Радиоэлементы с фрактальным импедансом понятие фрактального импеданса
 Скачать 0.99 Mb.
|
|
5. Метод получения фрактального импеданса на основе рекурсивного вложения симметричных лестничных цепей Рассмотрим еще один принцип создания фрактального импеданса произ- вольного порядка на основе многозвенной RC-цепи, звенья которой представляют собой симметричные скрещенные многополюсники (рис. 18). (32) (34) (35) (31) (33) 22 Рис. 18. Схема симметричной лестничной цепи на основе симметричных скрещенных четырехполюсников Из теории четырехполюсников известно, что если симметричный четырех- полюсник нагрузить на его характеристическое сопротивление Z c , то входное со- противление такой цепи будет равно характеристическому сопротивлению (рис. 19). Характеристическое сопротивление можно найти как хх кз c Z Z Z = ⋅ , где Z хх и Z кз – входные сопротивления звена симметричного четы- рехполюсника соответственно при холостом ходе и корот- ком замыкании на второй паре зажимов. Можно показать, что в данном случае 1 2 c Z Z Z = ⋅ . Если принять, что Z 1 = R , Z 2 = 1/pC, то входное сопротивление эквивалентной схемы многозвенной RC-цепи, изображенной на рис. 18, будет равно 1 1 2 2 вх Z p η − = , где η = R/C. При этом связь между током и напряжением на входе в операторной форме будет выражаться как 1 1 2 2 ( ) ( ) U p p I p η − = Применим к этому выражению обратное преобразование Лапласа. Тогда при нулевых начальных условиях в цепи связь между мгновенными значениями напряжения u(t) и тока i(t) получим в виде: 1 2 1 0 2 ( ) ( ) (1/ 2) ( ) t i u t d t η τ τ τ = Γ − ∫ Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 1 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 1/2 Z 1 Z 1 Z 2 Z 1/2 Z 1/2 Z 2 Рис. 19. Эквивалентная схема фрактального им- педанса порядка ½ (36) (37) (38) 23 Используя полученный фрактальный импеданс порядка ½ можно аналогич- ным образом получить фрактальный импеданс порядка ¼ на основе схемы, изо- браженной на рис. 20. По аналогии с (36) получим 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 4 1 4 1 1 2 ( ) ( ) Z Z Z R p R p η η − − = = = Связь между входным напряжением и током в опера- торной форме для этой схемы определяется как 1 2 1 4 1 4 ( ) ( ) U p R p I p η − = , а обратное преобразование Лапласа можно представить в виде: 1 1 2 4 3 0 4 ( ) ( ) (1 4) ( ) t R i u t d t η τ τ τ = Γ − ∫ , т.е. мгновенные значения напряжения и тока на входе данной цепи будут связаны между собой интегралом дробного порядка ¼. Обобщая рассмотренный принцип построения фрактального импеданса, можно показать, что импеданс рекурсивной структуры, изображенной на рис. 21, реализует фрактальный импеданс с показателем дробностепенной зависимости от частоты 1/2 n Полагая, что 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 n n n n n Z R p η − − − − − − − = , можно получить 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 n n n n n Z R p η − − − − = При этом, применяя обратное преобразование Ла- пласа, получим связь между мгновенными значениями напряжения и тока на входе схемы в виде 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 0 ( ) ( ) (1 2 ) ( ) n n n n t n R i u t d t η τ τ τ − − − + = Γ − ∫ Z 1 Z 1 Z 1/2 Z 1/4 Z 1/4 Z 1/2 Рис. 4.20. Эквивалентная схема фрактального им- педанса порядка ¼ (39) (40) (41) (42) (43) (44) Рис. 21. Эквивалентная схема фрактального импе- данса порядка 1/2 n Z 1 Z 1 1 2 n Z 1 2 n Z 1 1 2 n Z − 1 1 2 n Z − 24 Аналогичным образом можно показать, что мгновенные значения тока и напряжения связаны между собой с помощью оператора дробного дифференци- рования порядка 1/2 n вида 1 1 2 1 1 1 2 0 2 2 1 ( ) ( ) ( ) (1 1 2 ) n n n n t n u i t d t R τ τ τ η − − − ′ = − Γ − ∫ Из проведенного анализа можно сделать вывод, что принцип построения фрактального импеданса порядка 1/2 n заключается по существу в рекурсивном вложении фрактальных импедансов порядка ½ ( n – 1) раз. Такая структура обла- дает высокой степенью