Научная работа Распределение Максвела. Распределение Максвелла. Распределение Максвелла
 Скачать 1.27 Mb.
|
Обзор «Распределение Максвелла» посвящен общеизвестному распределению вероятности, которое описывает статистическое поведение параметров частиц идеального газа. В нем кратко описаны условия необходимые для использования данного распределения и выведена общая формула. Также рассказано о степенях свободы идеального газа и соответствующей им энергии. От авторов: Большое спасибо, что приобрели данный обзор! Мы надеемся, что он Вам очень понравиться! Будем очень рады Вас увидеть вновь и спешим сообщить, что мы планируем выпустить целую серию подобных обзоров, посвященных различным тематикам сегодняшней науки. Просто о сложном в науке и технике. Распределение Максвелла. (Статья является платным курсом.) 2 ЭТА СТАТЬЯ РЕКОМЕНДУЕТСЯ СТУДЕНТАМ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ, А ТАКЖЕ ШИРОКОМУ КРУГУ ЧИТАТЕЛЕЙ, ИНТЕРЕСУЮЩИМСЯ СОВРЕМЕННЫМИ ПРОБЛЕМАМИ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ. ДАННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИГРАЕТ ВАЖНУЮ РОЛЬ ПРИ ОПИСАНИИ СВОЙСТВ ГАЗОВ ИЗ АТОМОВ ИЛИ МОЛЕКУЛ, ИОНОВ, ЭЛЕКТРОНОВ И ДРУГИХ ЧАСТИЦ.КЛЮЧЕВЫМ ПОНЯТИЕМ В ЭТОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЯВЛЯЕТСЯ ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Распределение Максвелла Распределение Максвелла применяется для описания хаотического движения частиц в состоянии теплового равновесия. Частицами могут быть атомы, молекулы, ионы, электроны, дырки и т.д. При этом выполняются следующие условия. 1. Для описания движения частиц используются случайные величины. В классической механике используются детерминированные величины. Это означает, что эти величины могут быть определены с какой угодно точностью. Например, мы можем с какой угодно точностью измерить скорость движения материальной точки. Для этого необходимо измерить путь, пройденный материальной точкой и разделить этот путь на время, затраченное для прохождении этого пути. В системе большого числа частиц, совершающих хаотическое движение, проделать такие измерения невозможно и вместо того, чтобы следить за движением каждой частицы, переходят к вероятностному описанию. Как определяется случайная величина? Случайная величина определяется на некотором диапазоне возможных значений и каждое возможное значение этой величины реализуется с определенной вероятностью. Ниже мы в этом убедимся, рассматривая свойства распределения Максвелла. Примером случайной величины является скорость движения частиц, которая в условиях хаотического движения характеризуется случайным абсолютным значением скорости и случайным направлением движения. 2. Движение частиц в системе является статистически независимым от движения других частиц. Пусть рассматриваются какие-либо два события и в поведении двух частиц, например, нас интересуют такие события, при которых две частицы приобрели какие-либо значения скоростей. Тогда вероятность одновременного события = ∙ равна произведению вероятностей отдельных событий. Обобщая это свойство на произвольное число частиц в системе, мы получим вероятность поведения системы частиц в пространстве скоростей, которая представляется как = ∏ (1) где – вероятность событий, происходящих с отдельными частицами системы. 3. Взаимодействие между частицами отсутствует. В общем случае, каждая частица состоит из электрических зарядов, между которыми существует кулоновское взаимодействие. Потенциальная энергия этого взаимодействия обратно пропорциональна расстоянию между зарядами. Реализовать условие малости полной потенциальной энергии взаимодействия между частицами по сравнению с полной кинетической энергией Просто о сложном в науке и технике. Распределение Максвелла. (Статья является платным курсом.) 3 системы можно путем уменьшения плотности газа. Тогда с уменьшением плотности газа, а следовательно, и числа частиц в единице объема получим условие идеальности газа. 4. Известно, что движение частиц в микромире обладает квантовыми свойствами. Например, понятие траектории в ее классическом понимании, когда координаты и импульсы частиц могут быть измерены одновременно с какой угодно точностью, отсутствует. Движение частиц обладает корпускулярно- волновым свойством. Однако, если средняя длина свободного пробега частиц значительно больше длины волны де Бройля Б = (ℎ – постоянная Планка, – масса частицы, – ее скорость), то в этом случае можно говорить о квазиклассическом приближении. Ниже мы более подробно обсудим это приближение с помощью