Радиоэлементы с фрактальным импедансом понятие фрактального импеданса
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
1 РАДИОЭЛЕМЕНТЫ С ФРАКТАЛЬНЫМ ИМПЕДАНСОМ 1. Понятие фрактального импеданса Как известно, уравнения состояния электрических цепей, содержащих пас- сивные R-, L-, C-элементы с сосредоточенными параметрами, представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения, порядок которых равен порядку анализируемых цепей. Например, электрические процессы, протекающие в коле- бательном LC-контуре с потерями (рис. 1) описаются обыкновенным дифферен- циальным уравнением второго порядка вида вх ( ) ( ) 1 ( ) ( ) du t u t C u t dt i t dt R L + + = ∫ С помощью этого вида уравнений можно опи- сывать колебания не только в электрических цепях, но и в системах другой природы (например, колебания маятника, вибрация зда- ний, платформ и др.). Поэтому в технике широко используется метод аналогового моделирования, когда поведение некоторой (неэлектрической) системы опреде- ляют на основе ее электрической схемы замещения. При этом существенно уменьшается стоимость и время моделирования. Очевидно, что любые электрические схемы замещения, содержащие R-, L-, C-элементы с сосредоточенными параметрами, описывают динамические системы целого порядка, так как компонентные уравнения инерционных элементов (моде- лируемых L и C) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка. В частности, для идеального емкостного элемента связь между током и напряжением определяется как ( ) dq du i t C dt dt = = , или в операторной форме I (p) = pC ⋅ U (p). Для идеального индуктивного элемента компонентное уравнение имеет вид , d di u e L dt dt Ψ = − = = Рис. 1. Простой параллель- ный LC-контур C R L i вх (t) u(t) 2 или в операторной форме U (p) = pL ⋅ I (p). Поэтому в тех случаях, когда исследуемая динамическая система описыва- ется дифференциальным уравнение дробного порядка, электрическая схема заме- щения должна содержать как минимум один элемент, связь между током и на- пряжением в котором можно было бы представить дифференциальным уравнение не целого порядка вида 1 ( ) ( ) , 0 1, d u t i t F dt α α α = < < где F – коэффициент, характеризующий некоторую способность элемента, физи- ческий смысл которой определим ниже. Очевидно, что к этому классу элементов можно отнести однородную полу- бесконечную RC-линию, связь между током и напряжением на входе которой, как известно, определяется уравнением 1/ 2 1/ 2 1 ( ) ( ) , d u t i t A dt = или в операторной форме 1 2 ( ) ( ) ( ) R U p Ap I p I p θ − = = где 1 2 r A c ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , r и c – соответственно погонные сопротивление и емкость линии. ( ) ( ) 1 2 1 2 pRC p θ τ = = – постоянная распространения, R и C – соответственно полные сопротивление и емкость линии. Обобщая этот частный случай фрактального импеданса половинного поряд- ка на произвольные значения порядка компонентного уравнения α , запишем в со- ответствии с (1) выражение для импеданса фрактального двухполюсника в общем виде как | | ( ) ( ) c F Z Z p p α τ = (2) (1) 3 где Z c – величина импеданса двухполюсника на частоте ω с , τ = 1/ ω с , Поскольку физические процессы, определяющие такой характер связи меж- ду током и напряжением, могут быть самыми различными, то в дальнейшем эле- менты электрических цепей, описываемые компонентным уравнением (1), будем в общем случае называть фрактальными радиоэлементами, а в качестве их коли- чественной характеристики будем оперировать фрактальным импедансом. Заметим, что в отличие от номиналов емкостного и индуктивного элемен- тов, которые являются их основными параметрами, фрактальный элемент харак- теризуется несколькими параметрами: |Z c |, τ , α (см. выражение (2)). Частотные характеристики фрактального импеданса