нелинейка никита 1. Расчет нелинейно деформируемой балки
![]()
|
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» Институт урбанистики, архитектуры и строительства Кафедра «Строительные материалы, конструкции и технологии» САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине «Нелинейные задачи строительной механики» на тему: «Расчет нелинейно деформируемой балки» Выполнил: студент гр. c1-СЗС-41 Харченко Никита Олегович № 190232 ![]() (дата, подпись) Проверил: доктор технических наук, профессор Петров Владилен Васильевич. ![]() (дата, подпись) Саратов 2022 г. Задача №1Для нелинейно деформируемой балки с индивидуально заданными схемами закрепления и загружения распределенной нагрузкой требуется: 1. Аппроксимировать экспериментальную зависимость ![]() ![]() 2. Для балки с заданными условиями закрепления и нагрузкой построить аппроксимирующую функцию прогиба статическим методом В.З. Власова. 3. Используя уравнение изгиба нелинейно деформируемой балки (НДБ) в полных функциях ![]() расчетать балку заданным методом. 4. Применяя аппроксимацию кривой деформирования в виде кубической параболы рассчитать балку методами: Бубнова-Галеркина в полных функциях и инкрементальным методом последовательных нагружений. Ритца-Тимошенко в полных функциях и инкрементальным методом последовательных нагружений. Итерационным методом переменных параметров упругости И.А. Биргера с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина. Итерационным методом упругих решений А.А. Ильюшина с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина. Итерационным методом Ньютона-Канторовича с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина. 5. Результаты расчета представить в виде эпюр прогибов и изгибающих моментов. При решении задачи инкрементальными методами построить кривую «нагрузка – амплитуда прогиба». 6. Сравнить результаты расчетов (максимальные прогибы и изгибающие моменты) при заданной нагрузке, полученные всеми методами. 7. В сечении балки с наибольшим по модулю изгибающим моментом ![]() ![]() 8. В конце работы провести анализ полученных результатов и сформулировать развернутые выводы. Исходные данныеПараметры нелинейно деформируемой балки: Длина ![]() Прямоугольным поперечным сечением с высотой ![]() ![]() Левая опора балки — Шарнир Правая опора балки — Заделка Нагрузка — ![]() Метод расчета для п.3 — Ритца-Тимошенко Диаграмма № 3 ![]() Рисунок 4 – Диаграмма деформирования образца №3
1. Аппроксимировать экспериментальную зависимость ![]() ![]() Если экспериментальную диаграмму деформирования аппроксимируем кубической параболой ![]() ![]() ![]() E=9418 m=2.126·108 ![]() Синяя — Исходная диаграмма деформирования Красная — Аппроксимация диаграммы в виде кубической параболы 2. Для балки с заданными условиями закрепления и нагрузкой построить аппроксимирующую функцию прогиба статическим методом В.З. Власова. Определяем граничные условия: На защемленных краях пластины должны быть равны нулю прогиб и углы наклона касательной к изогнутой срединной поверхности: Жестко защемленный край: ![]() Жестко защемленный край: ![]() В первом приближении методом Власова прогиб пластинки будем искать в виде ![]() Для решения используем частный вид уравнения Софи Жермен: ![]() Постепенно интегрируем обе части уравнения: ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляем граничные условия и определяем неизвестные константы: ![]() ![]() ![]() ![]() Выделяем главную часть решения, принимая ![]() ![]() Выполняем проверку формулы прогиба балки, подставляя граничные условия: ![]() ![]() Проверка выполнена. Рассчитаем балку методом Ритца-Тимошенко. Выражение полной потенциальной энергии деформирования в безразмерной форме имеет вид: ![]() Работа внешних распределенных и сосредоточенных нагрузок в безразмерной форме подсчитывается по формуле: ![]() ![]() В первом приближении прогиб ищем в виде: ![]() В этом случае выражение полной энергии принимает вид ![]() коэффициенты которого определяются по формулам ![]() ![]() ![]() На основании теоремы Лагранжа имеем кубическое уравнение: ![]() Решая которое найдем действительный корень ![]() Прогиб в 1 приближении будет иметь вид: ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Метод Бубнова-Галеркина в полных функцияхДля расчета балки методом Бубнова-Галеркина необходимо решить обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение при соответствующих граничных условиях. Приближенный прогиб балки ищем в виде ряда с конечным числом членов. Аппроксимирующая функция должна быть линейно независимая, и, в отличие от метода РТ, должна удовлетворять заданным граничным условиям, как геометрическим, так и статическим. В первом приближении обобщенная координата Kопределяется как действительный корень уравнения: ![]() коэффициенты которого определяются по формулам: ![]() ![]() ![]() Решая которое найдем действительный корень ![]() Прогиб в 1 приближении будет иметь вид: ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Инкрементальный метод последовательных нагружений Бубнова-Галеркина Для расчета балки необходимо решить линейное обыкновенное