понятия энтропии идеального газа. Выведем распределение Максвелла, используя распределение Гиббса, имеющее следующий вид: = (2) где – постоянная нормировки, вероятность нормирована на единицу, – температура системы, ! – постоянная Больцмана, – энергия системы. Формула (2) имеет ясный физический смысл. Чем выше энергия системы, тем с меньшей вероятностью реализуется это состояние системы. Рассмотрим вначале поступательное движение частиц в системе частиц. Представим в этом случае энергию как сумму случайных значений кинетической энергии " # 2 ⁄ частиц, где – масса одной частицы, а & – случайный импульс частицы. Учтем свойство статистической независимости движения частиц (1) и получим из (2) следующее распределение ' & = ( ) *+ ,- .* /- 0* /- 1* 2 '" 3 '" 4 '" 5 (3) где & – вероятность события, при котором частица обладает импульсом в диапазоне значений от &до & + '&, ( – постоянная нормировки, которую определим из условия нормировки ( 7 7 7 ) *+ ,- .* /- 0* /- 1* 2 '" 3 '" 4 '" 5 8 8 = ( 97 :* *+ 8 8 '"; < = ( 2= ! = 1 (4) Здесь был использован табличный интеграл [1]. В результате получим трехмерное распределение Максвелла (1860): ' & = #@ AB C/* ) *+ ,- .* /- 0* /- 1* 2 '" 3 '" 4 '" 5 (5) Это распределение может быть выражено через скорость Dчастиц, учитывая соотношение & = D. Тогда, переходя к новым переменным, получим вместо (5), следующее распределение для скоростей ' D = E #@AB F +EG.*HG0*HG1*F * ' 3 ' 4 ' 5 (6) Просто о сложном в науке и технике. Распределение Максвелла. (Статья является платным курсом.) 4 Как следует из (6), распределения по различным компонентам вектора D являются статистически независимыми. Поэтому запишем распределение вероятности ' D для одной компоненты скорости как ' = I #@AB +G.* * ' 3 , (7) где ' – вероятность такого события, при котором одна частица имеет скорость в диапазоне значений от 3 до 3 + ' 3 Запишем также распределение Максвелла для абсолютных значений скорости. При этом перейдем к сферическим координатам в пространстве скоростей, выразив элемент объема ' 3 ' 4 ' 5 как 4= # ' , учитывая важное свойство распределения Максвелла, а именно, свойство изотропии, независимости этого распределения от полярных углов K и L сферической системы координат. Тогда искомое распределение примет следующий вид: ' = M ' , (8) M = 4= E #@AB F +G* * ∙ # , (9) Функция M представлена как произведение убывающей и возрастающей с ростом функции, поэтому она содержит максимум, соответствующий наиболее вероятной скорости N3 . Вид функции M изображается графически как При увеличении температуры # O вид функции (9) изменяется, но площадь под кривой равна 1 при разных температурах в соответствии с условием нормировки (4). Скорость движения частиц является случайной величиной, и диапазон возможных значений этой величины изменяется от нуля до # или # P в зависимости от температуры. Как видно из графика функции M значение нулевой скорости соответствует нулевой вероятности, то есть частицы с нулевой скоростью в системе отсутствуют. Для вычисления среднего значения произвольной функции L скорости необходимо эту функцию умножить на вероятность (8) и проинтегрировать это произведение по всем от нуля до бесконечности, то есть Просто о сложном в науке и технике. Распределение Максвелла. (Статья является платным курсом.) 5 LQQQQQQQ = 7 L ' 8 R , (10) где LQQQQQQQ – число, а не функция. Так, среднее число ̅ в соответствии с правилом (10) будет равно ̅ = T8! ⁄ , а средняя кинетическая энергия поступательного движения частицы будет равна # # QQQQQQQQ = < # ! (11) Для вычисления средних значений различных степеней могут быть использованы табличные интегралы [1], а именно, V W = 7 X3 * Y W 'Y 8 R = # Z [H) * ∙ Г E W/ # F, (12) где Z – постоянная величина, ] – целое число, Г E W/ # F – гамма-функция [2]. При ] = 2^, ^ O 0 имеем V #` = #` !! # bH) I @ X *bH) , (13) где 2^ − 1 !! = 1 ∙ 3 ∙ 5 … 2^ − 1 . Если ^ = 0, то V R = − 1 2 ⁄ T= Z ⁄ . Если же ] = 2^ + 1 (нечетное число), то V #`/ = `! #X bH) (14) Наиболее вероятное значение скорости в системе определяется из уравнения 'M ' ⁄ = 0, что позволяет определить это значение как N3 = T2! ⁄ . С помощью распределения Максвелла для поступательного движения частиц (5)- (8) могут быть рассмотрены различные явления в идеальном газе. Например, упругие столкновения частиц со стенками сосуда. Так, число столкновений в 1 сек на 1 см 2 поверхности равно 'g = h E #@AB F +EG.