------------ (28) s^5 + 177.1 s^4 + 1862 s^3 + 1230 s^2 + 51.09 s + 0.1259 По команде bode(zpk(-w_kp',-w_k', C)) строятся графики ЛАЧХ и ФЧХ данной аппроксимирующей функции. На рис. 15 изображены частотные характеристики ( ) N Z p для трех значений N: 2, 3 и 4. Можно заметить, что ЛАЧХ ( ) N Z p достаточно точно аппроксимирует ЛАЧХ фрактального импеданса уже при N = 2 (порядок аппроксимирующей функции равен 5) во всем диапазоне рабочих частот, а вот ФЧХ при N = 2 имеет непосто- янство фазы порядка ±4° в более узком, чем определено в заданном частотном 19 диапазоне (примерно на две декады). С ростом N непостоянство фазы можно су- щественно уменьшить, но лишь в еще более узком диапазоне частот. Рис. 15. ЛАЧХ (верхний график) и ФЧХ (нижний график) аппроксимирующих функций ( ) N Z p , полученных методом Оусталопа: 1) N = 2; 2) N = 3; 3) N = 4 В результате выполнения команд [b,a]=zp2tf(-w_kp',-w_k', C) [r,p,k]=residue(b,a) можно получить разложение полученной аппроксимирующей функции (28) на сумму простых дробей, имеющей вид: 24,49 3,6743 0,5325 0,0774 0,0122 ( ) 0,1259 165,96 10,4713 0,6607 0,0417 0,0026 Z p p p p p p = + + + + + + + + + + В соответствии с правилами замены слагаемых разложения эквивалентными проводимостями звеньев электрической цепи (первая форма Фостера), реализую- щая цепь будет иметь вид, изображенный на рис. 16. Рис. 16. Реализующая цепь аппроксимирующей функции (28) Анализируя номиналы элементов звеньев цепи, можно заметить, что отно- шение максимального номинала резистора к минимальному составляет 37, а для конденсаторов это соотношение превышает 2000. Поэтому такую цепь достаточно 20 сложно изготовить по интегральной технологии, не применяя различные материа- лы диэлектриков конденсаторов, чтобы минимизировать размеры конструкции. Для проверки правильности синтеза цепи, входной импеданс цепи был из- мерен в программе схемотехнического моделирования. Полученные результаты (в том виде, как это отображается в программе), показаны на рис. 17. ЛАЧХ и ФЧХ полностью совпадают с теми, которые изображены на рис. 14. Это свидетельству- ет о том, что синтезированная цепь точно реализует аппроксимирующую дробно- рациональную функцию, полученную методом Оусталупа. Рис. 17. Результаты моделирования цепи (рис. 16) в программе схемотехнического моделирования: ЛАЧХ (верхний график); ФЧХ (нижний график) Этот метод основан на предположении, что фрактальный импеданс, опреде- ляемый выражением (3) можно представить в виде 1 ( ) 1 c Z p p α ω = ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и аппроксимировать с помощью дробно-рациональной функции от р : ( ) ( ) 1 1 1 0 0 0 0 0 1 ( ) 1 N N i N i i i i N N N N i i i i i i p p Z p p p ω ω ω ω ω ω ω − − − = = = = = ⎛ ⎞ + ′ + ⎜ ⎟ ′ ⎝ ⎠ = = ⋅ ′ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ Рекурсивное распределение полюсов и нулей в этом методе задается сле- дующими соотношениями: (29) (30) 21 10(1 ) 20 0 0 0 10 , 10 ; y y c α α ω ω ω ω − ′ = = 10(1 ) 10 1 0 1 1 10 , 10 ; y y α α ω ω ω ω − ′ ′ = = # 10(1 ) 10 1 1 1 10 , 10 y y N N N N α α ω ω ω ω − − − − ′ ′ = = , где у – максимально допустимое отклонение ЛАЧХ аппроксимирующей функции от асимптотической ЛАЧХ, соответствующей Z ( p ). Введем обозначения 10(1 ) 10 10 (1 ) 10 ; 10 ; 10 y y y a b ab α α α α − − = = = , физический смысл которых можно получить из анализа соотношений: 0 1 1 0 1 1 N N a ω ω ω ω ω ω − − ′ ′ ′ = = = = " ; 1 2 0 1 1 N N b ω ω ω ω ω ω − = = = = ′ ′ ′ " 1 2 1 0 1 2 N N ab ω ω ω ω ω ω − − ′ ′ ′ = = = = ′ ′ ′ " ; 1 2 0 1 1 N N ab ω ω ω ω ω ω − = = = = " Тогда полюса и нули аппроксимирующей рациональной функции получим на основании (31) в виде следующих рекуррентных соотношений: 0 0 0 , ( ) , ( ) i i c i i b ab a ab ω ω ω ω ω ω ′ = = = Число полюсов и нулей связано с желаемой полосой и допустимой ошибкой аппроксимации ЛАЧХ и может быть найдено из выражения: max 0 log 1 log( ) N ab ω ω ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ , где ω max = L ⋅ ω h , L – масштабный множитель (10…100). |