при вещественном зна- чении α определяются соотношением 2 | | | | ( ) c c F Z Z Z j j e π α α α α α ω ω ω τ τ − − − = = Графики ЛАЧХ и ФЧХ нормированного импеданса двухполюсника Z F изображе- ны на рис. 2. а) б) Рис. 2. ЛАЧХ (а) и ФЧХ (б)нормированного импеданса двухполюсника Z F Для предельных случаев α = 1, α = − 1 и α = 0 двухполюсник Z F представляет собой соответственно емкостной и индуктивный и резистивный элемент. При аналоговом моделировании с помощью RLC-цепей мы фактически по- лучаем решение дифференциального уравнения соответствующего целого поряд- ка, т.е. определяем реакцию системы на внешнее возбуждение при определенных граничных и начальных условиях. Точно также, с помощью цепей, содержащих фрактальные радиоэлементы, можно получить решение соответствующих диффе- (3) 4 ренциальных уравнений дробного порядка. Следует отметить, что традиционные L- и C-элементы при определенных условиях также могут характеризоваться фрактальными импедансами. В частно- сти в индуктивности он проявляется в диапазоне частот, где существует скин- эффект в проводнике, а в конденсаторах – при определенных видах диэлектриков с комплексной диэлектрической проницаемостью. Однако, как правило, показате- ли частотных зависимостей этих импедансов мало отличаются от единицы. Поэтому необходимо создание специальных фрактальных радиоэлементов, у которых можно было бы задавать необходимые значения параметров фракталь- ного импеданса технологическим путем и гарантировать эти значения в течение всего срока эксплуатации при заданных условиях эксплуатации. Рассмотрим существующие принципы физической реализации фрактальных импедансов. 2. Физическая реализация фрактальных импедансов на основе элек- трохимических преобразователей Еще в 1926 года при исследовании электрических свойств поверхности кон- такта металлического электрода и водного (или твердого) электролита было заме- чено, что в частотной зависимости импеданса в ограниченном диапазоне частот доминирует член (j ω ) − η , где показатель η удовлетворяет неравенству 0 < η < 1. Этот добавочный член был назван элементом с постоянным углом потерь, или просто элементом постоянной фазы (ЭПФ). Поэтому следовало ожидать, что приборы, принцип действия которых ос- нован на использовании электрохимических процессов, протекающих на электро- дах, погруженных в электролиты или полярные жидкости, могут выполнять функции фрактальных радиоэлементов. Впервые глубокие теоретические исследования таких элементов и их прак- тическое применение для целей интегрирования и дифференцирования дробного (половинного) порядках были проведены в КАИ профессором Р.Ш. Нигматулли- ным и в дальнейшем развиты его учениками. 5 В экспериментах использовался элемент, упрощенная конструкция которо- го изображена на рис. 3. Он состоит из двух платиновых электродов, помещенных в запаянную ампулу 1 с водным раствором ферроцианида калия K 4 [Fe(CN) 6 ] и феррицианида калия K 3 [Fe(FN) 6 ] одинаковой концентрации. Площадь макроэлектрода 3значительно (более чем в 40 раз) превышает площадь микроэлектрода 2. При наложении разности потенциалов на электродах происходят следующие химические реакции: восста- новление на катоде: [Fe(CN) 6 ] 3 − + e → [Fe(CN) 6 ] 4 − , где е означает электрон, и окисление на аноде: [Fe(CN) 6 ] 4 − + e → [Fe(CH) 6 ] 3 − Как видно из схем реакций, в ходе этого окислительно-восстановительного процесса концентрации исходных веществ в растворе не изменяются и, если при- ложенное напряжение не превышает потенциала разложения растворителя (для во- ды 0,9В), такой элемент может работать сколь угодно долго. Эквивалентная схема двухполюсника с полусферическим микроэлектродом с учетом емкости двойного электрического слоя для малых сигналов представлена на рис. 4. Здесь R к − химическое