самоподобия. Это наглядно подтверждает, что дробные исчисления являются математической основой анализа фрактальных систем. Учитывая определение производной дробного порядка по Грюнвальду- Летникову, выражение (45) можно переписать как 1 1 2 0 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) n n n n t i t D u t R η − − − − = , где 2 0 ( ) n t D u t − - оператор дифференцирования порядка 2 −n Отсюда можно заключить, что оператор n D ν осуществляет рекурсивное вы- полнение n раз оператора D ν , а не возведение этого оператора в степень n. Используя свойство линейности и полугрупповое свойство дробных инте- гралов и производных совместно с принципом рекурсивного вложения, рассмот- ренным выше, можно создавать фрактальные импедансы произвольного порядка на основе RC-элементов с сосредоточенными параметрами. 6. Физическая реализация фрактальных импедансов на основе рези- стивно-емкостных структур с распределенными параметрами До появления микроэлектроники в середине прошлого века входное сопро- тивление полубесконечного RC-кабеля (RC-линии) служило лишь иллюстрацией аналоговой реализации операций интегрирования и дифференцирования поло- винного порядка. Физической же реализацией RC-кабеля служила лестничная цепь, схема которой приведена на рис. 22, а. (45) (46) 25 С появлением микроэлектроники лестничные RC-цепи стало возможным заменить пленочными и полупроводниковыми конструкциями, изображения ко- торых приведены на рис. 23 – 24. Они выполняли те же функции при меньших размерах, с более высокой точностью аппроксимации характеристики идеального RC-кабеля, обладая более высокой температурной стабильностью и другими преимуществами, основанны- ми на возможностях интегральной технологии изготовления. Фотографии некоторых реальных тонкопленочных и толстопленочных RC- элементов с распределенными параметрами изо- бражены на рис. 25 (помечены как RC). Как правило, ограничения по площади и предельным параметрам диэлектрических слоев этих элементов не позволяли создавать RC-ЭРП для низких и инфранизких частот. Поэтому наря- ду с пленочными появились RC-ЭРП, конструк- Рис. 22. Конструкция трехслойного тонкопленочного RC-ЭРП: 1 – подложка; 2 – резистивная пленка; 3 – ди- электрическая пленка; 4 – обкладка; 5 – вывод обкладки; 6 – выводы резистивного слоя Рис. 23. RC-ЭРП на основе биполярной транзи- сторной структуры Рис. 24. RC-ЭРП на основе МОП-структуры б r Δx r Δx r Δx Δx → 0 n → ∞ c Δx c Δx c Δx a Рис. 22. Лестничная цепь (а), моделирующая характеристики RC-линии (б): r, с, Δх – соответственно погонное сопротивление, погонная емкость и отрезок длины RC-линии RC RC RC б a Рис. 25. Фотографии подложек с толстопленочными (а) и тонкопле- ночными (б) RC-ЭРП 26 тивно выполненные в виде RC-кабеля (рис. 26). Здесь центральная жила – микропровод из материала, обла- дающего высоким удельным сопротивлением, защищен- ный диэлектрической изоляцией; поверх диэлектрика наносится металлизация. Такой провод навивается на керамический каркас и RC-ЭРП конструктивно оформ- ляется как дискретный резистор. Используя RC-ЭРП на основе микропровода, можно достичь больших значений τ RC (единицы секунд). Однако сложность создания неоднородности удельных па- раметров по длине кабеля ограничивает порядок реализуемого ими фрактального импеданса величиной ½. Кроме того, RC-ЭРП на микропроводе принципиально одномерный элемент, что снижает его схемотехнические возможности. Интегральные способы изготовления RC-ЭРП позволяют формировать ма- логабаритные элементы с распределенными параметрами, порядок фрактального импеданса которых можно изменять различными конструктивными, схемотехни- ческими и технологическими приемами: выполнением пленочных слоев с различ- ными законами изменения удельных параметров, формированием локальных не- однородностей в слоях (например, вырезы), увеличением количества резистив- ных, проводящих и диэлектрических слоев, увеличением количества контактов, изменением коммутации между слоями, изменением схем включения и т.