*HG0*HG1*F * ' 3 ' 4 ' 5 (15) где предполагается, что ось i перпендикулярна поверхности стенки. Чтобы найти полное число столкновений, необходимо проинтегрировать 'g по всем скоростям, учитывая то, что переменные интегрирования 3 и 4 изменяются в пределах от −∞ до +∞, а переменная интегрирования 5 в пределах от 0 до +∞. Нас не интересуют частицы, которые движутся от стенки. После интегрирования получим следующую формулу для числа столкновений g = h I AB #@ = - √#@AB , (16) где использовано уравнение состояния идеального газа "l = ! , " – давление газа, l – объем, – число частиц в газе. Просто о сложном в науке и технике. Распределение Максвелла. (Статья является платным курсом.) 6 Молекула, состоящая из ] атомов, имеет 3] степеней свободы. Из них три степени свободы приходятся на поступательное движение. Число степеней свободы, приходящееся на вращательное движение, когда молекула как целое, совершает повороты вокруг соответствующих осей вращения, зависит от структуры молекулы. Если молекула линейная и все атомы этой молекулы расположены по прямой линии, то в этом случае имеем две вращательные степени свободы. Если же атомы молекулы распределены в трехмерном пространстве, то в этом случае молекула называется нелинейной и получим в этом случае три степени свободы. Таким образом, в случае нелинейной молекулы число колебательных степеней свободы равно 3] − 6, а в случае линейной молекулы число колебательных степеней свободы равно 3] − 5. Кинетическую энергию вращательного движения молекулы представим следующим образом: n `op = # V q # + V # q # # + V < q < # , (17) где V , V # , V < – моменты инерции молекулы, а q , q # , q < – случайные угловые частоты вращения молекулы вокруг главных осей молекулы. В случае V = V # = V < = V имеем изотропную молекулу в виде симметричного волчка. Кинетическую энергию колебаний атомов в молекулах, учитывая их случайные малые смещения из положения равновесия, представим следующим образом: ost. = # ! R Y # + v # + i # , (18) где ! R – упругая постоянная. Теперь, если энергии (17), (18) добавить к энергии поступательного движения w = 1 2 ⁄ # , учесть эти три вида энергии в распределении Гиббса (2) и учесть также статистическую независимость этих видов движения молекул мы получим распределение Максвелла для различных переменных. В результате средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы, будет равна 1 2 ⁄ ! , а средняя внутренняя энергия идеального газа будет равна = # ! ∙ , (19) где x = 3] – полное число степеней свободы молекул. Вычислим энтропию идеального газа с помощью формулы Больцмана y = ! ∙ z] ∆-∆| #@ℏ C , (20) где ∆"∆• – полный объем 6 -мерного фазового пространства, в пределах которого движутся частицы, в знаменателе (20) находится минимальный объем фазового пространства, определяемый соотношением неопределенности Гейзенберга для координаты и импульса частиц. Вычисление координатной части фазового объема проведем при условии, что частицы при хаотическом движении внутри объема l побывают в каждой точке этого объема. Вычисление объема 3 -мерной сферы в импульсном пространстве с радиусом 2 /# , где – внутренняя энергия идеального газа, дает следующее выражение: Просто о сложном в науке и технике. Распределение Максвелла. (Статья является платным курсом.) 7 ∆Г = h C ! #@ € C * ГE C * / F , (21) Используя формулу Стирлинга для больших чисел z] ! ≈ z] ‚ = z] − , (22) Г Y + 1 = Y! Y 3/ /# ∙ 3 √2=, (23) получим после логарифмирования величины (21) следующее выражение y = ! ∙ z]∆Г = ! Ez] h + < # z] #€ < + z] #@ C/* ∙‚ „/* C F, (24) Из первого начала термодинамики определим 'y как 'y = B ' + - B 'l, (24) Энтропия также как энергия являются функциями состояния, то есть переход системы из одного термодинамического состояния , " , l в некоторое другое термодинамическое состояние # , " # , l # не влияет на изменение y и . Поэтому 'y и ' в (24) являются полными дифференциалами. Тогда с помощью (24) получим, что B = E …† …€ F h. = ! < #€ , (25) что соответствует закону равнораспределения энергии по степеням свободы. Дифференцирование по переменной lдает следующее равенство - B = E …† …h F €. = A h , (26) что соответствует уравнению состояния идеального газа. Последнее слагаемое в (23) содержит постоянную Планка и определяет роль квантовых свойств идеального газа. Однако, если учитывать только изменения энтропии, то роль этого слагаемого пропадает, что согласуется с указанным выше условием , позволяющим пренебрегать квантовыми эффектами. Справочная литература 1. И.С. Градштейн, И.М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 4 изд., М., 1963 2. Н.Н. Лебедев. Специальные функции и их приложения, 2 изд., М.-Л., 1963 |