сопротивление; Z 1 ( ω ) и Z 2 ( ω ) − сопротивления нестационарной диффузии окислителя и восстановителя; R 1 и R 2 соответст- венно сопротивления стационарной диффузии; R 0 − объемное сопротивление и С 0 − емкость двой- ного электрического слоя. Пусть выполняются следующие неравенства: R 1 >> Z 1 ( ω ), R 2 >> Z 2 ( ω ); Z 1 ( ω ) + Z 2 ( ω ) = Z( ω ) >> R к ; 1/( ω C 0 ) >> Z( ω ); R 0 << Z( ω ). Рис. 3. Конструкция электро- химического диода: 1 – корпус, 2 – малый электрод, 3 – большой электрод 1 2 3 R 0 R к R 1 R 2 С 0 Z 1 ( ω ) Z 2 ( ω ) Рис. 4. Эквивалентная схема элек- трохимического диода 6 т. е., соответственно, кривизна поверхности микроэлектрода мала, скорость элек- трохимической реакции бесконечно велика, а емкостью двойного электрического слоя и объемным сопротивлением можно пренебречь. Тогда сопротивление рассматриваемого двухполюсника определяется вы- ражением 4 1 ( ) j Z j e A π ω ω − = , где А − константа, величина которой при заданной концентрации окислителя и восстановителя определяется постоянной составляющей приложенного напряже- ния (величиной смещения) и размерами микроэлектрода. Таким образом, этот элемент можно использовать для реализации матема- тических операций дробного интегрирования и дифференцирования половинного порядка. Однако наличие жидкого электролита и необходимость герметизации кон- струкции диода затрудняет его использование в составе малогабаритных уст- ройств, изготовляемых по интегральной технологии. Более технологичной конструкцией является планарный электрохимиче- ский преобразователь, изображенный на рис. 5, предложенный и разработанный одним из учеников Нигматуллина Р.Ш., Карамовым Ф.А. Здесь в качестве электролита используется твердый электролит системы RbAg4I 5 . В этом случае серебряный электрод является единственно обрати- мым для RbAg 4 I 5 и α, β-AgI проводящих по ионам серебра. Проведенные эксперименты показали, что в качестве поляризуемых электродов можно использо- вать электроды из платины. При этом частотные зависимости модуля импеданса и фазового угла описы- ваются выражениями: , ( ) arg ( ) 2 Ag Ag Z A Z j const α π ω ϕ ω ω α − = ⋅ = = − = , Подложка 1 2 3 Рис. 5. Планарный электрохи- мический преобразователь: 1 – электрод (Pt), 2 – твердый электролит, 3 – электрод (Ag) 7 где А и α − постоянные. Для различных образцов преобразователя значение α находилось в пределах 0,66-0,68, а фазовый угол составлял (60-62) °. Отметим, что на параметры импеданса заметно влияет изменение темпера- туры. Так, при изменении температуры от −20°С до +50°С модуль импеданса уве- личивается на два порядка, значение α меняется от 0,64 до 0,82 и фазового угла от 57,5 ° до 74,5°. В 2002 году была предложена конструкция ЭПФ, использующая свойства фрактальной геометрии границы электрод-электролит, получившая название Frac- tor ™ (G. Bohannan). Структура и общий вид устройства показаны на рис. 6. Рис. 6. Фрактальный элемент Fractor ™ : а – структура в сечении; б - общий вид 1 – внешний электрод, 2 – электролит; 3 – внутренняя проводящая пластина Размеры конструкции составляют 3,5х3,5х1,0 см. Внутренняя пластина име- ет шероховатые поверхности, обработанные специальным образом для создания необходимой структуры поверхности, определяющей значение α . В качестве электролита используется гель, содержащий ионы лития. Экспериментальные АЧХ и ФЧХ импеданса одной из конструкций рассмат- риваемого элемента изображены на рис. 7. Следует отметить, что пока созданы лишь экспериментальные образцы уст- ройств подобного рода. Параметры такого фрактального радиоэлемента лежат в пределах: по углу постоянства фазы от −30° до −60°, по диапазону рабочих частот при неравномерности ФЧХ ±5° до 5 декад. Эти параметры сильно зависят от тем- пературы, от состава электролита, от материала электродов, от степени обработки поверхности электродов и от степени сжатия электродных пластин. б а 1 2 3 2 1 8 Рис. 7. Частотные характеристики экспериментального образца Поскольку работа рассмотренных фрактальных радиоэлементов основана на процессах диффузии и дрейфа ионов электролита, то они хорошо работают в диа- пазонах низких и инфранизких частот (доли герца – десятки килогерц). 