п. Более того, параметры (в том числе и порядок фрактального импеданса) пленочных и полупроводниковых RC-ЭРП можно изменять за счет воздействия физических полей на чувствительные к этим полям материалы резистивных и диэлектриче- ских слоев. 7. Физическая реализация фрактальных импедансов на основе наност- руктурированных материалов Известно, что дробностепенная зависимость входного импеданса от частоты также наблюдается при исследовании проводимости композиционных материа- Рис. 26. RC-ЭРП на основе микропровода: 1 – проводящий слой; 2 – диэлектрик; 3 – рези- стивный микропровод 27 лов. Причем величина показателя α и частотный диапазон проявления этой зави- симости определяются структурой перколяционного кластера. Наблюдаемые закономерности можно объяснить наличием в композите множества альтернативных путей протекания тока. При этом ток может протекать по хорошо проводящим каналам, представляющим последовательности металли- ческих зерен, контактирующих между собой, по проводящим путям, состоящим из зерен с наличием полупроводящих фаз, а также в результате туннелирования или прыжковых механизмов электропроводности через диэлектрические слои. В этом случае проводимость имеет комплексный характер, а модуль и фаза проводимости будут зависеть от частоты примерно так же, как зависит от частоты проводимость системы «шероховатый электрод-электролит». Такие особенности композиционных материалов наталкивают на мысль о возможности создания фрактальных радиоэлементов на этой основе. При этом проводящая фаза внедряется в полимерную матрицу. Меняя характер основы, ма- териал наполнителя, его концентрацию и дисперсность и т.д., можно изменять ха- рактер образующегося перколяционного кластера и таким образом формировать необходимые параметры полученного на этой основе фрактального радиоэлемен- та. Для примера на рис. 27 приведены изображения образцов наноструктуриро- ванных полимерных композиционных материалов, состоящих из металлосодер- жащих наночастиц, распределенных по объему матрицы из полиэтилена, полу- ченные с помощью электронного микроскопа JEM-1011 фирмы JEOL. Разработанные композиционные материалы на основе полиэтилена высоко- го давления (ПЭ), содержащего наночастицы различного состава и строения пред- ставляют собой неоднородную неупорядоченную дисперсную систему, в которой полимерная матрица является дисперсионной средой, а наночастицы – дисперс- ной фазой. Показано наличие явно выраженных концентрационных (массовое со- держание наполнителя) зависимостей физических параметров (плотность, диэлек- трическая проницаемость, электропроводность др.) для таких материалов. 28 Образцы с содержанием наночастиц молибдена получены терморазложени- ем гексакарбонила молибдена в матрице ПЭ (состав наночастиц: MoO 2 , металли- ческий молибден). Образцы с содержанием наночастиц висмута получены термо- разложением ацетата висмута в матрице ПЭ (состав наночастиц: Bi 2 O 3 , металли- ческий висмут). Образцы с содержанием наночастиц железа получены термораз- ложением пентакарбонила железа в матрице ПЭ (состав наночастиц: Fe 2 O 3 , Fe 3 O 4 , металлическое железо). Пример конструктивной реализации фрактальных радиоэлементов, принцип действия которых основан на протекании тока через матрицу, в которой сформи- рована система нанопроводников (nanowire), описан в патенте США (US 2006/0267595 Al). На рис. 28 показан принцип образования элемента, а также кон- структивные варианты предлагаемого элемента. Рис. 28. Фрактальный элемент: а – принцип образования; б - микроструктура фрактальной сре- ды, полученная с помощью сканирующего электронного микроскопа; в, г – конструктивные ва- рианты ( 1 – непроводящая основа (матрица) с нанопроводниками, 2 – проводящие пластины, 3 – выводы) а б в г д е Рис. 27. ТЕМ-изображения образцов наноструктурированных поли- мерных композиционных материалов на основе ПЭ: а – Мо (10 масс. %); б – Мо (20 