дифференциальное уравнение с известными переменными коэффициентами при заданных граничных условиях. Приращение прогиба ищем в виде ряда с конечным числом членов. Приращение обобщенной координаты ΔKnна каждом этапе нагружения определяется по формуле: В первом приближении прогиб и приращение прогиба ищем в виде: ![]() Приращение обобщенной координаты ΔKnна каждом этапе нагружения определяется по формуле: ![]() коэффициенты которого определяются по формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() n=3; ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решая линейное уравнение, найдем действительный корень: ![]() ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Метод Ритца-Тимошенко в полных функцияхА) Выражение полной потенциальной энергии деформирования в безразмерной форме имеет вид: ![]() Б) Работа внешних распределенных и сосредоточенных нагрузок в безразмерной форме подсчитывается по формуле: ![]() ![]() В первом приближении прогиб ищем в виде: ![]() В этом случае выражение полной энергии принимает вид ![]() коэффициенты которого определяются по формулам ![]() ![]() ![]() На основании теоремы Лагранжа имеем кубическое уравнение: ![]() Решая которое найдем действительный корень ![]() Прогиб в 1 приближении будет иметь вид: ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Инкрементальный метод последовательных нагружений Ритца-ТимошенкоДля расчета балок методом Ритца-Тимошенко в инкрементальной форме необходимо получить выражение приращения удельной потенциальной энергии. В первом приближении прогиб ищем в виде: ![]() В этом случае выражение приращения полной энергии принимает вид ![]() коэффициенты которого определяются по формулам ![]() ![]() ![]() На основании теоремы Лагранжа имеем линейное уравнение: ![]() n=4; ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Находим амплитуду прогиба соответствующую величине заданной нагрузки ![]() ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Метод ППУ И.А. Биргера с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина В соответствии с методом нелинейных параметров упругости придаем искомому прогибу в дифференциальном уравнении индекс итерации n, а прогибу в коэффициенте этого уравнения индекс n-1. В результате получаем обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами. В первом приближении прогиб ищем в виде: ![]() Выражение для определения обобщенной координаты Knимеет вид: ![]() коэффициенты которого определяются по формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решая линейное уравнение, при определенном количестве итераций, найдем действительный корень: ![]() ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Метод УР А.А. Ильюшина с использованием на каждой итерации алгоритма метода Бубнова-Галеркина Метод основан на возможности представления уравнения в виде линейной и нелинейной составляющих — метод начальных напряжений. Алгоритм: Для нелинейно-деформируемого материала балки выбираем подходящее аналитическое выражение диаграммы деформирования и определяем функцию пластичности 𝜔(𝑊) и параметр 𝐽𝜔 Для заданной нагрузки методом интегрирования ищем решение упругой задачи W1 С учетом найденного прогиба, получаем фиктивную нагрузку Решаем уравнение с фиктивной нагрузкой, находим прогиб W2 Определяем фиктивную нагрузку и определяем уточненное значение прогиба балки W3 В первом приближении прогиб ищем в виде: ![]() Выражение для определения обобщенной координаты Knимеет вид: ![]() коэффициенты которого определяются по формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Решая линейное уравнение найдем действительный корень: ![]() ![]() ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() Метод Ньютона-Канторовича Сочетание 2 методов (итерационного метода НК и инкрементального метода БГ) позволяет получить рекуррентную формулу для уточнения приближенного решения нелинейной задачи. В первом приближении прогиб ищем в виде: ![]() Выражение для определения обобщенной координаты ![]() ![]() коэффициенты которого определяются по формулам: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Максимальные значения прогиба и изгибающего момента: ![]() ![]() 5. Результаты расчета, полученные методом Бубного-Галеркина представим в виде эпюр прогибов и изгибающих моментов. Прогиб в 1 приближении будет иметь вид: ![]() Построим эпюры прогиба и изгибающего момента. ![]() ![]() 6. Сравним результаты расчетов (максимальные прогибы и изгибающие моменты) при заданной нагрузке), полученные всеми методами.
7. В сечении балки с наибольшим по модулю изгибающим моментом ![]() ![]() ![]() Результирующее выражение для построения эпюры ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вывод В данной задаче рассматривался расчет нелинейно деформируемой балки различными методами, однако более точными методами являются: метод переменных параметров упругости И.А.Биргера, метод упругих решений И.А.Ильюшина и метод Ньютона-Канторовича, так как во всех этих методах, путем увеличения количества приближений можно достигнуть наиболее точного результата по сравнению с остальными методами; Эпюры ![]() |