3. Физическая реализация фрактальных импедансов на основе элемен- тов с сосредоточенными параметрами Задача синтеза электрических цепей на RLC-элементах с сосредоточенными параметрами по критерию постоянства фазового угла входного импеданса (имми- танса) в ограниченном диапазоне частот успешно решалась уже в конце 50-х го- дов прошлого столетия. Такие цепи в то время использовались в качестве нагру- зок передающих линий, для балансировки электролитических импедансов (на- пример, импедансов между электродами, вставленными в биологические ткани) в широком диапазоне частот. Кроме того, их использовали в качестве четырехпо- люсников обратной связи, обеспечивающих определенную характеристику зату- хания цепи обратной связи в широкополосных усилителях. Впоследствии такие цепи широко использовались в качестве схем замеще- ния электрохимических преобразователей и других процессов и объектов, вход- ные импедансы которых проявляли частотную зависимость вида (3). Однако в качестве самостоятельных элементов с постоянной фазой они ста- ли применяться лишь при создании пропорциональных-интегрирующих- дифференцирующих (ПИД) регуляторов дробного порядка, используемых в сис- 9 темах управления объектами и процессами дробного порядка. Для синтеза таких цепей, как правило, используются многозвенные регу- лярные структуры (формы Фостера и Кауэра, ветвящиеся цепи и др.). К настоя- щему времени созданы десятки различных методов синтеза, отличающихся типом аппроксимирующих функций, способами разложения этих функций в ряд, ис- пользованием аналитических или приближенных методов определения номиналов элементов звеньев. Как известно, физически реализуемые функции цепи с сосредоточенными параметрами описываются дробно-рациональными функциями комплексной пе- ременной. Таким образом, входной импеданс произвольного двухполюсника, со- держащего R-, L- и C-элементы с сосредоточенными параметрами, в общем виде можно записать как 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n m m m N p p a p pa a Z p K M p p b p pb b − − − − + + + + = = + + + + " " или 1 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) n m p z p z p z Z p K p p p p p p + + + = + + + " " , где z i и p i – соответственно нули и полюса функции цепи. Рассмотрим некоторые способы реализации двухполюсников на основе R- и C-элементов по заданной функции Z(p). Разложение на простые дроби. Разложение на простые дроби функции (4) дает выражение 1 ( ) ( ) m i i i k Z p Z p p = = ∞ + + ∑ , где k i – вещественные положительные вычеты, которые вычисляются по формуле ( ) ( ) i i i p p k p p Z p =− = + Каждый член ряда (6) можно представить как параллельное соединение проводимостей вида 1 i i i i p p pC k R + = + (4) (5) (6) 10 Поэтому разложением на простые дроби можно синтезировать заданную функцию Z(p) цепью, состоящей из последовательно соединенных сопротивления Z( ∞) и параллельных RC-контуров, как показано на рис. 8. Можно показать, что разложением на простые дроби функции Y(p) = 1/Z(p) можно получить выражение 1 ( ) ( ) (0) n i i i k Y p Y p Y p z = = ∞ + + + ∑ Вычеты здесь определяются по формуле ( ) ( ) i i i p z k p z Y p p =− = + В данном случае каждый член ряда в выражении (4.7) можно записать как 1 i i i i p z pC k R + = + Тогда схема, реализующая входную проводимость вида (7), будет содер- жать параллельное соединение последовательных RC-контуров, как показано на рис. 9. |