масс. %); в – Вi (10 масс. %); г – Вi (20 масс. %); д – Fe (10 масс. %); е – Fe (20 масс. %) 29 Материал 1, расположенный между двумя контактными пластинами 2 включает в себя трехмерный комплекс нанопроводников. Нанопроводники являются электрически проводящими, обладающими либо незначительным сопротивлением, либо сопротивлением заданной величины. Например, нанопроводники могут быть сделаны из металл-металл полимерных звеньев или из любого другого материала, подходящего для создания нанопроводников желаемой проводимости или сопроривления. Полимерные звенья могут быть одномерными и могут быть сформированы частичным окислением маталлических комплексов, например, частично окисленных платиновых комплексов. Одним из методов частичного окисления может быть фотоокисление. Комплекс может включать несколько нанопроводников, которые касаются друг друга, но в целом комплекс изготавливается так, чтобы уменьшить взаимосвязь индивидуальных проводников. Это можно осуществить за счет заряда катионов, которые вызывают отталкивание индивидуальных нанопроводников и таким образом проводники оказываются изолированными. Нанопроводники заключены в матрицу. Материал матрицы может характеризоваться некоторой проводимостью, в том числе быть непроводящим. Он может быть полимером, кополимером или смесью того и другого. Материал может находиться в любом состоянии: твердом, жидком, в форме геля или золь- геля, которое позволяет сохранить определенное пространственное распределение проводников для сохранения заданного фрактального импеданса. Нанопроводники могут быть ориентированы случайным образом или могут иметь предпочтительную ориентацию. Они могут быть однородны по размерам и распределению в комплексе, а также могут иметь и определенные законы распределения по размерам и расположению. Материал матрицы может быть однородным или неоднородным, в котором нанопроводники могуть иметь определенные изменения как по размерам, так и по распределению в комплексе. На рис. 28, в схематически показан фрактальный элемент, в котором прово- дящий комплекс сформирован в виде объемной твердой конструкции с выводами на каждом его конце. На рис. 28, г проводящий комплекс выполнен в виде тонкой 30 пленки с проводящими пластинами, образующими контакт с обеими поверхно- стями пленки. На рис. 29 приведены графики ЛАЧХ и ФЧХ экспериментального фрактального элемента, материал которого состоит из комплекса [NH 2 BU 2 ] x [Pt(Ox) 2 ] для нанопроводников в PVA/Pani кополимере, где х – вещественные числа между 1 и 2 включительно. Видим, что ФЧХ импеданса лежит в пределах от −13° до −18° в диапазоне частот около пяти декад. Рис. 29. ЛАЧХ (а) и ФЧХ (б) фрактального элемента (Патент US 2006/0267595 Al) Еще одним способом создания фрактальных элементов, особенно в диапазоне СВЧ, является использование микрорельефа обработанных поверхностей. Наличие фрактальности в таких материалах и средах можно наблюдать, в частности, по изменению скин-эффекта и импеданса. Именно пространственная/временная эволюция тока позволяет электромагнитному полю “прощупать” фрактальные характеристики созданной физической среды. Это отчетливо проявляется в области нанотехнологий, для которых тополо- гия шероховатостей рассматривается не как вторичная характеристика, являю- щаяся “откликом” структуры поверхностного слоя на воздействие того или иного физического процесса (как в обработке резанием, например), а как свойство самой структуры, тем более, что размеры таких слоев сопоставимы с длиной свободного пробега в них электронов. Для формирования необходимой топологии шероховатости можно исполь- зовать интенсивно развивающиеся методы обработки поверхностей концентриро- 31 ванными потоками энергии (лазерной, плазменной, электроэрозионной), а также с помощью нанотехнологий (химическая сборка, золь-гель процессы, парофазное осаждение металлов, атомно-слоевая эпитаксия). 8. Сравнительные характеристики способов формирования фракталь- ных импедансов и выбор конструктивно-технологической основы для реализации фрактальных радиоэлементов Различные способы формирования фрактального импеданса, рассмотренные выше, создают хорошие предпосылки создания фрактальных элементов в широ- ком диапазоне частот. Однако чтобы эта новая элементная база стала такой же распространенной, как, существующие пассивные элементы, необходимо, чтобы конструкция и технологии фрактальных элементов отвечала следующим критери- ям: • совместимость с технологическими процессами изготовления полупро- водниковых или пленочных элементов интегральных схем, • возможность реализации требуемых частотных характеристик в широком диа- пазоне частот, • возможность создания фрактальных импедансов с показателями дробносте- пенной зависимости от частоты α в максимальном диапазоне возможных зна- чений (0 < | α | < 1), • возможность точной настройки параметров, определяющих функциональное назначение RC-ЭРП, • возможность динамического изменения параметров. В Таблице дана сравнительная оценка полноты удовлетворения предложен- ным выше критериям между этими конструктивно-технологическими вариантами RC-ЭРП. Максимальное удовлетворение критерию обозначается тремя звездоч- ками. 32 Таблица . Сравнение характеристик RC-ЭРП, реализованных на основе различных конструктивно-технологических вариантов Критерии Электро- химические Цепи на RC-ЭСП Пленочные RC-ЭРП На основе на- нотехнологий Совместимость с технологическими процесса- ми изготовления полупроводниковых и пле- ночных элементов интегральных схем Возможность точной настройки параметров фрактального импеданса ? Возможность динамического изменения пара- метров фрактального импеданса ? Возможность создания фрактальных импедан- сов в широком диапазоне частот Габаритные размеры Возможность моделирования реальных объек- тов, характеризующихся фрактальной размер- ностью Наличие методик и программного обеспечения проектирования ? Суммарный показатель 7 12 18 8 RC-ЭРП на электрохимических ячейках, преимуществом которых является возможность работы в диапазонах сверхнизких частот, плохо совместимы с со- временными технологиями интегральных микросхем, воспроизводимость величи- ны фрактального импеданса сильно зависит от воспроизводимости свойств гра- ницы электрод-электролит, которая в свою очередь определяется большим чис- лом неконтролируемых факторов. RC-ЭРП на основе полупроводниковой технологии также обладают хоро- шим потенциалом, особенно в связи с малыми размерами и возможностью управ- ления их параметрами с помощью электрического поля. Но сложность учета по- верхностных и объемных эффектов в полупроводниковом кристалле, наличие эф- фектов взаимодействия элементов интегральных схем между собой делают задачу изготовления фрактальных импедансов с заданной величиной и точностью пока- зателя α трудно разрешимой. Наиболее слабым местом фрактальных элементов на основе цепей на RC- ЭСП являются их большие габариты, сложность точной настройки параметров фрактального импеданса и практическая невозможность динамического измене- ния параметров фрактального импеданса. Новые принципы формирования фрактальных импедансов, основанные проводимости комплексов нанопроводников или наночастиц проводящих матера- 33 лов, заключенных в полимерные матрицы, а также фрактальные импедансы, обра- зующиеся в результате взаимодействия электромагнитных волн с проводящими поверхностями, обладающих фрактальной поверхностной топологией, не вышли еще из стадии исследований. Как видно из Таблицы, наилучшим суммарным показателем по всем пере- численным критериям обладают пленочные RC-ЭРП. Поэтому, на наш взгляд, конструктивно-технологической основой новых элементов фрактальной радио- электроники могут стать пленочные RC-ЭРП. Для желающих более подробно познакомиться с работами в области теории и практики фрактальных радиоэлементов на основе пленочных RC-ЭРП, можно порекомендовать Интернет-ресурс: http://fractal-izh.ucoz.ru |